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QCM
réponse unique


9
Soit nn un entier. Si n4n - 4 divise 7n+27n + 2, alors :



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10
L’égalité 1887=45×41+421\,887 = 45 \times 41 + 42 :



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11
Dans la congruence modulo 55, 23512423\,512^4 est congru à :



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12
Soient aa et bb deux entiers et mm un entier naturel non nul. Si ab0[m]ab \equiv 0[m], alors :



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QCM
réponses multiples

[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]


13
Dans l’affirmation « Pour tout entier naturel nn, n(4n21)n(4n^2 - 1) est divisible par kk », kk peut prendre les valeurs :




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14
L’ensemble des solutions dans Z\mathbb{Z} de l’équation 4x3[7]4x \equiv 3[7] est :




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15
Soient aa et bb deux entiers relatifs et mm un entier naturel non nul. Si ab[m]a \equiv b [m], alors :




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16
72n387n7^{2 n}-387^{n} est une multiple de 1313 pour :




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Problème

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17
1. a. Calculer, pour tout entier nn compris entre 11 et 66, les restes de la division euclidienne de 3n3^n par 77.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, 3n+63n[7]3^{n+6} \equiv 3^{n}[7].


c. Calculer le reste dans la division euclidienne de 320193^{2019} par 77.


d. Soit nNn \in \mathbb{N}. Calculer le reste de la division euclidienne de 3n3^n par 77.


e. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 77 ne divise pas 3n3^n.


2. Soit u(n)u(n) la suite définie pour tout entier naturel nn non nul par un=1+3+32++3n1u_{n}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}.
a. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, un=12(3n1)u_{n}=\dfrac{1}{2}\left(3^{n}-1\right).


b. Déterminer les valeurs de nn pour lesquelles 77 divise unu_n.


3. On considère les suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) définies, pour tout entier naturel nn non nul, par vn=12(5n1)v_{n}=\dfrac{1}{2}\left(5^{n}-1\right) et wn=vnunw_{n}=v_{n}-u_{n}.
Déterminer les valeurs de nn pour lesquelles 44 divise wnw_n.
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QCM supplémentaires

[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]


A
Vrai ou faux ? Tout entier relatif admet au moins 44 diviseurs.

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B
Vrai ou faux ? Soient a a et b b deux entiers relatifs alors 7(3a+4b) 7 | (3a+4b) équivaut à 7(4a+3b) 7 | (4a+3b).

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C
Soit n n un entier naturel. Les seuls diviseurs positifs communs à 5n+125n+12 et 4n+94n+9 sont :




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D
Vrai ou faux ? Soit n n un entier naturel, les restes possibles de la division de 6n6^n par 44 sont 0 0, 11 et 22.

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E
Dans la division euclidienne de 53-53 par 33 :



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F
Si le reste de la division euclidienne de l’entier aa par 44 est 33, alors :



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G
Quels sont les entiers x x solutions de l’équation x2+4x40[8] x^2+4x-4\equiv{0}\left[8\right] ?



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H
Soit aa un entier relatif. Si a3[7]a \equiv 3 \left[7\right], alors :



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