si n est pair, on le divise par 2, c'est-à-dire que n prend la valeur \dfrac{n}{2} ;
si n est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 au résultat, c'est-à-dire que n prend la valeur 3n + 1.

On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de n.
On définit ainsi une suite de nombres (\text U_n) de premier terme \text{U}_0, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence 4\:; 2\:; 1 \:;4 \:;2\:; 1\:; etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.

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Objectif

Tester la conjecture de Syracuse à l'aide de l'une des deux méthodes.

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Question préliminaire

1. Montrer la conjecture dans le cas où \text{U}_{0}=4, \text{U}_{0}=2 et \text{U}_{0}=1.

2. Écrire les différentes étapes pour \text{U}_0 = 17 jusqu'à obtenir pour dernières valeurs 4 \:; 2 \:; 1.

3. a. Démontrer que s'il existe un entier naturel non nul p tel que \text U_p est un multiple de 3, alors \text U_{p-1} est un multiple de 3.

Aide

On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.

b. En déduire que \text U_{p-1} est pair, puis que \text U_{0} = 2^p \text U_p.

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Méthode 1
Tableur

On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de a par b.

On saisit une valeur de \text U_0 dans la cellule B2.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?

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Méthode 2
Python

Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme \text U_0 d'une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence 4, 2, 1 atteinte.

def syracuse(u):
	L = [u]
  while u != ... :
  	if ... :
    	u = u/2
      L.append(u)
    else:
    	u = ...
      L.append(u)
  return L

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Histoire des maths

La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis. Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide. Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.

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La conjecture de Syracuse

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