On observe les grandes aiguilles de deux horloges : la première horloge
H1 avance chaque heure de 1 minute, alors que la seconde
H2 retarde de 2 minutes chaque heure. Les deux horloges sont simultanément réglées à midi pile.
a) Lorsque la grande aiguille de
H1 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?
b) Lorsque la grande aiguille de
H2 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?
La grande aiguille de
H1 est maintenant sur le
7 alors que celle de
H2 est sur le
1. On cherche à savoir combien de minutes
n se sont écoulées depuis midi et le nombre de tours
q effectués par chacune des grandes aiguilles (on admet qu’elles ont effectivement réalisé le même nombre de tours d’horloge).
a) Justifier que l’on peut écrire
n=59q+35.
b) En déduire alors la valeur de
q puis celle de
n et interpréter les résultats obtenus.
En écrivant
n=59q+35, on dit que l’on a effectué la division euclidienne de
n par
59, où
q est le quotient et
35 le reste.
a) Si
a et
b sont deux entiers naturels avec
b non nul, rappeler la définition de la division euclidienne de
a par
b dans
N.
b) Écrire la division euclidienne de
142 par
23.
Sachant que le reste
r doit vérifier
0⩽r<23, écrire alors la division euclidienne de
−142 par
23 dans
Z.