2

Division euclidienne

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

76

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse.

1. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $6$ est $4$, alors le quotient dans la division euclidienne $3a$ par $6$ est $12$.


2. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $7$ est $5$ et le quotient dans la division euclidienne d’un entier $b$ par $7$ est $3$, alors le quotient dans la division euclidienne de $a+b$ par $7$ est $8$.


3. Si le quotient dans la division euclidienne d’un entier $a$ par $6$ est $5$ et le quotient dans la division euclidienne d’un entier $b$ par $6$ est $1$, alors $a+b$ est divisible par $6$.

77

On donne $3782=251\times 15+17$.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3782$ par $251$.


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $3782$ par $15$.


3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $-3782$ par $251$.

78

Soit $a$ un entier naturel tel que le reste de la division euclidienne de $a$ par $4$ vaut $2$.
Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $16$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.

1. $a=-51$ et $b=6$.


2. $a=-40$ et $b=3$.


3. $a=-40$ et $b=11$.

80

[Calculer.] ◉◉◉
Sachant que le reste de la division euclidienne d’un entier $a$ par $7$ est $6$, déterminer le reste de la division euclidienne de $2a$ par $7$, de $-3a$ par $7$ et de $4a$ par $7$.

81

[Chercher.]
La différence de deux entiers naturels est $116$.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est $4$ et le reste est $8$. Quels sont ces deux nombres ?

82

[Chercher.]
La somme de deux entiers naturels est $708$.
Si l’on divise l’un par l’autre, le quotient est $12$ et le reste est $6$. Quels sont ces deux nombres ?

83

[Chercher.]
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels avec $p$ non nul.
Que peuvent valoir le diviseur $p$ et le quotient $q$ d’une division dont le dividende est $500$ et le reste $71$ ?

84

[Chercher.] ◉◉◉
Déterminer les entiers naturels $n$ qui, dans la division euclidienne de $n$ par $4$, ont un quotient égal à deux fois le reste.

85

[Chercher.]
Déterminer les entiers naturels $n$ qui, dans la division euclidienne de $n$ par $6$, ont un reste égal à deux fois le quotient.

86

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On recherche le reste de la division euclidienne de $(n+2{)}^3$ par $n$.
Jeanne fait le raisonnement suivant.


Jules choisit alors un exemple.


Retrouver l’erreur commise par Jeanne.

87

[Chercher.]
Déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que la division euclidienne de $n$ par $58$ donne un reste égal au cube du quotient.

88

[Chercher.]
Soit $a$ un entier naturel. Si on divise $a$ par $5$, le reste est $4$.
Quelle peut être la valeur du reste de la division euclidienne de $a$ par $25$ ?

89

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l’entier défini par $\mathrm{P}(n)=n^3+3n^2+11n+20$.

1. Déterminer l’entier $r$ tel que :



2. Justifier que $r$ est le reste de la division euclidienne de $\text{P}(n)$ par $n+2$.

90

[Calculer.] ◉◉◉
1. Soit $a=135$ un entier écrit en base $10$.
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $2$, puis les divisions euclidiennes successives des quotients par $2$.
En déduire l’écriture de $a$ en base $2$ (voir TP 1 p. 102).


2. Soit $\text{N}={\overline{11010110}}^2$ un entier écrit en base $2$.
Écrire ce nombre en base $10$.


3. On souhaite écrire $\text{N}$ en base $16$ (base hexadécimale).
En base $16$, il faut introduire d’autres symboles.
Les symboles correspondant aux « chiffres » en base $16$ sont $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;\text{A};\text{B};\text{C};\text{D};\text{E};\text{F}\}$.
a. Écrire la division euclidienne de $\text{N}$ par $16$.


b. En déduire l’écriture de $\text{N}$ dans la base hexadécimale.


4. Soit $\mathrm{P}={\overline{2\mathrm{A}14\mathrm{E}}}^{16}$ écrit en base hexadécimale.
Donner l’écriture de $\text{P}$ en base $10$.


5. On donne $7$, $\text{D}$ et $5$, trois nombres écrits en base hexadécimale.
a. Donner l’écriture de ces nombres en base $2$.


b. Le nombre ${\overline{7\text{D}5}}^{16}$ est écrit en base $16$.
Donner son écriture en base $2$.


6. a. En remarquant que $16=2^4$, justifier la méthode utilisée ci‑dessous pour écrire en base $2$ un nombre donné en base $16$.


b. Écrire ${\overline{\text{A}2\text{C}}}^{16}$ en base $2$.

91

[Calculer.]
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère l’entier ${\mathrm{P}}_n=n^3-n$.

1. Calculer ${\text{P}}_1$, ${\text{P}}_2$ et ${\text{P}}_3$ et donner le reste de la division par $6$ de ${\text{P}}_1$, de ${\text{P}}_2$ et de ${\text{P}}_3$.
Quelle conjecture peut-on faire ?


2. a. Factoriser ${\text{P}}_n$.


b. Démontrer par disjonction de cas la conjecture de la question 1.