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TP2 : La conjecture de Syracuse
P.103

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TP / TICE 2


2
La conjecture de Syracuse




Énoncé

Soit nn un entier naturel.
On considère l’algorithme suivant :
  • si nn est pair, on le divise par 22, c’est-à-dire que nn prend la valeur n2\dfrac{n}{2} ;
  • si nn est impair, on le multiplie par 33 et on ajoute 11 au résultat, c’est-à-dire que nn prend la valeur 3n+13n + 1.

On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de nn.
On définit ainsi une suite de nombres (Un)(\text U_n) de premier terme U0\text{U}_0, que l’on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d’opérations, à la séquence 4;2;1;4;2;1;4\:; 2\:; 1 \:;4 \:;2\:; 1\:; etc. Ce résultat n’est pas encore démontré à ce jour.

Questions préliminaires :

1. Montrer la conjecture dans le cas où U0=4\text{U}_{0}=4, U0=2\text{U}_{0}=2 et U0=1\text{U}_{0}=1.


2. Écrire les différentes étapes pour U0=17\text{U}_0 = 17 jusqu’à obtenir pour dernières valeurs 4;2;14 \:; 2 \:; 1.


3. a. Démontrer que s’il existe un entier naturel non nul pp tel que Up\text U_p est un multiple de 33, alors Up1\text U_{p-1} est un multiple de 33.

Aide
On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.



b. En déduire que Up1\text U_{p-1} est pair, puis que U0=2pUp\text U_{0} = 2^p \text U_p.
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Objectif

Tester la conjecture de Syracuse à l’aide de l’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR


On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de aa par bb.
On saisit une valeur de U0\text U_0 dans la cellule B2.

La conjecture de Syracuse - Tableur

Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON


Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme U0\text U_0 d’une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence 4,2,14, 2, 1 atteinte.

def syracuse(u):
	L = [u]
  while u != ... :
  	if ... :
    	u = u/2
      L.append(u)
    else:
    	u = ...
      L.append(u)
  return L
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Histoire des maths

La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d’un voyage à l’université de Syracuse aux États-Unis.
Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide.
Si l’énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n’existe à ce jour.
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