Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 3

TP / TICE 2

La conjecture de Syracuse

Énoncé

Soit

n

un entier naturel. On considère l'algorithme suivant :

si $n$ est pair, on le divise par $2$ , c'est-à-dire que $n$ prend la valeur $\frac{n}{2}$ ;
si $n$ est impair, on le multiplie par $3$ et on ajoute $1$ au résultat, c'est-à-dire que $n$ prend la valeur $3 n + 1$ .

On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de

n

.
On définit ainsi une suite de nombres

(U_{n})

de premier terme

U_{0}

, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence

4; 2; 1; 4; 2; 1;

etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.

Objectif

Tester la conjecture de Syracuse à l'aide de l'une des deux méthodes.

Question préliminaire

1. Montrer la conjecture dans le cas où

U_{0} = 4

U_{0} = 2

U_{0} = 1

2. Écrire les différentes étapes pour

U_{0} = 17

jusqu'à obtenir pour dernières valeurs

4; 2; 1 .

3. a. Démontrer que s'il existe un entier naturel non nul

p

tel que

U_{p}

est un multiple de

3

, alors

U_{p - 1}

est un multiple de

3

On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.

Aide

b. En déduire que

U_{p - 1}

est pair, puis que

U_{0} = 2^{p} U_{p}

Méthode 1
Tableur

On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de

a

par

b

On saisit une valeur de

U_{0}

dans la cellule B2.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?

Méthode 2
Python

Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme

U_{0}

d'une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence

4, 2, 1

atteinte.

def syracuse(u):
	L = [u]
  while u != ... :
  	if ... :
    	u = u/2
      L.append(u)
    else:
    	u = ...
      L.append(u)
  return L

Histoire des maths

La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis. Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide. Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.

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