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P.92-93

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A
Multiples et diviseurs



Objectif
Revoir la notion de multiples et de diviseurs.


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1
Éline et Lucie montent un escalier comportant moins de 40 marches. Éline les monte trois par trois et il lui reste une marche à gravir. Lucie les monte deux par deux et il lui reste également une marche à gravir.
Combien cet escalier peut-il comporter de marches ?


2
Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle donne les listes de tous les multiples positifs inférieurs ou égaux à de deux nombres entiers naturels et , les valeurs de , et étant saisies par l’utilisateur.
En utilisant la fonction , retrouver les résultats de la première question.

from math import*
def mult(a, b, d):
	c1 = floor(...)
	c2 = floor(...)
	l1 = []
	l2 = []
	for i in range(1, c1 + 1):
		l1.append(...)
	for i in range(1, c2 + 1):
		l2.append(...)
	return(l1, l2)
   



Aide
La fonction donne la partie entière d’un nombre. La fonction permet d’ajouter un élément à la fin d’une liste.


3
On suppose dans la suite que l’escalier possède marches.
a) Donner la liste des diviseurs positifs de .


b) Louis se trouve déjà sur la première marche de l’escalier.
De « combien de façons » (une par une, deux par deux, etc.) peut‑il monter les marches de l’escalier pour arriver pile en haut, sachant qu’il ne peut pas monter les marches plus de quatre par quatre ?


4
Si et sont deux entiers, on dit que est un multiple de lorsqu’il existe un entier tel que .
On dit aussi que est un diviseur de ou que divise et on note .
Compléter les propositions suivantes.

a) signifie que est un de .

b) signifie que est un de .

c) Comment peut‑on noter que est divisible par ?
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Bilan

Pour deux entiers naturels et , dans quel cas peut‑on dire que divise  ?
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B
À la bonne heure !



Objectif
Revoir la division euclidienne dans et introduire cette division dans .


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On observe les grandes aiguilles de deux horloges : la première horloge avance chaque heure de 1 minute, alors que la seconde retarde de 2 minutes chaque heure. Les deux horloges sont simultanément réglées à midi pile.

1
a) Lorsque la grande aiguille de a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


a) Lorsque la grande aiguille de a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


2
La grande aiguille de est maintenant sur le alors que celle de est sur le . On cherche à savoir combien de minutes se sont écoulées depuis midi et le nombre de tours effectués par chacune des grandes aiguilles (on admet qu’elles ont effectivement réalisé le même nombre de tours d’horloge).

a) Justifier que l’on peut écrire .


b) En déduire alors la valeur de puis celle de et interpréter les résultats obtenus.


3
En écrivant , on dit que l’on a effectué la division euclidienne de par , où est le quotient et le reste.

a) Si et sont deux entiers naturels avec non nul, rappeler la définition de la division euclidienne de par dans .


b) Écrire la division euclidienne de par .


4
Sachant que le reste doit vérifier , écrire alors la division euclidienne de par dans .
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Horloge


Bilan

En s’appuyant sur la définition de la division euclidienne dans , donner la définition de la division euclidienne d’un élément de par un élément de .
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C
La magique « preuve par  »



Objectif
Introduire la notion de congruence.

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Charlie a écrit mais son grand-père, sans effectuer le calcul, lui affirme que son résultat est faux.

1
a) Écrire les divisions euclidiennes de par et de par .


b) En déduire le reste de la division de par .


c) Déterminer le reste de la division euclidienne de par , puis justifier la réponse du grand père de Charlie.


2
a) Justifier que les nombres et ont le même reste dans la division euclidienne par . On dira alors que est congru à modulo et on écrira ou ou bien encore .


b) Justifier que ( est congru à modulo ).


c) Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
; ; et .


3
Soient , , et quatre entiers naturels tels que et .
a) Démontrer que .


Aide
si, et seulement si, il existe tel que

b) Démontrer que .


4
a) Un élève écrit que .
La preuve par remet-elle en cause ce résultat ?


Rappel
Exemple de « preuve par  » : . On vérifie avec la preuve par  : d’une part, ; . Le produit des chiffres obtenus vaut et et, d’autre part, et .
b) Un élève écrit que .
La preuve par remet‑elle en cause ce résultat ?


5
D’après la calculatrice, .
En se trompant dans la multiplication, un élève obtient .

a) Que donne la « preuve par  » ?


b) Que peut‑on en conclure ?


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Bilan

Si , et sont trois entiers naturels avec , définir puis lister les opérations compatibles avec cette relation.
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