Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Entraînement 2

Division euclidienne

Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;   et
Parcours 3 : exercices  ;  ; ; et
76
Flash
Vrai/Faux

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.

1. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier par est , alors le quotient dans la division euclidienne par est .
2. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier par est et le quotient dans la division euclidienne d'un entier par est , alors le quotient dans la division euclidienne de par est .
3. Si le quotient dans la division euclidienne d'un entier par est et le quotient dans la division euclidienne d'un entier par est , alors est divisible par .
77
Flash

On donne .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
78
Flash

Soit un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de par vaut .
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de par .
79
[Calculer.]

Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .

1. et .

2. et .

3. et .
80
[Calculer.]

Sachant que le reste de la division euclidienne d'un entier par est , déterminer le reste de la division euclidienne de par , de par et de par .
81
[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est .
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est et le reste est . Quels sont ces deux nombres ?
82
[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est .
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est et le reste est . Quels sont ces deux nombres ?
83
[Chercher.]
Soient et deux entiers naturels avec non nul.
Que peuvent valoir le diviseur et le quotient d'une division dont le dividende est et le reste ?
84
[Chercher.]

Déterminer les entiers naturels qui, dans la division euclidienne de par , ont un quotient égal à deux fois le reste.
85
[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels qui, dans la division euclidienne de par , ont un reste égal à deux fois le quotient.
86
[Raisonner.]
Soit un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de par .
Jeanne fait le raisonnement suivant.

Pour tout entier naturel , on a .
Donc le reste de la division euclidienne de par est

Jules choisit alors un exemple.

et donc le reste n'est pas égal à .
Retrouver l'erreur commise par Jeanne.
87
[Chercher.]
Déterminer un entier naturel non nul tel que la division euclidienne de par donne un reste égal au cube du quotient.
88
[Chercher.]
Soit un entier naturel. Si on divise par , le reste est .
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de par ?
89
[Raisonner.]

Soit un entier naturel non nul. On considère l'entier défini par .

1. Déterminer l'entier tel que :
.


2. Justifier que est le reste de la division euclidienne de par .
90
[Calculer.]

1. Soit un entier écrit en base .
Effectuer la division euclidienne de par , puis les divisions euclidiennes successives des quotients par .
En déduire l'écriture de en base (voir ).

2. Soit un entier écrit en base .
Écrire ce nombre en base .

3. On souhaite écrire en base (base hexadécimale).
En base , il faut introduire d'autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base sont .
a. Écrire la division euclidienne de par .

b. En déduire l'écriture de dans la base hexadécimale.

4. Soit écrit en base hexadécimale.
Donner l'écriture de en base .

5. On donne , et , trois nombres écrits en base hexadécimale.
a. Donner l'écriture de ces nombres en base .

b. Le nombre est écrit en base .
Donner son écriture en base .

6. a. En remarquant que , justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base un nombre donné en base .

Base
Base

L'écriture de donné en base est donc en base .

b. Écrire en base .
91
[Calculer.]
Soit un entier naturel non nul.
On considère l'entier .

1. Calculer , et et donner le reste de la division par de , de et de .
Quelle conjecture peut-on faire ?


2. a. Factoriser .

b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.

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