Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
TP / TICE 2
La conjecture de Syracuse
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Énoncé
Soit n un entier naturel.
On considère l'algorithme suivant :
On définit ainsi une suite de nombres (\text U_n) de premier terme \text{U}_0, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence 4\:; 2\:; 1 \:;4 \:;2\:; 1\:; etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.
- si n est pair, on le divise par 2, c'est-à-dire que n prend la valeur \dfrac{n}{2} ;
- si n est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 au résultat, c'est-à-dire que n prend la valeur 3n + 1.
On définit ainsi une suite de nombres (\text U_n) de premier terme \text{U}_0, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence 4\:; 2\:; 1 \:;4 \:;2\:; 1\:; etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.
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Objectif
Tester la conjecture de Syracuse à l'aide de l'une des deux méthodes.
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Question préliminaire
1.
Montrer la conjecture dans le cas où \text{U}_{0}=4, \text{U}_{0}=2 et \text{U}_{0}=1.
2. Écrire les différentes étapes pour \text{U}_0 = 17 jusqu'à obtenir pour dernières valeurs 4 \:; 2 \:; 1.
2. Écrire les différentes étapes pour \text{U}_0 = 17 jusqu'à obtenir pour dernières valeurs 4 \:; 2 \:; 1.
3.
a. Démontrer que s'il existe un entier naturel non nul p tel que \text U_p est un multiple de 3, alors \text U_{p-1} est un multiple de 3.
b. En déduire que \text U_{p-1} est pair, puis que \text U_{0} = 2^p \text U_p.
Aide
On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.
b. En déduire que \text U_{p-1} est pair, puis que \text U_{0} = 2^p \text U_p.
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Méthode 1Tableur
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de a par b.
On saisit une valeur de \text U_0 dans la cellule B2.
Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?
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Méthode 2Python
Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme \text U_0 d'une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence 4, 2, 1 atteinte.
def syracuse(u):
L = [u]
while u != ... :
if ... :
u = u/2
L.append(u)
else:
u = ...
L.append(u)
return L
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La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par
le mathématicien allemand Lothar Collatz et est
popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors
d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis.
Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens
durant la guerre froide.
Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune
démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.
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