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QCM
Réponse unique

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9
Soit

n

un entier. Si

n - 4

divise

7 n + 2

, alors :

n - 4

divise

28

30

divise

n - 4

n

divise

34

n - 4

divise

30

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10
L'égalité

1887 = 45 \times 41 + 42

a. est la division euclidienne de

1887

par

41

b. signifie que

1887

est divisible par

45

c. signifie que

41

est le quotient dans la division euclidienne de

1887

par

45

d. signifie que

45

est la partie entière de

\frac{1 8 8 7}{4 1}

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11
Dans la congruence modulo

5

2351 2^{4}

est congru à :

2

17

1

8

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12
Soient

a

b

deux entiers et

m

un entier naturel non nul. Si

a b \equiv 0 [m]

, alors :

a

b

sont divisibles par

m

b. au moins l'un des deux entiers est nul.

a \equiv 0 [m]

b \equiv 0 [m]

a b

est divisible par

m

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QCM
Réponses multiples

Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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13

Dans l'affirmation « Pour tout entier naturel

n

n (4 n^{2} - 1)

est divisible par

k

»,

k

peut prendre les valeurs :

2

3

7

- 3

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14

L'ensemble des solutions dans

Z

de l'équation

4 x \equiv 3 [7]

est :

{6}

b. les entiers

x

de la forme

6 + 3 k

k \in Z

c. les entiers

x

de la forme

6 + 7 k

k \in Z

d. les entiers

x

tels que

x \equiv - 1 [7]

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15

Soient

a

b

deux entiers relatifs et

m

un entier naturel non nul. Si

a \equiv b [m]

, alors :

a^{2} \equiv b^{2} [m^{2}]

a^{3} \equiv b^{3} [m]

b - a

est un multiple de

m

\frac{a}{2} \equiv \frac{b}{2} [m]

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7^{2 n} - 38 7^{n}

est une multiple de

13

pour :

a. tous les entiers

n

b. tous les entiers naturels

n

c. les entiers naturels pairs.

d. les entiers naturels impairs supérieurs à

1

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Problème

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1. a. Calculer, pour tout entier

n

compris entre

1

6

, les restes de la division euclidienne de

3^{n}

par

7

b. Démontrer que, pour tout entier naturel

n

3^{n + 6} \equiv 3^{n} [7]

c. Calculer le reste dans la division euclidienne de

3^{2019}

par

7

d. Soit

n \in N

. Calculer le reste de la division euclidienne de

3^{n}

par

7

e. En déduire que, pour tout entier naturel

n

7

ne divise pas

3^{n}

2. Soit

u (n)

la suite définie pour tout entier naturel

n

non nul par

u_{n} = 1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1}

.
a. Montrer que, pour tout entier naturel

n

non nul,

u_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)

b. Déterminer les valeurs de

n

pour lesquelles

7

divise

u_{n}

3. On considère les suites

(v_{n})

(w_{n})

définies, pour tout entier naturel

n

non nul, par

v_{n} = \frac{1}{2} (5^{n} - 1)

w_{n} = v_{n} - u_{n}

.
Déterminer les valeurs de

n

pour lesquelles

4

divise

w_{n}

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QCM
supplémentaires

Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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A

Vrai ou faux ? Tout entier relatif admet au moins

4

diviseurs.

a. Vrai.

b. Faux.

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B

Vrai ou faux ? Soient

a

b

deux entiers relatifs alors

7 ∣ (3 a + 4 b)

équivaut à

7 ∣ (4 a + 3 b)

a. Vrai.

b. Faux.

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C

Soit

n

un entier naturel. Les seuls diviseurs positifs communs à

5 n + 12

4 n + 9

sont :

1

2

1

3

1

1

3

7

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D

Vrai ou faux ? Soit

n

un entier naturel, les restes possibles de la division de

6^{n}

par

4

sont

0

1

2

a. Vrai.

b. Faux.

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E

Dans la division euclidienne de

- 53

par

3

a. le quotient vaut

- 18

b. le reste vaut

- 2

c. le quotient vaut

- 17

d. le reste vaut

1

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F

Si le reste de la division euclidienne de l'entier

a

par

4

est

3

, alors :

a - 1

est divisible par

2

a + 1

est divisible par

2

a + 1

est divisible par

4

a^{2} + 3

est divisible par

4

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G

Quels sont les entiers

x

solutions de l'équation

x^{2} + 4 x - 4 \equiv 0 [8]

x \equiv 1 [8]

x = 8 k + 6

avec

k \in Z

x = 8 k + 2

avec

k \in Z

x \equiv 4 [8]

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H

Soit

a

un entier relatif. Si

a \equiv 3 [7]

, alors :

2 a \equiv - 1 [7]

a^{2} + 1 \equiv 3 [7]

a \equiv - 3 [7]

a + 1 \equiv - 3 [7]

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