si $n$ est pair, on le divise par $2$ , c'est-à-dire que $n$ prend la valeur $\frac{n}{2}$ ;
si $n$ est impair, on le multiplie par $3$ et on ajoute $1$ au résultat, c'est-à-dire que $n$ prend la valeur $3 n + 1$ .

On recommence le procédé avec la nouvelle valeur de

n

.
On définit ainsi une suite de nombres

(U_{n})

de premier terme

U_{0}

, que l'on conjecture toujours aboutir, après un nombre fini d'opérations, à la séquence

4; 2; 1; 4; 2; 1;

etc. Ce résultat n'est pas encore démontré à ce jour.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Objectif

Tester la conjecture de Syracuse à l'aide de l'une des deux méthodes.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Question préliminaire

1. Montrer la conjecture dans le cas où

U_{0} = 4

U_{0} = 2

U_{0} = 1

2. Écrire les différentes étapes pour

U_{0} = 17

jusqu'à obtenir pour dernières valeurs

4; 2; 1.

3. a. Démontrer que s'il existe un entier naturel non nul

p

tel que

U_{p}

est un multiple de

3

, alors

U_{p - 1}

est un multiple de

3

Aide

On pourra raisonner pas contraposée et par disjonction des cas.

b. En déduire que

U_{p - 1}

est pair, puis que

U_{0} = 2^{p} U_{p}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 1
Tableur

On rappelle que la syntaxe de la condition « Si alors » avec un tableur est :
SI (Condition ; valeur si condition vraie ; valeur si condition fausse) et que la fonction MOD(a ; b) donne le reste de la division de

a

par

b

On saisit une valeur de

U_{0}

dans la cellule B2.

Capture d'écran d'un tableur: suite numérique illustrant la conjecture de Syracuse. Colonnes 'n' et 'Un', valeurs numériques.

Quelle formule doit-on saisir en B3 pour obtenir dans la colonne B les valeurs de la suite de Syracuse en recopiant la cellule B3 vers le bas ?

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 2
Python

Compléter le programme ci‑dessous prenant en entrée le premier terme

U_{0}

d'une suite de Syracuse et retournant en sortie la liste des termes successifs de cette suite. On arrêtera le programme une fois la séquence

4, 2, 1

atteinte.

def syracuse(u):
	L = [u]
  while u != ... :
  	if ... :
    	u = u/2
      L.append(u)
    else:
    	u = ...
      L.append(u)
  return L

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Histoire des maths

La conjecture de Syracuse est énoncée en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz et est popularisée par son compatriote Helmut Hasse lors d'un voyage à l'université de Syracuse aux États-Unis. Elle a particulièrement mobilisé les mathématiciens durant la guerre froide. Si l'énoncé de la conjecture est très simple, aucune démonstration de ce résultat n'existe à ce jour.

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Nombres complexes, point de vue algébrique

Nombres complexes, point de vue géométrique

Divisibilité dans Z

PGCD et applications

Nombres premiers

Calcul matriciel et applications aux graphes

Suites et matrices

Cahier d'algorithmique et de programmation

La conjecture de Syracuse

Méthode 1Tableur

Méthode 2Python

Histoire des maths

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Méthode 1
Tableur

Méthode 2
Python