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2. Division euclidienne
P.107-108

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Entrainement


2
Division euclidienne





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

76
FLASH
VRAI / FAUX

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.

1. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier aa par 66 est 44, alors le quotient dans la division euclidienne 3a3a par 66 est 1212.


2. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier aa par 77 est 55 et le quotient dans la division euclidienne d’un entier bb par 77 est 33, alors le quotient dans la division euclidienne de a+ba + b par 77 est 88.


3. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier aa par 66 est 55 et le quotient dans la division euclidienne d’un entier bb par 66 est 11, alors a+ba + b est divisible par 66.
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77
FLASH

On donne 3782=251×15+173 \, 782 = 251 \times 15 + 17.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 37823 \, 782 par 251251.


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 37823 \, 782 par 1515.


3. Déterminer le reste de la division euclidienne de 3782-3 \, 782 par 251251.
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78
FLASH

Soit aa un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de aa par 44 vaut 22.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de aa par 1616.
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79
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de aa par bb.

1. a=51a = -51 et b=6b = 6.


2. a=40a = -40 et b=3b = 3.


3. a=40a = -40 et b=11b = 11.
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80
[Calculer.] ◉◉
Sachant que le reste de la division euclidienne d’un entier aa par 77 est 66, déterminer le reste de la division euclidienne de 2a2a par 77, de 3a-3a par 77 et de 4a4a par 77.
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81
[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est 116116.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 44 et le reste est 88. Quels sont ces deux nombres ?
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82
[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est 708708.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 1212 et le reste est 66. Quels sont ces deux nombres ?
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83
[Chercher.]
Soient pp et qq deux entiers naturels avec pp non nul.
Que peuvent valoir le diviseur pp et le quotient qq d’une division dont le dividende est 500500 et le reste 7171 ?
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84
[Chercher.] ◉◉
Déterminer les entiers naturels nn qui, dans la division euclidienne de nn par 44, ont un quotient égal à deux fois le reste.
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85
[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels nn qui, dans la division euclidienne de nn par 66, ont un reste égal à deux fois le quotient.
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86
[Raisonner.]
Soit nn un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de (n+2)3(n + 2)^3 par nn.
Jeanne fait le raisonnement suivant.

Pour tout entier naturel nn, on a (n+2)3=n(n2+6n+12)+8(n+2)^{3}=n\left(n^{2}+6 n+12\right)+8.
Donc le reste de la division euclidienne de (n+2)3(n+2)^{3} par nn est 88

Jules choisit alors un exemple.

(6+2)3=512(6 + 2)^3 = 512 et 512=85×6+2512 = 85 \times 6 + 2 donc le reste n’est pas égal à 88.

Retrouver l’erreur commise par Jeanne.
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87
[Chercher.]
Déterminer un entier naturel nn non nul tel que la division euclidienne de nn par 5858 donne un reste égal au cube du quotient.
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88
[Chercher.]
Soit aa un entier naturel. Si on divise aa par 55, le reste est 44.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de aa par 2525 ?
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89
[Raisonner.] ◉◉
Soit nn un entier naturel non nul. On considère l’entier défini par P(n)=n3+3n2+11n+20\mathrm{P}(n)=n^{3}+3 n^{2}+11 n+20.

1. Déterminer l’entier rr tel que :
P(n)=(n+2)(n2+n+9)+r\mathrm{P}(n)=(n+2)\left(n^{2}+n+9\right)+r.



2. Justifier que rr est le reste de la division euclidienne de P(n)\text P (n) par n+2n + 2.
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90
[Calculer.] ◉◉◉
1. Soit a=135a = 135 un entier écrit en base 1010.
Effectuer la division euclidienne de aa par 22, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par 22.
En déduire l’écriture de aa en base 22 (voir TP 1 p. 102).


2. Soit N=110101102\text{N}=\overline{11010110}^{2} un entier écrit en base 22.
Écrire ce nombre en base 1010.


3. On souhaite écrire N\text{N} en base 1616 (base hexadécimale).
En base 1616, il faut introduire d’autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base 1616 sont {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F}\{ \:0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; \text A \: ; \text B \: ; \text C \: ; \text D \: ; \text E \: ; \text F \:\}.
a. Écrire la division euclidienne de N\text N par 1616.


b. En déduire l’écriture de N\text N dans la base hexadécimale.


4. Soit P=2A14E16\mathrm{P}=\overline{2 \mathrm{A} 14 \mathrm{E}}^{16} écrit en base hexadécimale.
Donner l’écriture de P\text{P} en base 1010.


5. On donne 77, D\text{D} et 55, trois nombres écrits en base hexadécimale.
a. Donner l’écriture de ces nombres en base 22.


b. Le nombre 7D516\overline{7 \text D 5}^{16} est écrit en base 1616.
Donner son écriture en base 22.


6. a. En remarquant que 16=2416 = 2^4, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base 22 un nombre donné en base 1616.
Base 16\bold{16} 77 D\text{D} 55
Base 2\bold 2 01110111 11011101 01010101

L’écriture de 7D516\overline{7 \text D 5}^{16} donné en base 1616 est donc 111110101012\overline{11111010101}^2 en base 22.


b. Écrire A2C16\overline{\text{A}2\text{C}}^{16} en base 22.
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91
[Calculer.]
Soit nn un entier naturel non nul.
On considère l’entier Pn=n3n\mathrm{P}_{n}=n^{3}-n.

1. Calculer P1\text P_1, P2\text P_2 et P3\text P_3 et donner le reste de la division par 66 de P1\text P_1, de P2\text P_2 et de P3\text P_3.
Quelle conjecture peut-on faire ?


2. a. Factoriser Pn\text P_n.


b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.
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