Éline et Lucie montent un escalier comportant moins de 40 marches. Éline les monte trois par trois et il lui reste une marche à gravir. Lucie les monte deux par deux et il lui reste également une marche à gravir.
Combien cet escalier peut-il comporter de marches ?


Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle donne les listes de tous les multiples positifs inférieurs ou égaux à $d$ de deux nombres entiers naturels $a$ et $b$, les valeurs de $a$, $b$ et $d$ étant saisies par l’utilisateur.
En utilisant la fonction $\mathbf{m}\mathbf{u}\mathbf{l}\mathbf{t}$, retrouver les résultats de la première question.

from math import*
def mult(a, b, d):
	c1 = floor(...)
	c2 = floor(...)
	l1 = []
	l2 = []
	for i in range(1, c1 + 1):
		l1.append(...)
	for i in range(1, c2 + 1):
		l2.append(...)
	return(l1, l2)
   

On suppose dans la suite que l’escalier possède $37$ marches.
a) Donner la liste des diviseurs positifs de $36$.


b) Louis se trouve déjà sur la première marche de l’escalier.
De « combien de façons » (une par une, deux par deux, etc.) peut‑il monter les marches de l’escalier pour arriver pile en haut, sachant qu’il ne peut pas monter les marches plus de quatre par quatre ?

Si $a$ et $b$ sont deux entiers, on dit que $b$ est un multiple de $a$ lorsqu’il existe un entier $k$ tel que $b=ka$.
On dit aussi que $a$ est un diviseur de $b$ ou que $a$ divise $b$ et on note $a|b$.
Compléter les propositions suivantes.

a) $25|125$ signifie que $25$ est un de $125$.

b) $26|312$ signifie que $312$ est un de $26$.

c) Comment peut‑on noter que $75$ est divisible par $5$?

On observe les grandes aiguilles de deux horloges : la première horloge ${\text{H}}_1$ avance chaque heure de 1 minute, alors que la seconde ${\text{H}}_2$ retarde de 2 minutes chaque heure. Les deux horloges sont simultanément réglées à midi pile.

a) Lorsque la grande aiguille de ${\text{H}}_1$ a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


b) Lorsque la grande aiguille de ${\text{H}}_2$ a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


La grande aiguille de ${\text{H}}_1$ est maintenant sur le $7$ alors que celle de ${\text{H}}_2$ est sur le $1$. On cherche à savoir combien de minutes $n$ se sont écoulées depuis midi et le nombre de tours $q$ effectués par chacune des grandes aiguilles (on admet qu’elles ont effectivement réalisé le même nombre de tours d’horloge).

a) Justifier que l’on peut écrire $n=59q+35$.


b) En déduire alors la valeur de $q$ puis celle de $n$ et interpréter les résultats obtenus.


En écrivant $n=59q+35$, on dit que l’on a effectué la division euclidienne de $n$ par $59$, où $q$ est le quotient et $35$ le reste.

a) Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels avec $b$ non nul, rappeler la définition de la division euclidienne de $a$ par $b$ dans $\mathbb{N}$.


b) Écrire la division euclidienne de $142$ par $23$.


Sachant que le reste $r$ doit vérifier $0⩽r<23$, écrire alors la division euclidienne de $-142$ par $23$ dans $\mathbb{Z}$.

Charlie a écrit $28\times 13=341$ mais son grand-père, sans effectuer le calcul, lui affirme que son résultat est faux.

a) Écrire les divisions euclidiennes de $28$ par $9$ et de $13$ par $9$.


b) En déduire le reste de la division de $28\times 13$ par $9$.


c) Déterminer le reste de la division euclidienne de $341$ par $9$, puis justifier la réponse du grand père de Charlie.


a) Justifier que les nombres $457$ et $16$ ont le même reste dans la division euclidienne par $9$. On dira alors que $457$ est congru à $16$ modulo $9$ et on écrira $457\equiv 16[9]$ ou $457\equiv 7[9]$ ou bien encore $16\equiv 7[9]$.


b) Justifier que $128\equiv 2[9]$ ($128$ est congru à $2$ modulo $9$).


c) Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
$123\equiv 101[9]$ ; $2365\equiv 7[9]$ ; $1234\equiv 19[9]$ et $289\equiv 11[9]$.


Soient $x$, $y$, $a$ et $b$ quatre entiers naturels tels que $x\equiv a[9]$ et $y\equiv b[9]$.
a) Démontrer que $x+y\equiv a+b[9]$.



b) Démontrer que $x\times y\equiv a\times b[9]$.


a) Un élève écrit que $2635+1271=3806$.
La preuve par $9$ remet-elle en cause ce résultat ?


b) Un élève écrit que $457\times 128=58396$.
La preuve par $9$ remet‑elle en cause ce résultat ?

D’après la calculatrice, $1235\times 151=186485$.
En se trompant dans la multiplication, un élève obtient $184685$.

a) Que donne la « preuve par $9$ » ?


b) Que peut‑on en conclure ?