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Histoire des mathématiques : Arithmétique
P.86-87

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Partie 2
Histoire des mathématiques


Arithmétique





❚ ❙ ❙ La science des nombres

L’arithmétique désigne de façon générale la science des nombres.
Plus spécifiquement, depuis l’Antiquité, beaucoup de résultats de l’arithmétique sont liés à l’étude des nombres entiers : des caractéristiques de certains d’entre eux aux relations des uns avec les autres, comme les nombres premiers, pairs, impairs, amis, parfaits, etc. On peut citer aussi les triplets pythagoriciens, les nombres triangulaires, les nombres polygonaux de Diophante, les nombres de Mersenne, de Fermat, de Gauss, de Sophie Germain, ceux de Carmichael et bien d’autres encore.
Bien que souvent considérée comme très théorique, l’arithmétique a cependant permis de mieux comprendre l’infini et les différents ensembles de nombres. Elle trouve de nos jours de nombreuses applications notamment en informatique (systèmes de cryptographie ou codes correcteurs d’erreur).

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Arithmétique - Lettre de Goldbach exposant sa conjecture à Euler
Certaines conjectures compréhensibles de tous restent encore de nos jours non démontrées, comme la conjecture de Christian Goldbach (1742) qui écrit que « tout nombre entier pair supérieur à 33 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers ».
(Ci-dessus : lettre de Goldbach exposant sa conjecture à Euler.)

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Arithmétique - Fermat

Fermat



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Andrew Wiles

❚ ❙ ❙ Le grand théorème de Fermat

La compréhension des problèmes arithmétiques est souvent très aisée, mais leur résolution peut générer des recherches et des raisonnements particulièrement délicats.
En lisant une édition de son époque des Arithmétiques de Diophante, Fermat (1607‑1665) rédige l’énoncé d’un résultat que l’on appellera le grand théorème de Fermat : « Pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 33, il n’existe pas de nombres entiers strictement positifs xx, yy et zz tels que xn+yn=znx^n + y^n = z^n ». Il ajoute dans la marge : « J’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir ». Nous n’avons aujourd’hui encore pas retrouvé la trace d’une telle démonstration. Beaucoup de mathématiciens à travers l’histoire se sont attachés à essayer de démontrer ce qui n’était alors qu’une conjecture. Ce n’est qu’en 1993 (puis en 1994) que le mathématicien Andrew Wiles présente ses travaux et précise que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses résultats. Il aura donc fallu plus de 300 ans pour parvenir à une démonstration du résultat et faire appel à de nombreuses branches des mathématiques qui n’existaient pas au XVIIe siècle. Une démonstration reposant sur les outils dont disposait Fermat est toujours à l’étude aujourd’hui.

❚ ❙ ❙ Sophie Germain

Mathématicienne et philosophe, Sophie Germain (1776‑1831) s’est passionnée pour les mathématiques à l’âge de treize ans en lisant les œuvres d’Archimède. Afin de s’intégrer dans un milieu exclusivement masculin, elle choisit le pseudonyme d’Antoine Auguste Le Blanc pour correspondre avec Lagrange et Gauss et apporte des avancées notables sur la démonstration du théorème de Fermat et sur la théorie des nombres.
À la fin de sa vie, elle travaille sur les mathématiques des surfaces et, en 1816, elle devient la première femme à recevoir le prix de l’Académie des Sciences et à pouvoir assister à ses séances de travail.

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Arithmétique - Sophie Germain (1776-1831)

Eras

  1. -700 - 800 : Les Mathématiques du Monde Arabe
  2. 800 - 1500 : Les Mathématiques du Monde Arabe
  3. 1500 - 1600 : La Renaissance Italienne
  4. 1600 - 1730 : Fort développement des sciences
  5. 1730 - 1840 : L'âge d’or de l’analyse
  6. 1840 - 1930 : L’essor des mathématiques
  7. 1930 - 2025 : Le boom de la communauté mathématique

Évènements

  1. -580 - -495 :Pythagore | Dans sa jeunesse, Pythagore aurait remporté toutes les compétitions de pugilat lors d’une Olympiade. Il part ensuite dans de nombreuses régions du monde et en revient avec différents savoirs. Pythagore devient avant tout un philosophe (dont il est l’inventeur du nom) et un réformateur religieux. Dans sa doctrine, on lui doit l’idée que « tout est nombre » (entier ou rationnel). Il influence alors fortement les domaines de l’arithmétique (nombres parfaits, nombres excessifs, triplets pythagoriciens, etc.), la géométrie, la musique (création de la gamme) et l’astronomie (sphéricité de la terre). Bien que des traces remontent à l’antique Babylone, il énonce le théorème qui porte son nom et qui sera démontré par Euclide. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Pythagore.
  2. -300 - :Euclide | On sait très peu de choses de la vie d’Euclide et tous ses manuscrits originaux ont disparus ; c’est par des copies de copies que l’on connaît l’ensemble de son œuvre. Il aurait été professeur au Museion d’Alexandrie où il a vécu. En s’attachant à regrouper l’ensemble des savoirs mathématiques de l’époque, il rédige <i data-reactroot="">les Éléments</i>, encyclopédie qui constituera la base de beaucoup d’enseignements jusqu’au début même du XX<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">e</sup> siècle. Les mathématiques y sont regroupés en plusieurs parties (géométrie plane, géométrie des solides, arithmétique et théorie des nombres, algèbre géométrique) et reposent sur des axiomes, postulats, définitions, théorèmes et démonstrations, constituant ainsi le premier modèle d’une science déductive. Il y démontre, entre autre, les théorèmes de Thalès et de Pythagore. Euclide écrit également d’autres livres sur l’optique, les coniques, la musique, etc. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Euclide.
  3. 0 - 200 :Nicomaque de Gérase | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicomaque_de_G%C3%A9rase" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Nicomaque de Gérase.
  4. 0 - 200 :Théon de Smyrne | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9on_de_Smyrne" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Théon de Smyrne.
  5. 200 - 300 :Diophante | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Diophante_d%27Alexandrie" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Diophante.
  6. 1581 - 1638 :Claude-Gaspard Bachet de Méziriac | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Claude-Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.
  7. 1588 - 1648 :Marin Mersenne | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Marin Mersenne.
  8. 1607 - 1665 :Pierre de Fermat | Il est un des rares mathématiciens à reprendre les travaux de Viète. Il est resté célèbre pour la publication du fameux « Théorème de Fermat » (théorème d’arithmétique, domaine où il apportera une très forte contribution) dont il ne publie pas de démonstration et qui sera démontré seulement par Andrew Wiles en 1994. Il se dispute avec Pascal l’intuition d’utiliser systématiquement l’algèbre à la géométrie. Avec Roberval, ils arrivent aux mêmes résultats que Cavalieri sur des calculs d’aires curvilignes mais en apportant une solution plus simple, première application d’un calcul infinitésimal naissant. Dans ses échanges épistolaires avec Pascal, ils reprennent le problème des partis sous la forme du « problème du Chevalier de Mérée » et y apportent une solution qui formera une base à des premiers calculs de probabilité. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Pierre de Fermat.
  9. 1690 - 1764 :Christian Goldbach | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Christian_Goldbach#:~:text=Christian%20Goldbach%20(%2018%20mars%201690,conjecture%20qui%20porte%20son%20nom." target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Christian Goldbach.
  10. 1707 - 1783 :Léonhard Euler | Leonhard Euler met de l’ordre dans les différentes découvertes du XVII<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">e</sup> siècle tout en ajoutant une part imposante de découvertes personnelles, tant au niveau de la quantité (plus de 800 articles, son œuvre complète tenant sur 74 volumes) que de la qualité. Il travaille aussi bien dans des domaines comme la géométrie élémentaire (droite et cercle qui portent son nom), l’arithmétique (où il prouva bon nombre de conjectures encore non démontrées jusque là), l’algèbre, la mécanique ou encore l’astronomie. C’est pourtant en analyse que son apport est le plus important de tous où il organise ses développements autour du concept de fonctions ou de suites. Grâce à son travail, le calcul infinitésimal devient enfin une branche autonome des mathématiques. Outre ces nombreux résultats, on lui doit aussi les notations <span data-light-editor-katex="\text{e}" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>e</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\text{e}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord text"><span class="mord">e</span></span></span></span></span></span></span>, l’imaginaire <span data-light-editor-katex="\text{i}" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>i</mtext></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\text{i}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.66786em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord text"><span class="mord">i</span></span></span></span></span></span></span>, <span data-light-editor-katex="\sin" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sin</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.66786em;vertical-align:0em;"></span><span class="mop">sin</span></span></span></span></span></span>, <span data-light-editor-katex="\cos" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cos</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mop">cos</span></span></span></span></span></span>, <span data-light-editor-katex="\tan" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>tan</mi><mo>⁡</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\tan</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.61508em;vertical-align:0em;"></span><span class="mop">tan</span></span></span></span></span></span>, etc., la systématisation de l’utilisation du symbole <span data-light-editor-katex="\pi" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\pi</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π</span></span></span></span></span></span>, et les termes « dérivées » et « primitive ». l&#x27;identité d’Euler <span data-light-editor-katex="\text{e}^{\text{i} \pi}+1 = 0" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mtext>e</mtext><mrow><mtext>i</mtext><mi>π</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\text{e}^{\text{i} \pi}+1 = 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.913832em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord"><span class="mord text"><span class="mord">e</span></span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.830502em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord text mtight"><span class="mord mtight">i</span></span><span class="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">π</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span></span> constitue pour beaucoup la plus belle des formules mathématiques en regroupant en une seule égalité toute l’histoire des nombres. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Léonhard Euler.
  11. 1730 - 1783 :Étienne Bézout | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_B%C3%A9zout" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Étienne Bézout.
  12. 1736 - 1813 :Joseph‑Louis Lagrange | Il est, avec Euler (avec qui il échange beaucoup), considéré comme le fondateur des calculs des variations. Il aborde aussi de nombreux autres domaines comme la mécanique, la théorie des nombres, les équations algébriques et la théorie des probabilités. Il a inventé les notations <span data-light-editor-katex="f(x)" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span></span>, <span data-light-editor-katex="f \prime(x)" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f \prime(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">′</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span></span>, etc., reprises par Euler. Il contribue fortement à la mise en place du système métrique lors de la Révolution française. Il est nommé enseignant de mathématique à l’Ecole Normale de l’an III et premier professeur d’analyse à la création de l’École Polytechnique. Napoléon 1<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">er </sup>lui a souvent montré toute son estime. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Joseph‑Louis Lagrange.
  13. 1776 - 1831 :Sophie Germain | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Sophie Germain.
  14. 1777 - 1855 :Carl Friedrich Gauss | Mathématicien, physicien et astronome. Génie précoce il est doté de capacités exceptionnelles en calcul mental. Il devient célèbre en découvrant par le calcul la planète naine Cérès. Il excelle dans tous les domaines qu’il aborde comme l’algèbre (démonstration du théorème fondamentale de l&#x27;algèbre, théorie des nombres et nombres complexes), l’arithmétique (théorème qui porte son nom, apport des congruences, résolutions d’équations), les probabilités (répartition gaussienne) et la géométrie (étude systématique des courbes et des surfaces au voisinage d’un point). Même s’il déteste enseigner, il s’occupera sur la fin de sa vie d&#x27;Eisenstein, Riemann et Dedekind. Gauss a peu publié et c’est la publication de ses œuvres à titre posthume qui a révélé au monde toute l’étendue et la qualité de ses travaux mathématiques. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Carl Friedrich Gauss.
  15. 1803 - 1855 :Jacques Charles François Sturm | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Sturm" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Jacques Charles François Sturm.
  16. 1805 - 1859 :Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
  17. 1879 - 1967 :Robert Daniel Carmichael | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Robert_Daniel_Carmichael" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Robert Daniel Carmichael.
  18. 1953 - :Andrew Wiles | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Andrew Wiles.
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