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9
Soit n un entier. Si n - 4 divise 7n + 2, alors :

a. n - 4 divise 28.

b. 30 divise n - 4.

c. n divise 34.

d. n - 4 divise 30.

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10
L'égalité 1\,887 = 45 \times 41 + 42 :

a. est la division euclidienne de 1\, 887 par 41.

b. signifie que 1\,887 est divisible par 45.

c. signifie que 41 est le quotient dans la division euclidienne de 1\ 887 par 45.

d. signifie que 45 est la partie entière de \frac{1\,887}{41}.

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11
Dans la congruence modulo 5, 23\,512^4 est congru à :

a. 2

b. 17

c. 1

d. 8

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12
Soient a et b deux entiers et m un entier naturel non nul. Si ab \equiv 0[m], alors :

a. a et b sont divisibles par m.

b. au moins l'un des deux entiers est nul.

c. a \equiv 0[m] ou b \equiv 0[m].

d. ab est divisible par m.

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13

Dans l'affirmation « Pour tout entier naturel n, n(4n^2 - 1) est divisible par k », k peut prendre les valeurs :

a. 2

b. 3

c. 7

d. -3

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14

L'ensemble des solutions dans \mathbb{Z} de l'équation 4x \equiv 3[7] est :

a. \{6\}.

b. les entiers x de la forme 6 + 3k, k \in \mathbb{Z}.

c. les entiers x de la forme 6 + 7k, k \in \mathbb{Z}.

d. les entiers x tels que x \equiv-1[7].

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15

Soient a et b deux entiers relatifs et m un entier naturel non nul. Si a \equiv b [m], alors :

a. a^{2} \equiv b^{2}\left[m^{2}\right].

b. a^{3} \equiv b^{3}[m].

c. b - a est un multiple de m.

d. \frac{a}{2} \equiv \frac{b}{2}[m].

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16

7^{2 n}-387^{n} est une multiple de 13 pour :

a. tous les entiers n.

b. tous les entiers naturels n.

c. les entiers naturels pairs.

d. les entiers naturels impairs supérieurs à 1.

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Problème

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1. a. Calculer, pour tout entier n compris entre 1 et 6, les restes de la division euclidienne de 3^n par 7.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3^{n+6} \equiv 3^{n}[7].

c. Calculer le reste dans la division euclidienne de 3^{2019} par 7.

d. Soit n \in \mathbb{N}. Calculer le reste de la division euclidienne de 3^n par 7.

e. En déduire que, pour tout entier naturel n, 7 ne divise pas 3^n.

2. Soit u(n) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u_{n}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u_{n}=\frac{1}{2}\left(3^{n}-1\right).

b. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 7 divise u_n.

3. On considère les suites (v_n) et (w_n) définies, pour tout entier naturel n non nul, par v_{n}=\frac{1}{2}\left(5^{n}-1\right) et w_{n}=v_{n}-u_{n}.
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 4 divise w_n.

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A

Vrai ou faux ? Tout entier relatif admet au moins 4 diviseurs.

a. Vrai.

b. Faux.

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B

Vrai ou faux ? Soient a et b deux entiers relatifs alors 7 | (3a+4b) équivaut à 7 | (4a+3b).

a. Vrai.

b. Faux.

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C

Soit n un entier naturel. Les seuls diviseurs positifs communs à 5n+12 et 4n+9 sont :

a. 1 et 2.

b. 1 et 3.

c. 1.

d. 1, 3 et 7.

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D

Vrai ou faux ? Soit n un entier naturel, les restes possibles de la division de 6^n par 4 sont 0, 1 et 2.

a. Vrai.

b. Faux.

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E

Dans la division euclidienne de -53 par 3 :

a. le quotient vaut -18.

b. le reste vaut -2.

c. le quotient vaut -17.

d. le reste vaut 1.

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F

Si le reste de la division euclidienne de l'entier a par 4 est 3, alors :

a. a-1 est divisible par 2.

b. a+1 est divisible par 2.

c. a+1 est divisible par 4.

d. a^2+3 est divisible par 4.

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G

Quels sont les entiers x solutions de l'équation x^2+4x-4\equiv{0}\left[8\right] ?

a. x\equiv{1}\left[8\right]

b. x=8k+6 avec k\in\mathbb{Z}.

c. x=8k+2 avec k\in\mathbb{Z}.

d. x\equiv{4}\left[8\right]

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H

Soit a un entier relatif. Si a \equiv 3 \left[7\right], alors :

a. 2a \equiv -1 \left[7\right].

b. a^2 +1 \equiv 3 [7].

c. a \equiv -3 \left[7\right].

d. a+1 \equiv -3 \left[7\right].

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