Divisibilité dans Z

1

Éline et Lucie montent un escalier comportant moins de 40 marches. Éline les monte trois par trois et il lui reste une marche à gravir. Lucie les monte deux par deux et il lui reste également une marche à gravir.
Combien cet escalier peut‑il comporter de marches ?

2

Compléter la fonction Python ci‑dessous afin qu'elle donne les listes de tous les multiples positifs inférieurs ou égaux à d de deux nombres entiers naturels a et b, les valeurs de a, b et d étant saisies par l'utilisateur.
En utilisant la fonction \textcolor{#7D3681}{\bold{mult}}, retrouver les résultats de la première question.

from math import*
def mult(a, b, d):
	c1 = floor(...)
	c2 = floor(...)
	l1 = []
	l2 = []
	for i in range(1, c1 + 1):
		l1.append(...)
	for i in range(1, c2 + 1):
		l2.append(...)
	return(l1, l2)
   

On suppose dans la suite que l'escalier possède 37 marches.
a) Donner la liste des diviseurs positifs de 36.

b) Louis se trouve déjà sur la première marche de l'escalier.
De « combien de façons » (une par une, deux par deux, etc.) peut‑il monter les marches de l'escalier pour arriver pile en haut, sachant qu'il ne peut pas monter les marches plus de quatre par quatre ?

Si a et b sont deux entiers, on dit que b est un multiple de a lorsqu'il existe un entier k tel que b = ka.
On dit aussi que a est un diviseur de b ou que a divise b et on note a\ |\ b.
Compléter les propositions suivantes.

a) 25\ |\ 125 signifie que 25 est un

de 125.

b) 26\ |\ 312 signifie que 312 est un

de 26.

c) Comment peut‑on noter que 75 est divisible par 5?

a) Lorsque la grande aiguille de \text{H}_1 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?

b) Lorsque la grande aiguille de \text{H}_2 a fait un tour complet, combien de minutes se sont en réalité écoulées ?

La grande aiguille de \text{H}_1 est maintenant sur le 7 alors que celle de \text{H}_2 est sur le 1. On cherche à savoir combien de minutes n se sont écoulées depuis midi et le nombre de tours q effectués par chacune des grandes aiguilles (on admet qu'elles ont effectivement réalisé le même nombre de tours d'horloge).

a) Justifier que l'on peut écrire n = 59q + 35.

b) En déduire alors la valeur de q puis celle de n et interpréter les résultats obtenus.

a) Si a et b sont deux entiers naturels avec b non nul, rappeler la définition de la division euclidienne de a par b dans \mathbb{N}.

b) Écrire la division euclidienne de 142 par 23.

a) Écrire les divisions euclidiennes de 28 par 9 et de 13 par 9.

b) En déduire le reste de la division de 28 \times 13 par 9.

c) Déterminer le reste de la division euclidienne de 341 par 9, puis justifier la réponse du grand père de Charlie.

a) Justifier que les nombres 457 et 16 ont le même reste dans la division euclidienne par 9. On dira alors que 457 est congru à \bold{16} modulo \bold{9} et on écrira 457 \equiv 16[9] ou 457 \equiv 7[9] ou bien encore 16 \equiv 7[9].

b) Justifier que 128 \equiv 2[9] (128 est congru à 2 modulo 9).

c) Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
123 \equiv 101[9] ; 2365 \equiv 7[9] ; 1234 \equiv 19[9] et 289 \equiv 11[9].

Soient x, y, a et b quatre entiers naturels tels que x \equiv a[9] et y \equiv b[9].
a) Démontrer que x+y \equiv a+b[9].

b) Démontrer que x\times y \equiv a\times b[9].

a) Un élève écrit que 2635 + 1271 = 3 806.
La preuve par 9 remet-elle en cause ce résultat ?

b) Un élève écrit que 457 \times 128 = 58\:396.
La preuve par 9 remet‑elle en cause ce résultat ?

D'après la calculatrice, 1235 \times 151 = 186\:485.
En se trompant dans la multiplication, un élève obtient 184\:685.

a) Que donne la « preuve par 9 » ?

b) Que peut‑on en conclure ?