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TP2 : La conjecture de Syracuse
P.103

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TP / TICE 2


2
La conjecture de Syracuse




Énoncé

Soit un entier naturel.
On considère l’algorithme suivant :
  • si est pair, on le divise par , c’est-à-dire que prend la valeur ;
  • si est impair, on le multiplie par et on ajoute au résultat, c’est-à-dire que prend la valeur .

On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de .
On définit ainsi une suite de nombres de premier terme , que l’on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d’opérations, à la séquence etc. Ce résultat n’est pas encore démontré à ce jour.

Questions préliminaires :

1. Montrer la conjecture dans le cas où , et .


2. Écrire les différentes étapes pour jusqu’à obtenir pour dernières valeurs .


3. a. Démontrer que s’il existe un entier naturel non nul tel que est un multiple de , alors est un multiple de .

Aide
On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.



b. En déduire que est pair, puis que .
Voir les réponses

Objectif

Tester la conjecture de Syracuse à l’aide de l’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR


On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de par .
On saisit une valeur de dans la cellule B2.

La conjecture de Syracuse - Tableur

Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?
Voir les réponses
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON


Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme d’une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence atteinte.

def syracuse(u):
	L = [u]
  while u != ... :
  	if ... :
    	u = u/2
      L.append(u)
    else:
    	u = ...
      L.append(u)
  return L

Histoire des maths

La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d’un voyage à l’université de Syracuse aux États-Unis.
Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide.
Si l’énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n’existe à ce jour.
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