Soit n un entier naturel.
On considère l'algorithme suivant :
si n est pair, on le divise par 2, c'est-à-dire que n prend la valeur 2n ;
si n est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 au résultat, c'est-à-dire que n prend la valeur 3n+1.
On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de n.
On définit ainsi une suite de nombres (Un) de premier terme U0, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence 4;2;1;4;2;1; etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.
Objectif
Tester la conjecture de Syracuse à l'aide de l'une des deux méthodes.
Question préliminaire
1.
Montrer la conjecture dans le cas où U0=4, U0=2 et U0=1.
2.
Écrire les différentes étapes pour U0=17 jusqu'à obtenir pour dernières valeurs 4;2;1.
3. a. Démontrer que s'il existe un entier naturel non nul p tel que Up est un multiple de 3, alors Up−1 est un multiple de 3.
On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.
Aide
b. En déduire que Up−1 est pair, puis que U0=2pUp.
Méthode 1
Tableur
On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de a par b.
On saisit une valeur de U0 dans la cellule B2.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?
Méthode 2
Python
Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme U0 d'une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence 4,2,1 atteinte.
def syracuse(u):
L = [u]
while u != ... :
if ... :
u = u/2
L.append(u)
else:
u = ...
L.append(u)
return L
Histoire des maths
La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par
le mathématicien allemand Lothar Collatz et est
popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors
d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis.
Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens
durant la guerre froide.
Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune
démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.