Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Activités
P.92-93

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Activités




A
Multiples et diviseurs



Objectif
Revoir la notion de multiples et de diviseurs.


Voir les réponses
1
Éline et Lucie montent un escalier comportant moins de 40 marches. Éline les monte trois par trois et il lui reste une marche à gravir. Lucie les monte deux par deux et il lui reste également une marche à gravir.
Combien cet escalier peut-il comporter de marches ?


2
Compléter la fonction Python ci-dessous afin qu’elle donne les listes de tous les multiples positifs inférieurs ou égaux à dd de deux nombres entiers naturels aa et bb, les valeurs de aa, bb et dd étant saisies par l’utilisateur.
En utilisant la fonction mult\textcolor{#7D3681}{\bold{mult}}, retrouver les résultats de la première question.

from math import*
def mult(a, b, d):
	c1 = floor(...)
	c2 = floor(...)
	l1 = []
	l2 = []
	for i in range(1, c1 + 1):
		l1.append(...)
	for i in range(1, c2 + 1):
		l2.append(...)
	return(l1, l2)
   



Aide
La fonction floor\textcolor{#7D3681}{\mathbf{floor}} donne la partie entière d’un nombre. La fonction append\textcolor{#7D3681}{\mathbf{append}} permet d’ajouter un élément à la fin d’une liste.


3
On suppose dans la suite que l’escalier possède 3737 marches.
a) Donner la liste des diviseurs positifs de 3636.


b) Louis se trouve déjà sur la première marche de l’escalier.
De « combien de façons » (une par une, deux par deux, etc.) peut‑il monter les marches de l’escalier pour arriver pile en haut, sachant qu’il ne peut pas monter les marches plus de quatre par quatre ?


4
Si aa et bb sont deux entiers, on dit que bb est un multiple de aa lorsqu’il existe un entier kk tel que b=kab = ka.
On dit aussi que aa est un diviseur de bb ou que aa divise bb et on note a  ba\ |\ b.
Compléter les propositions suivantes.

a) 25  12525\ |\ 125 signifie que 2525 est un de 125125.

b) 26  31226\ |\ 312 signifie que 312312 est un de 2626.

c) Comment peut‑on noter que 7575 est divisible par 55?
Voir les réponses
Voir les réponses


Bilan

Pour deux entiers naturels a\boldsymbol{a} et b\boldsymbol{b}, dans quel cas peut‑on dire que a\boldsymbol{a} divise b\boldsymbol{b} ?
Voir les réponses

B
À la bonne heure !



Objectif
Revoir la division euclidienne dans N\mathbb{N} et introduire cette division dans Z\mathbb{Z}.


Voir les réponses
On observe les grandes aiguilles de deux horloges : la première horloge H1\text{H}_1 avance chaque heure de 1 minute, alors que la seconde H2\text{H}_2 retarde de 2 minutes chaque heure. Les deux horloges sont simultanément réglées à midi pile.

1
a) Lorsque la grande aiguille de H1\text{H}_1 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


a) Lorsque la grande aiguille de H2\text{H}_2 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?


2
La grande aiguille de H1\text{H}_1 est maintenant sur le 77 alors que celle de H2\text{H}_2 est sur le 11. On cherche à savoir combien de minutes nn se sont écoulées depuis midi et le nombre de tours qq effectués par chacune des grandes aiguilles (on admet qu’elles ont effectivement réalisé le même nombre de tours d’horloge).

a) Justifier que l’on peut écrire n=59q+35n = 59q + 35.


b) En déduire alors la valeur de qq puis celle de nn et interpréter les résultats obtenus.


3
En écrivant n=59q+35n = 59q + 35, on dit que l’on a effectué la division euclidienne de nn par 5959, où qq est le quotient et 3535 le reste.

a) Si aa et bb sont deux entiers naturels avec bb non nul, rappeler la définition de la division euclidienne de aa par bb dans N\mathbb{N}.


b) Écrire la division euclidienne de 142142 par 2323.


4
Sachant que le reste rr doit vérifier 0r<230 \leqslant r \lt 23, écrire alors la division euclidienne de 142-142 par 2323 dans Z\mathbb{Z}.
Voir les réponses

Horloge


Bilan

En s’appuyant sur la définition de la division euclidienne dans N\mathbb{N}, donner la définition de la division euclidienne d’un élément de Z\mathbb{Z} par un élément de N\mathbb{N}^*.
Voir les réponses

C
La magique « preuve par 99 »



Objectif
Introduire la notion de congruence.

Voir les réponses

Charlie a écrit 28×13=34128 \times 13 = 341 mais son grand-père, sans effectuer le calcul, lui affirme que son résultat est faux.

1
a) Écrire les divisions euclidiennes de 2828 par 99 et de 1313 par 99.


b) En déduire le reste de la division de 28×1328 \times 13 par 99.


c) Déterminer le reste de la division euclidienne de 341341 par 99, puis justifier la réponse du grand père de Charlie.


2
a) Justifier que les nombres 457457 et 1616 ont le même reste dans la division euclidienne par 99. On dira alors que 457457 est congru à 16\bold{16} modulo 9\bold{9} et on écrira 45716[9]457 \equiv 16[9] ou 4577[9]457 \equiv 7[9] ou bien encore 167[9]16 \equiv 7[9].


b) Justifier que 1282[9]128 \equiv 2[9] (128128 est congru à 22 modulo 99).


c) Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
123101[9]123 \equiv 101[9] ; 23657[9]2365 \equiv 7[9] ; 123419[9]1234 \equiv 19[9] et 28911[9]289 \equiv 11[9].


3
Soient xx, yy, aa et bb quatre entiers naturels tels que xa[9]x \equiv a[9] et yb[9]y \equiv b[9].
a) Démontrer que x+ya+b[9]x+y \equiv a+b[9].


Aide
xa[9]x \equiv a[9] si, et seulement si, il existe kZk \in \mathbb{Z} tel que x=9k+a.x = 9k + a.

b) Démontrer que x×ya×b[9]x\times y \equiv a\times b[9].


4
a) Un élève écrit que 2635+1271=38062635 + 1271 = 3 806.
La preuve par 99 remet-elle en cause ce résultat ?


Rappel
Exemple de « preuve par 99 » : 41 × 12 = 492\color{blue}{41}\ \color{black}{\times}\ \color{green}{12}\ \color{black}{=}\ \color{red}{492}. On vérifie avec la preuve par 99 : d’une part, 4 + 1 = 5\color{blue}{4}\ \color{black}{+}\ \color{blue}{1}\ \color{black}{=}\ 5 ; 1+ 2= 3\color{green}{1} \color{black}{+}\ \color{green}{2} \color{black}{=}\ 3. Le produit des chiffres obtenus vaut 5×3=155 \times 3 = 15 et 1+5=61 + 5 = 6 et, d’autre part, 4+ 9 + 2 = 15\color{red}{4} \color{black}{+}\ \color{red}{9}\ \color{black}{+}\ \color{red}{2}\ \color{black}{=}\ 15 et 1+5=61 + 5 = 6.
b) Un élève écrit que 457×128=58396457 \times 128 = 58\:396.
La preuve par 99 remet‑elle en cause ce résultat ?


5
D’après la calculatrice, 1235×151=1864851235 \times 151 = 186\:485.
En se trompant dans la multiplication, un élève obtient 184685184\:685.

a) Que donne la « preuve par 99 » ?


b) Que peut‑on en conclure ?


Voir les réponses


Bilan

Si a\boldsymbol{a}, b\boldsymbol{b} et n\boldsymbol{n} sont trois entiers naturels avec n0\boldsymbol{n} \neq \mathbf{0}, définir ab[n]\boldsymbol{a} \equiv \boldsymbol{b}[\boldsymbol{n}] puis lister les opérations compatibles avec cette relation.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.