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TP1 : Numération : changement de base
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TP / TICE 1


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Numération : changement de base




Énoncé

Un système de numération est un procédé permettant d’écrire les entiers à l’aide d’un nombre fini de symboles.

Presque chaque civilisation a eu son système de numération. Ces derniers sont classés en trois groupes : les numérations additives (numération romaine par exemple), les numérations hybrides et les numérations de position (comme les numérations babylonienne, chinoise, ou maya).

Le système que nous utilisons est basé sur la position des chiffres. En regroupant les unités par paquets de 1010, on a défini les dizaines puis, en regroupant à nouveau les dizaines en paquets de 1010, on a défini les centaines, etc.
Ainsi, on écrit 2358=2×103+3×102+5×101+8×1002 \: 358 = 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 8 \times 10^0. C’est le système décimal (ou système en base 1010).

Il existe d’autres bases de numération. Parmi elles, on peut noter le système sexagésimal (en base 6060) dans la numération babylonienne, le système vigésimal (en base 2020) dans la numération maya. Actuellement, le système binaire (en base 22) et le système hexadécimal (en base 1616) sont utilisés en électronique et en informatique.

Par exemple, en informatique, le bit est une information qui ne prend que deux valeurs notées 00 ou 11. Et comme tout entier s’écrit comme une somme de puissances de 22 de façon unique, le nombre 2121 s’écrit en base 22 : 101012\overline{{\color{darkorange}1}{\color{royalblue}0}{\color{darkred}1}{\color{lightseagreen}0}{\color{purple}1}}^2.

En effet, 21=1×24+0×23+1×22+0×21+121 = {\color{darkorange}1} \times 2^4 + {\color{royalblue}0} \times 2^3 + {\color{darkred}1} \times 2^2 + {\color{lightseagreen}0} \times 2^1 + {\color{purple}1}.

Par ailleurs, l’écriture hexadécimale permet d’écrire les codes binaires de manière plus compacte et, inversement, une telle écriture est facilement convertible en binaire car 16=2416 = 2^4.

Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, passer du système de numération décimal à un système en base bbbb est un entier naturel supérieur ou égal à 22. Un entier nn est écrit en base bb lorsqu’on a trouvé :
  • un entier naturel ii ;
  • i+1i + 1 nombres entiers naturels a0;a1;;aia_0 \: ; a_1 \: ; \dots \: ; a_i tous strictement inférieurs à bb tels que n=aibi+ai1bi1++a1b+a0n=a_ib^{i}+a_{i-1} b^{i-1}+\ldots+a_1 b+a_0.

Les nombres aia_i sont les chiffres de nn dans la base bb.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON


Étude théorique

Pour déterminer l’écriture en base bb d’un nombre nn, on effectue la division euclidienne de nn par bb qu’on écrit n=bq0+r0n=b q_{0}+r_{0}.
On réitère le procédé avec q0q_0, c’est-à-dire qu’on écrit q0=bq1+r1q_0 = bq_1 + r_1. On construit ainsi deux suites (qn)(q_n) et (rn)(r_n).

1. Montrer que la suite (qn)(q_n) est décroissante puis qu’il existe un rang n0n_0 tel que, pour tout nn0n \geqslant n_0, qn=0q_n = 0 (on pourra raisonner par l’absurde).


2. On suppose que l’on a atteint le premier quotient nul. En déduire alors l’écriture du nombre nn en base bb et expliquer pourquoi elle est unique.


Programmation

1. Écrire un algorithme en langage Python permettant d’obtenir l’écriture en base 77 d’un nombre nn écrit dans le système décimal.


  

2. Le modifier pour écrire un nombre nn du système décimal en une base bb que l’on saisira en argument d’une fonction.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR


On veut utiliser un tableur pour trouver les valeurs aia_i de l’écriture d’un nombre nn en base 77. (Fichier téléchargeable ici.)

Numération : changement de base - Tableur

1. a. Quelles formules faut-il saisir et recopier en B2, C2 et A3 pour obtenir les valeurs aia_i ?


b. Recopier les formules vers le bas jusqu’à obtenir 00 dans la colonne A.


c. En déduire l’écriture de 543543 en base 77.


2. Quelles modifications faut-il apporter pour obtenir l’écriture d’un nombre nn en une base bb donnée en F2 ?
Tester avec l’écriture de 543543 en base 88, puis dans le système binaire.
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