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Numération : changement de base

Un système de numération est un procédé permettant d’écrire les entiers à l’aide d’un nombre fini de symboles.

Presque chaque civilisation a eu son système de numération. Ces derniers sont classés en trois groupes : les numérations additives (numération romaine par exemple), les numérations hybrides et les numérations de position (comme les numérations babylonienne, chinoise, ou maya).

Le système que nous utilisons est basé sur la position des chiffres. En regroupant les unités par paquets de $10$, on a défini les dizaines puis, en regroupant à nouveau les dizaines en paquets de $10$, on a défini les centaines, etc.
Ainsi, on écrit $2 \: 358 = 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 8 \times 10^0$. C’est le système décimal (ou système en base $10$).

Il existe d’autres bases de numération. Parmi elles, on peut noter le système sexagésimal (en base $60$) dans la numération babylonienne, le système vigésimal (en base $20$) dans la numération maya. Actuellement, le système binaire (en base $2$) et le système hexadécimal (en base $16$) sont utilisés en électronique et en informatique.

Par exemple, en informatique, le bit est une information qui ne prend que deux valeurs notées $0$ ou $1$. Et comme tout entier s’écrit comme une somme de puissances de $2$ de façon unique, le nombre $21$ s’écrit en base $2$ : $\overline{{\color{darkorange}1}{\color{royalblue}0}{\color{darkred}1}{\color{lightseagreen}0}{\color{purple}1}}^2$.

En effet, $21 = {\color{darkorange}1} \times 2^4 + {\color{royalblue}0} \times 2^3 + {\color{darkred}1} \times 2^2 + {\color{lightseagreen}0} \times 2^1 + {\color{purple}1}$.

Par ailleurs, l’écriture hexadécimale permet d’écrire les codes binaires de manière plus compacte et, inversement, une telle écriture est facilement convertible en binaire car $16 = 2^4$.