77

On donne $3782=251\times 15+17$. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3782$ par $251$.

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3782$ par $15$.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $-3782$ par $251$.

78

Soit $a$ un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de $a$ par $4$ vaut $2$.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $16$.

79

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. 1. $a=-51$ et $b=6$.

2. $a=-40$ et $b=3$.

3. $a=-40$ et $b=11$.

80

[Calculer.]
Sachant que le reste de la division euclidienne d'un entier $a$ par $7$ est $6$, déterminer le reste de la division euclidienne de $2a$ par $7$, de $-3a$ par $7$ et de $4a$ par $7$.

81

[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est $116$.
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est $4$ et le reste est $8$. Quels sont ces deux nombres ?

82

[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est $708$.
Si l'on divise l'un par l'autre, le quotient est $12$ et le reste est $6$. Quels sont ces deux nombres ?

83

[Chercher.]
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels avec $p$ non nul.
Que peuvent valoir le diviseur $p$ et le quotient $q$ d'une division dont le dividende est $500$ et le reste $71$ ?

84

[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels $n$ qui, dans la division euclidienne de $n$ par $4$, ont un quotient égal à deux fois le reste.

86

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de $(n+2{)}^3$ par $n$.
Jeanne fait le raisonnement suivant.

Pour tout entier naturel $n$, on a $(n+2{)}^3=n\left(n^2+6n+12\right)+8$.
Donc le reste de la division euclidienne de $(n+2{)}^3$ par $n$ est $8$

Jules choisit alors un exemple.

$(6+2{)}^3=512$ et $512=85\times 6+2$ donc le reste n'est pas égal à $8$.
Retrouver l'erreur commise par Jeanne.

87

[Chercher.]
Déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que la division euclidienne de $n$ par $58$ donne un reste égal au cube du quotient.

88

[Chercher.]
Soit $a$ un entier naturel. Si on divise $a$ par $5$, le reste est $4$.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de $a$ par $25$ ?