Chapitre 3
Cours 1
Relation de divisibilité dans Z
Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b lorsqu'il existe un entier relatif k tel que b=ka. On dit que a est un diviseur de b. On note a∣b.
On dit aussi que b est un multiple de a et que b est divisible par a.
−124=−31×4. On a donc −31∣−124 et 4∣−124.
Soit n un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre −∣n∣ et ∣n∣.
Tout entier relatif non nul n a donc un nombre fini de diviseurs.
Pour tout entier a, 1×a=a donc 1 divise a et a divise a. De plus, 0×a=0 donc tout entier divise 0. L'ensemble des diviseurs de 0 est Z.
Soient a et b deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
a∣b⇔(−a)∣b⇔a∣(−b)⇔(−a)∣(−b).
a et −a ont les mêmes diviseurs.
Soit b un entier non nul. Si a∣b, alors ∣a∣⩽∣b∣.
Application et méthode - 1
Déterminer les entiers naturels a et b vérifiant a2−b2=35.
- On factorise pour obtenir un produit d'entiers. On obtient une équation du type A×B=35 où A et B sont donc des diviseurs positifs de 35.
- On recherche les conditions que l'on a sur a et b sachant qu'il s'agit d'entiers naturels : dans cet exemple a>b.
- Après avoir déterminé les diviseurs de 35, on écrit les systèmes vérifiés par a et b. La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.
Soient
a et
b deux entiers naturels.
a2−b2=35⇔(a−b)(a+b)=35
a et
b étant deux entiers naturels, on a
a+b⩾0 et
a−b doit donc également être positif car
35 est positif.
De plus,
a−b et
a+b sont des diviseurs positifs de
35 avec
a−b⩽a+b. Les diviseurs positifs de
35 sont
1,
5,
7 et
35.
a et
b vérifient donc
a2−b2=35⇔{a−b=1a+b=35 ou
{a−b=5a+b=7.
On obtient
{a=18b=17 ou
{a=6b=1.
Réciproquement, les couples
(8 ; 17) et
(6 ; 1) vérifient l'équation.
Ainsi, les couples d'entiers
(a ; b) solutions de l'équation
a2−b2=35 sont exactement
(18 ; 17) et
(6 ; 1).
Pour s'entraîner
Exercices
p. 104 et
p. 106
B
Propriétés de la divisibilité
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a ∣ b et b ∣ c, alors a ∣ c.
Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.
a ∣ b signifie qu'il existe un entier k∈Z tel que b=ka.
b ∣ c signifie qu'il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
On a alors c=k′b=k′(ka)=k′ka. Or kk′ est un entier relatif donc a ∣ c.
On a 19 ∣ 38 et 38 ∣ 114 donc 19 ∣ 114.
Soient
a,
b et
c trois entiers relatifs.
- Si a ∣ b et a ∣ c alors, quels que soient les entiers m et n, on a : a ∣ (mb+nc).
- En particulier, si a ∣ b, alors a ∣(a+b) et a ∣ (a−b).
Si a ∣ b et a ∣ c, on dit que a divise toute combinaison linéaire de b et c, soit tout entier de la forme mb+nc (où m et n sont des entiers relatifs).
- a ∣ b signifie qu'il existe un entierk∈Z tel que b=ka.
b ∣ c signifie qu'il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
Ainsi,
mb+nc=mka+nk′a=a(mk+nk′). Or
mk+nk′ est un entier relatif donc
a ∣ (mb+nc).
- On a a ∣ b et a ∣ a donc la propriété précédente donne a ∣ (a+b) et a ∣ (a−b).
Application et méthode - 2
Déterminer tous les entiers n tels que (2n+7) ∣ (n−3).
- On recherche une combinaison linéaire de (n−3) et de (2n+7) de manière à éliminer l'entier inconnu n. On prend par exemple 1(2n+7)−2(n−3)=13.
- On obtient alors que (2n+7) divise l'entier 13 qui est indépendant de n.
- On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de 13.
- Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.
(2n+7) ∣ (n−3) et
(2n+7) ∣ (2n+7).
On a donc
(2n+7) ∣ [(2n+7)−2(n−3)], d'où
(2n+7) ∣ 13.
Les diviseurs de
13 sont
−13,
−1,
1 et
13 donc :
2n+7=−1⇔n=−4 ;
2n+7=−13⇔n=−10 ;
2n+7=1⇔n=−3 ;
2n+7=13⇔n=3.
Les solutions possibles sont
−4,
−10,
−3 et
3.
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour
n=−4, on a
2n+7=−1 et
n−3=−7, or
−1 ∣−7 donc
−4 est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont
−4,
−10,
−3 et
3.
Pour s'entraîner
Exercices
et
p. 104
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.