Auto-évaluation

9

Soit $n$ un entier. Si $n - 4$ divise $7n + 2$, alors :
a. $n - 4$ divise $28$.
b. $30$ divise $n - 4$.
c. $n$ divise $34$.
d. $n - 4$ divise $30$.

10

L’égalité $1\,887 = 45 \times 41 + 42$ :
a. est la division euclidienne de $1\, 887$ par $41$.
b. signifie que $1\,887$ est divisible par $45$.
c. signifie que $41$ est le quotient dans la division euclidienne de $1\ 887$ par $45$.
d. signifie que $45$ est la partie entière de $\dfrac{1\,887}{41}$.

11

Dans la congruence modulo $5$, $23\,512^4$ est congru à :
a. $2$
b. $17$
c. $1$
d. $8$

12

Soient $a$ et $b$ deux entiers et $m$ un entier naturel non nul. Si $ab \equiv 0[m]$, alors :
a. $a$ et $b$ sont divisibles par $m$.
b. au moins l’un des deux entiers est nul.
c. $a \equiv 0[m]$ ou $b \equiv 0[m]$.
d. $ab$ est divisible par $m$.

13

Dans l’affirmation « Pour tout entier naturel $n$, $n(4n^2 - 1)$ est divisible par $k$ », $k$ peut prendre les valeurs :

a. $2$

×

b. $3$

×

c. $7$

×

d. $-3$

14

L’ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ de l’équation $4x \equiv 3[7]$ est :

×

a. $\{6\}$.

×

b. les entiers $x$ de la forme $6 + 3k$, $k \in \mathbb{Z}$.

×

c. les entiers $x$ de la forme $6 + 7k$, $k \in \mathbb{Z}$.

×

d. les entiers $x$ tels que $x \equiv-1[7]$.

15

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs et $m$ un entier naturel non nul. Si $a \equiv b [m]$, alors :

×

a. $a^{2} \equiv b^{2}\left[m^{2}\right]$.

×

b. $a^{3} \equiv b^{3}[m]$.

×

c. $b - a$ est un multiple de $m$.

×

d. $\dfrac{a}{2} \equiv \dfrac{b}{2}[m]$.

16

$7^{2 n}-387^{n}$ est une multiple de $13$ pour :

×

a. tous les entiers $n$.

×

b. tous les entiers naturels $n$.

×

c. les entiers naturels pairs.

×

d. les entiers naturels impairs supérieurs à $1$.

1. a. Calculer, pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $6$, les restes de la division euclidienne de $3^n$ par $7$.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $3^{n+6} \equiv 3^{n}[7]$.


c. Calculer le reste dans la division euclidienne de $3^{2019}$ par $7$.


d. Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par $7$.


e. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $7$ ne divise pas $3^n$.


2. Soit $u(n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_{n}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}$.
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}=\dfrac{1}{2}\left(3^{n}-1\right)$.


b. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $7$ divise $u_n$.


3. On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $v_{n}=\dfrac{1}{2}\left(5^{n}-1\right)$ et $w_{n}=v_{n}-u_{n}$.
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $4$ divise $w_n$.

A

Vrai ou faux ? Tout entier relatif admet au moins $4$ diviseurs.
a. Vrai.
b. Faux.

B

Vrai ou faux ? Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs alors $7 | (3a+4b)$ équivaut à $7 | (4a+3b)$.
a. Vrai.
b. Faux.

C

Soit $n$ un entier naturel. Les seuls diviseurs positifs communs à $5n+12$ et $4n+9$ sont :

a. $1$ et $2$.
b. $1$ et $3$.
c. $1$.
d. $1$, $3$ et $7$.

D

Vrai ou faux ? Soit $n$ un entier naturel, les restes possibles de la division de $6^n$ par $4$ sont $0$, $1$ et $2$.
a. Vrai.
b. Faux.

E

Dans la division euclidienne de $-53$ par $3$ :

×

a. le quotient vaut $-18$.

b. le reste vaut $-2$.

c. le quotient vaut $-17$.

×

d. le reste vaut $1$.

F

Si le reste de la division euclidienne de l’entier $a$ par $4$ est $3$, alors :

×

a. $a-1$ est divisible par $2$.

×

b. $a+1$ est divisible par $2$.

×

c. $a+1$ est divisible par $4$.

×

d. $a^2+3$ est divisible par $4$.

G

Quels sont les entiers $x$ solutions de l’équation $x^2+4x-4\equiv{0}\left[8\right]$ ?

a. $x\equiv{1}\left[8\right]$

×

b. $x=8k+6$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

×

c. $x=8k+2$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

d. $x\equiv{4}\left[8\right]$

H

Soit $a$ un entier relatif. Si $a \equiv 3 \left[7\right]$, alors :

×

a. $2a \equiv -1 \left[7\right]$.

×

b. $a^2 +1 \equiv 3 [7]$.

c. $a \equiv -3 \left[7\right]$.

×

d. $a+1 \equiv -3 \left[7\right]$.