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Activités - Histoire des mathématiques
P.88-89

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Activités

Histoire des mathématiques




A
Diophante, le père de l’inconnue


Diophante est un mathématicien de l’Antiquité ayant certainement vécu au IIIe siècle après J.‑C. Il a surtout travaillé en arithmétique dans la résolution des équations. Son œuvre majeure, les Arithmétiques, ne nous est parvenue qu’à travers des copies et interprétations successives.
Durant l’Antiquité, l’écriture symbolique n’existait pas et la résolution des équations devait s’appuyer sur des résultats provenant de la géométrie. Voici quelques problèmes étudiés par Diophante.
Dans les questions qui vont suivre, nous avons besoin de connaître une identité remarquable démontrée par Euclide dans Les Éléments à partir du gnomon (une figure qui interprète des produits en termes d’aire).

1
Le gnomon ci‑contre permet d’obtenir l’identité remarquable bien connue (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}. Compléter ce gnomon et expliquer en quoi il constitue une démonstration visuelle de cette identité remarquable.


Avec une méthode similaire, Diophante a montré que (a+b2)2=(ab2)2+ab\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^{2}+a b.

2
Livre I problème 27 des Arithmétiques : Trouver deux nombres dont la somme est 20 et le produit est 96.
Avec nos connaissances actuelles concernant les équations du second degré, ce problème se résout facilement. Mais Diophante ne connaissait pas ce formalisme et procéda donc différemment. Afin de ne pas avoir deux valeurs à chercher à ce problème, il propose de les écrire à partir d’une inconnue qu’il nomme « nombre non dit » en grec ancien. Il la définit comme étant la moitié de leur différence.
En se servant de la deuxième identité donnée à la question
1
, il indique ensuite que le carré de leur demi‑somme doit être égal à 100100 (car (202)2=100\left(\dfrac{20}{2}\right)^{2}=100), donc que le carré de l’inconnue augmenté du produit des deux nombres cherchés vaut 100100. Ainsi, 9696 augmenté du carré de l’inconnue vaut 100100. Le carré de l’inconnue vaut donc 44, donc cette inconnue vaut 22. Il en résulte que la plus grande des solutions vaut 10+210+2 soit 1212 et que l’autre vaut 10210-2 soit 88. Il précise enfin que sa méthode fonctionne, à condition que le carré de la demi‑somme à trouver soit plus grand que leur produit.

a) Soient aa et bb les deux nombres à trouver, S\text{S} leur somme et P\text{P} leur produit. Avec nos notations actuelles, montrer que a=S2+xa=\dfrac{\mathrm{S}}{2}+x et b=S2xb=\dfrac{\mathrm{S}}{2}-x, où xx correspond à l’inconnue (la moitié de la différence entre aa et bb).


b) Résoudre le problème en utilisant la deuxième identité de la question
1
et donner alors les solutions proposées par Diophante en fonction de S\text{S} et P\text{P}.


c) En utilisant le principe de Diophante, sans les formules trouvées à la question
2
b), déterminer deux nombres dont la somme vaut 4040 et le produit 364364.


3
Livre II problème 8 : Partager 16 en deux carrés.
On cherche ici deux nombres dont la somme de leur carré vaut 1616. Soit l’inconnue l’une de ces valeurs.
Diophante propose d’écrire la deuxième valeur sous la forme mm fois l’inconnue (où mm est un nombre strictement positif, de préférence entier) moins 44 (car 4=16)4=\sqrt{16})). En prenant m=2m=2, il obtient alors une équation du premier degré qu’il sait résoudre et dont la solution est 165\dfrac{16}{5}. De là, il trouve que l’autre valeur recherchée est donc 125\dfrac{12}{5}.

a) En appliquant la méthode de Diophante, retrouver que 165\dfrac{16}{5} et 125\dfrac{12}{5} sont bien solutions du problème, autrement dit que (165)2+(125)2=16\left(\dfrac{16}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{12}{5}\right)^{2}=16.


b) On note aa, bb et cc trois nombres qui vérifient a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}. On suppose que aa est l’inconnue.
En utilisant nos notations actuelles et en suivant la méthode de Diophante, montrer que a=2mc1+m2a=\dfrac{2 m c}{1+m^{2}}, puis déterminer bb en fonction de mm et cc.
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Maths expertes - Activités - Histoire des mathématiques - Diophante, le père de l’inconnue - Le gnomon

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B
Les nombres de Mersenne


Maths expertes - Activité - Histoire des mathématiques - Les nombres de Mersenne - Marin Mersenne


Marin Mersenne (1588‑1648)

Marin Mersenne (1588‑1648) est un religieux à la culture encyclopédique qui s’intéresse particulièrement aux sciences. En 1644, il publie ses Cogitata Physico-Mathematica et, dans le paragraphe XIX de l’introduction, évoque les nombres parfaits et fait allusion à des nombres qui s’écrivent sous la forme 2n12^n-1. Ce paragraphe a inspiré de nombreux problèmes mathématiques abordés notamment par Euler, Legendre et Gauss.
En voici une traduction en français.


À ce point, il sera utile de noter que les 28 nombres présentés par Petrus Bungus comme parfaits dans le chapitre XXVIII de son livre sur les nombres, ne sont pas tous parfaits. En effet, 20 sont imparfaits, de sorte qu’il n’y en a que 8 parfaits, à savoir 66, 2828, 496496, 8 1288 128, 3 355 033 6143 355 033 614, 8 589 869 0568 589 869 056, 137 438 691 328137 438 691 328 et 2 305 843 008 139 952 1282 305 843 008 139 952 128. (…)
De plus, les nombres parfaits sont si rares que jusqu’à présent, seuls onze ont pu être trouvés, c’est‑à‑dire trois de plus que ceux de Bungus ; car il n’y a pas d’autres nombres parfaits en dehors de ces huit, à moins de dépasser l’exposant 62, en 1+2+22+1 + 2 + 2^2 + … Le neuvième nombre parfait est la puissance de l’exposant 6868 moins 11 ; le dixième, la puisssance de l’exposant 128128 moins 11 ; le onzième, enfin, la puissance 258258 moins 11, c’est‑à‑dire la puissance 257257, diminuée de l’unité, multipliés par la puissance 256256.


Extrait du paragraphe XIX de Cogitata Physico-Mathematica de Marin Mersenne.


1
a) Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts.
Vérifier que 66 et 2828 sont bien des nombres parfaits.


b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul nn, 1+2+22++2n1=2n11+2+2^{2}+\dots+2^{n-1}=2^{n}-1.


c) Pour aborder les nombres parfaits, on utilisera la propriété suivante.
« Pour tous entiers aa et nn supérieurs ou égaux à 22, an1a^n-1 est divisible par a1a-1. »
Démontrer ce théorème en déterminant la valeur de la somme 1+a+a2++an11+a+a^{2}+\dots+a^{n-1}.


2
a) En utilisant la propriété précédente, montrer que si nn n’est pas un nombre premier, alors 2n12^n-1 n’est pas un nombre premier.


Aide
On pourra noter kk et mm les entiers tels que n=kmn=km, puis utiliser le fait que 2n1=(2k)m12^{n}-1=\left(2^{k}\right)^{m}-1.


b) Pour tout n2n \geqslant 2, on pose Mn=2n1\mathrm{M}_{n}=2^{n}-1.
Étudier la primalité des nombres M2\mathrm{M}_2, M3\mathrm{M}_3, … , M10\mathrm{M}_{10}.


c) À ce stade, on pourrait conjecturer que si nn est premier, alors Mn\mathrm{M}_{n} est aussi premier.
Montrer que M11\mathrm{M}_{11} n’est pas premier, bien que 1111 le soit.


Remarque :
  • Le deuxième paragraphe de Mersenne est surprenant : en effet, il indique qu’il faut aller au‑delà de la puissance 6262 pour trouver des nombres parfaits. Or, justement, M61\mathrm{M}_{61} est un nombre premier, et 260M612^{60} \mathrm{M}_{61} est un nombre parfait (valeur trouvée en 1883 par Pervouchine).
  • Mersenne parle également des puissances 6868 et 258258 comme des nombres parfaits. Or les nombres M67\mathrm{M}_{67} et M257\mathrm{M}_{257} ne sont pas premiers.
  • Le 20 décembre 2018, Patrick Laroche trouve le plus grand des nombres premiers connus à ce jour : 28258993312^{82\,589\,933} - 1.
    Il s’écrit avec 24 862 048 chiffres. C’est un nombre de Mersenne.
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