Un système de numération est un procédé permettant d'écrire les entiers à l'aide d'un nombre fini de symboles.
Presque chaque civilisation a eu son système de numération. Ces derniers sont classés en trois groupes : les numérations additives (numération romaine par exemple), les numérations hybrides et les numérations de position (comme les numérations babylonienne, chinoise, ou maya).

Le système que nous utilisons est basé sur la position des chiffres. En regroupant les unités par paquets de $10$, on a défini les dizaines puis, en regroupant à nouveau les dizaines en paquets de $10$, on a défini les centaines, etc.
Ainsi, on écrit $2358=2\times 10^3+3\times 10^2+5\times 10^1+8\times 10^0$. C'est le système décimal (ou système en base $10$).

Il existe d'autres bases de numération. Parmi elles, on peut noter le système sexagésimal (en base $60$) dans la numération babylonienne, le système vigésimal (en base $20$) dans la numération maya. Actuellement, le système binaire (en base $2$) et le système hexadécimal (en base $16$) sont utilisés en électronique et en informatique.

Par exemple, en informatique, le bit est une information qui ne prend que deux valeurs notées $0$ ou $1$. Et comme tout entier s'écrit comme une somme de puissances de $2$ de façon unique, le nombre $21$ s'écrit en base $2$ : ${\overline{10101}}^2$.

En effet, $21=1\times 2^4+0\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1$.

Par ailleurs, l'écriture hexadécimale permet d'écrire les codes binaires de manière plus compacte et, inversement, une telle écriture est facilement convertible en binaire car $16=2^4$.

À l'aide d'une des deux méthodes, passer du système de numération décimal à un système en base $b$ où $b$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Un entier $n$ est écrit en base $b$ lorsqu'on a trouvé :

• un entier naturel $i$ ;
• $i+1$ nombres entiers naturels $a_0;a_1;\dots ;a_i$ tous strictement inférieurs à $b$ tels que $n=a_i{b}^i+a_{i-1}{b}^{i-1}+\dots +a_{1}b+a_0$.

Les nombres $a_i$ sont les chiffres de $n$ dans la base $b$.

Étude théorique

Pour déterminer l'écriture en base $b$ d'un nombre $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $b$ qu'on écrit $n=b{q}_0+r_0$.
On réitère le procédé avec $q_0$, c'est-à-dire qu'on écrit $q_0=b{q}_1+r_1$. On construit ainsi deux suites $(q_n)$ et $(r_n)$.

1. Montrer que la suite $(q_n)$ est décroissante puis qu'il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n⩾n_0$, $q_n=0$ (on pourra raisonner par l'absurde).

2. On suppose que l'on a atteint le premier quotient nul. En déduire alors l'écriture du nombre $n$ en base $b$ et expliquer pourquoi elle est unique.

Programmation

1. Écrire un algorithme en langage Python permettant d'obtenir l'écriture en base $7$ d'un nombre $n$ écrit dans le système décimal.

2. Le modifier pour écrire un nombre $n$ du système décimal en une base $b$ que l'on saisira en argument d'une fonction.

On veut utiliser un tableur pour trouver les valeurs $a_i$ de l'écriture d'un nombre $n$ en base $7$. (Fichier téléchargeable

ici

https://assets.lls.fr/pages/12243744/chapitre-3-tp1-methode-2-enonce.xlsx

.)


1. a. Quelles formules faut-il saisir et recopier en B2, C2 et A3 pour obtenir les valeurs $a_i$ ?

b. Recopier les formules vers le bas jusqu'à obtenir $0$ dans la colonne A.

c. En déduire l'écriture de $543$ en base $7$.

2. Quelles modifications faut-il apporter pour obtenir l'écriture d'un nombre $n$ en une base $b$ donnée en F2 ?
Tester avec l'écriture de $543$ en base $8$, puis dans le système binaire.