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Division euclidienne

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

76

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.

1. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $6$ est $4$, alors le quotient dans la division euclidienne $3a$ par $6$ est $12$.


2. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $7$ est $5$ et le quotient dans la division euclidienne d’un entier $b$ par $7$ est $3$, alors le quotient dans la division euclidienne de $a + b$ par $7$ est $8$.


3. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $6$ est $5$ et le quotient dans la division euclidienne d’un entier $b$ par $6$ est $1$, alors $a + b$ est divisible par $6$.

77

On donne $3 \, 782 = 251 \times 15 + 17$.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3 \, 782$ par $251$.


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3 \, 782$ par $15$.


3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $-3 \, 782$ par $251$.

78

Soit $a$ un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de $a$ par $4$ vaut $2$.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $16$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

1. $a = -51$ et $b = 6$.


2. $a = -40$ et $b = 3$.


3. $a = -40$ et $b = 11$.

80

[Calculer.] ◉◉◉
Sachant que le reste de la division euclidienne d’un entier $a$ par $7$ est $6$, déterminer le reste de la division euclidienne de $2a$ par $7$, de $-3a$ par $7$ et de $4a$ par $7$.

81

[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est $116$.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est $4$ et le reste est $8$. Quels sont ces deux nombres ?

82

[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est $708$.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est $12$ et le reste est $6$. Quels sont ces deux nombres ?

83

[Chercher.]
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels avec $p$ non nul.
Que peuvent valoir le diviseur $p$ et le quotient $q$ d’une division dont le dividende est $500$ et le reste $71$ ?

84

[Chercher.] ◉◉◉
Déterminer les entiers naturels $n$ qui, dans la division euclidienne de $n$ par $4$, ont un quotient égal à deux fois le reste.

85

[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels $n$ qui, dans la division euclidienne de $n$ par $6$, ont un reste égal à deux fois le quotient.

86

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de $(n + 2)^3$ par $n$.
Jeanne fait le raisonnement suivant.


Jules choisit alors un exemple.


Retrouver l’erreur commise par Jeanne.

87

[Chercher.]
Déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que la division euclidienne de $n$ par $58$ donne un reste égal au cube du quotient.

88

[Chercher.]
Soit $a$ un entier naturel. Si on divise $a$ par $5$, le reste est $4$.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de $a$ par $25$ ?

89

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l’entier défini par $\mathrm{P}(n)=n^{3}+3 n^{2}+11 n+20$.

1. Déterminer l’entier $r$ tel que :
$\mathrm{P}(n)=(n+2)\left(n^{2}+n+9\right)+r$.


2. Justifier que $r$ est le reste de la division euclidienne de $\text P (n)$ par $n + 2$.

90

[Calculer.] ◉◉◉
1. Soit $a = 135$ un entier écrit en base $10$.
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $2$, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par $2$.
En déduire l’écriture de $a$ en base $2$ (voir TP 1 p. 102).


2. Soit $\text{N}=\overline{11010110}^{2}$ un entier écrit en base $2$.
Écrire ce nombre en base $10$.


3. On souhaite écrire $\text{N}$ en base $16$ (base hexadécimale).
En base $16$, il faut introduire d’autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base $16$ sont $\{ \:0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4 \: ; 5 \: ; 6 \: ; 7 \: ; 8 \: ; 9 \: ; \text A \: ; \text B \: ; \text C \: ; \text D \: ; \text E \: ; \text F \:\}$.
a. Écrire la division euclidienne de $\text N$ par $16$.


b. En déduire l’écriture de $\text N$ dans la base hexadécimale.


4. Soit $\mathrm{P}=\overline{2 \mathrm{A} 14 \mathrm{E}}^{16}$ écrit en base hexadécimale.
Donner l’écriture de $\text{P}$ en base $10$.


5. On donne $7$, $\text{D}$ et $5$, trois nombres écrits en base hexadécimale.
a. Donner l’écriture de ces nombres en base $2$.


b. Le nombre $\overline{7 \text D 5}^{16}$ est écrit en base $16$.
Donner son écriture en base $2$.


6. a. En remarquant que $16 = 2^4$, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base $2$ un nombre donné en base $16$.


b. Écrire $\overline{\text{A}2\text{C}}^{16}$ en base $2$.

91

[Calculer.]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère l’entier $\mathrm{P}_{n}=n^{3}-n$.

1. Calculer $\text P_1$, $\text P_2$ et $\text P_3$ et donner le reste de la division par $6$ de $\text P_1$, de $\text P_2$ et de $\text P_3$.
Quelle conjecture peut-on faire ?


2. a. Factoriser $\text P_n$.


b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.