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TP1 : Numération : changement de base
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TP / TICE 1


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Numération : changement de base




Énoncé

Un système de numération est un procédé permettant d’écrire les entiers à l’aide d’un nombre fini de symboles.

Presque chaque civilisation a eu son système de numération. Ces derniers sont classés en trois groupes : les numérations additives (numération romaine par exemple), les numérations hybrides et les numérations de position (comme les numérations babylonienne, chinoise, ou maya).

Le système que nous utilisons est basé sur la position des chiffres. En regroupant les unités par paquets de , on a défini les dizaines puis, en regroupant à nouveau les dizaines en paquets de , on a défini les centaines, etc.
Ainsi, on écrit . C’est le système décimal (ou système en base ).

Il existe d’autres bases de numération. Parmi elles, on peut noter le système sexagésimal (en base ) dans la numération babylonienne, le système vigésimal (en base ) dans la numération maya. Actuellement, le système binaire (en base ) et le système hexadécimal (en base ) sont utilisés en électronique et en informatique.

Par exemple, en informatique, le bit est une information qui ne prend que deux valeurs notées ou . Et comme tout entier s’écrit comme une somme de puissances de de façon unique, le nombre s’écrit en base : .

En effet, .

Par ailleurs, l’écriture hexadécimale permet d’écrire les codes binaires de manière plus compacte et, inversement, une telle écriture est facilement convertible en binaire car .

Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, passer du système de numération décimal à un système en base est un entier naturel supérieur ou égal à . Un entier est écrit en base lorsqu’on a trouvé :
  • un entier naturel ;
  • nombres entiers naturels tous strictement inférieurs à tels que .

Les nombres sont les chiffres de dans la base .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON


Étude théorique

Pour déterminer l’écriture en base d’un nombre , on effectue la division euclidienne de par qu’on écrit .
On réitère le procédé avec , c’est-à-dire qu’on écrit . On construit ainsi deux suites et .

1. Montrer que la suite est décroissante puis qu’il existe un rang tel que, pour tout , (on pourra raisonner par l’absurde).


2. On suppose que l’on a atteint le premier quotient nul. En déduire alors l’écriture du nombre en base et expliquer pourquoi elle est unique.


Programmation

1. Écrire un algorithme en langage Python permettant d’obtenir l’écriture en base d’un nombre écrit dans le système décimal.


  

2. Le modifier pour écrire un nombre du système décimal en une base que l’on saisira en argument d’une fonction.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR


On veut utiliser un tableur pour trouver les valeurs de l’écriture d’un nombre en base . (Fichier téléchargeable ici.)

Numération : changement de base - Tableur

1. a. Quelles formules faut-il saisir et recopier en B2, C2 et A3 pour obtenir les valeurs ?


b. Recopier les formules vers le bas jusqu’à obtenir dans la colonne A.


c. En déduire l’écriture de en base .


2. Quelles modifications faut-il apporter pour obtenir l’écriture d’un nombre en une base donnée en F2 ?
Tester avec l’écriture de en base , puis dans le système binaire.
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