Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.
1. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier a par 6 est 4, alors le quotient dans la division euclidienne 3a par 6 est 12.
2. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier a par 7 est 5 et le quotient dans la division euclidienne d’un entier b par 7 est 3, alors le quotient dans la division euclidienne de a+b par 7 est 8.
3. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier a par 6 est 5 et le quotient dans la division euclidienne d’un entier b par 6 est 1, alors a+b est divisible par 6.
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77
FLASH
On donne 3782=251×15+17.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 3782 par 251.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 3782 par 15.
3. Déterminer le reste de la division euclidienne de −3782 par 251.
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78
FLASH
Soit a un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de a par 4 vaut 2.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de a par 16.
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79
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
1. a=−51 et b=6.
2. a=−40 et b=3.
3. a=−40 et b=11.
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80
[Calculer.]◉◉◉
Sachant que le reste de la division euclidienne d’un entier a par 7 est 6, déterminer le reste de la division euclidienne de 2a par 7, de −3a par 7 et de 4a par 7.
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81
[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est 116.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 4 et le reste est 8. Quels sont ces deux nombres ?
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82
[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est 708.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est 12 et le reste est 6. Quels sont ces deux nombres ?
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83
[Chercher.]
Soient p et q deux entiers naturels avec p non nul.
Que peuvent valoir le diviseur p et le quotient q d’une division dont le dividende est 500 et le reste 71 ?
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84
[Chercher.]◉◉◉
Déterminer les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne de n par 4, ont un quotient égal à deux fois le reste.
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85
[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels n qui, dans la division euclidienne de n par 6, ont un reste égal à deux fois le quotient.
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86
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de (n+2)3 par n.
Jeanne fait le raisonnement suivant.
Pour tout entier naturel n, on a (n+2)3=n(n2+6n+12)+8.
Donc le reste de la division euclidienne de (n+2)3 par n est 8
Jules choisit alors un exemple.
(6+2)3=512 et 512=85×6+2 donc le
reste n’est pas égal à 8.
Retrouver l’erreur commise par Jeanne.
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87
[Chercher.]
Déterminer un entier naturel n non nul tel que la division euclidienne de n par 58 donne un reste égal au cube du quotient.
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88
[Chercher.]
Soit a un entier naturel. Si on divise a par 5, le reste est 4.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de a par 25 ?
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89
[Raisonner.]◉◉◉
Soit n un entier naturel non nul. On considère l’entier défini par P(n)=n3+3n2+11n+20.
1. Déterminer l’entier r tel que :
P(n)=(n+2)(n2+n+9)+r.
2. Justifier que r est le reste de la division euclidienne de P(n) par n+2.
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90
[Calculer.]◉◉◉ 1. Soit a=135 un entier écrit en base 10.
Effectuer la division euclidienne de a par 2, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par 2.
En déduire l’écriture de a en base 2 (voir TP 1 p. 102).
2. Soit N=110101102 un entier écrit en base 2.
Écrire ce nombre en base 10.
3. On souhaite écrire N en base 16 (base hexadécimale).
En base 16, il faut introduire d’autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base 16 sont {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F}.
a. Écrire la division euclidienne de N par 16.
b. En déduire l’écriture de N dans la base hexadécimale.
4. Soit P=2A14E16 écrit en base hexadécimale.
Donner l’écriture de P en base 10.
5. On donne 7, D et 5, trois nombres écrits en base
hexadécimale.
a. Donner l’écriture de ces nombres en base 2.
b. Le nombre 7D516 est écrit en base 16.
Donner son écriture en base 2.
6. a. En remarquant que 16=24, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base 2 un nombre donné en base 16.
Base 16
7
D
5
Base 2
0111
1101
0101
L’écriture de 7D516 donné en base 16 est donc 111110101012 en base 2.
b. Écrire A2C16 en base 2.
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91
[Calculer.]
Soit n un entier naturel non nul.
On considère l’entier Pn=n3−n.
1. Calculer P1, P2 et P3 et donner le reste de la division par 6 de P1, de P2 et de P3.
Quelle conjecture peut-on faire ?
2. a. Factoriser Pn.
b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la
question 1.
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