1.
a. Calculer, pour tout entier
n compris entre
1 et
6, les restes de la division euclidienne de
3n par
7.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel
n,
3n+6≡3n[7].
c. Calculer le reste dans la division euclidienne de
32019 par
7.
d. Soit
n∈N. Calculer le reste de la division euclidienne de
3n par
7.
e. En déduire que, pour tout entier naturel
n,
7 ne divise pas
3n.
2. Soit
u(n) la suite définie pour tout entier naturel
n non nul par
un=1+3+32+…+3n−1.
a. Montrer que, pour tout entier naturel
n non nul,
un=21(3n−1).
b. Déterminer les valeurs de
n pour lesquelles
7 divise
un.
3.
On considère les suites
(vn) et
(wn) définies, pour tout entier naturel
n non nul, par
vn=21(5n−1) et
wn=vn−un.
Déterminer les valeurs de
n
pour lesquelles
4 divise
wn.