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2. Division euclidienne
P.107-108

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Entrainement


2
Division euclidienne





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

76
FLASH
VRAI / FAUX

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.

1. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier par est , alors le quotient dans la division euclidienne par est .


2. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier par est et le quotient dans la division euclidienne d’un entier par est , alors le quotient dans la division euclidienne de par est .


3. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier par est et le quotient dans la division euclidienne d’un entier par est , alors est divisible par .
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77
FLASH

On donne .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .


3. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
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78
FLASH

Soit un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de par vaut .
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de par .
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79
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .

1. et .


2. et .


3. et .
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80
[Calculer.] ◉◉
Sachant que le reste de la division euclidienne d’un entier par est , déterminer le reste de la division euclidienne de par , de par et de par .
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81
[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est .
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est et le reste est . Quels sont ces deux nombres ?
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82
[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est .
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est et le reste est . Quels sont ces deux nombres ?
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83
[Chercher.]
Soient et deux entiers naturels avec non nul.
Que peuvent valoir le diviseur et le quotient d’une division dont le dividende est et le reste ?
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84
[Chercher.] ◉◉
Déterminer les entiers naturels qui, dans la division euclidienne de par , ont un quotient égal à deux fois le reste.
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85
[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels qui, dans la division euclidienne de par , ont un reste égal à deux fois le quotient.
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86
[Raisonner.]
Soit un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de par .
Jeanne fait le raisonnement suivant.

Pour tout entier naturel , on a .
Donc le reste de la division euclidienne de par est

Jules choisit alors un exemple.

et donc le reste n’est pas égal à .

Retrouver l’erreur commise par Jeanne.
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87
[Chercher.]
Déterminer un entier naturel non nul tel que la division euclidienne de par donne un reste égal au cube du quotient.
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88
[Chercher.]
Soit un entier naturel. Si on divise par , le reste est .
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de par ?
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89
[Raisonner.] ◉◉
Soit un entier naturel non nul. On considère l’entier défini par .

1. Déterminer l’entier tel que :
.



2. Justifier que est le reste de la division euclidienne de par .
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90
[Calculer.] ◉◉◉
1. Soit un entier écrit en base .
Effectuer la division euclidienne de par , puis les divisions euclidiennes successives des quotients par .
En déduire l’écriture de en base (voir TP 1 p. 102).


2. Soit un entier écrit en base .
Écrire ce nombre en base .


3. On souhaite écrire en base (base hexadécimale).
En base , il faut introduire d’autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base sont .
a. Écrire la division euclidienne de par .


b. En déduire l’écriture de dans la base hexadécimale.


4. Soit écrit en base hexadécimale.
Donner l’écriture de en base .


5. On donne , et , trois nombres écrits en base hexadécimale.
a. Donner l’écriture de ces nombres en base .


b. Le nombre est écrit en base .
Donner son écriture en base .


6. a. En remarquant que , justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base un nombre donné en base .
Base
Base

L’écriture de donné en base est donc en base .


b. Écrire en base .
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91
[Calculer.]
Soit un entier naturel non nul.
On considère l’entier .

1. Calculer , et et donner le reste de la division par de , de et de .
Quelle conjecture peut-on faire ?


2. a. Factoriser .


b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.
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