Relation de divisibilité dans \mathbb{Z}

-124 = -31 \times 4. On a donc -31 |-124 et 4 |-124.

• On factorise pour obtenir un produit d'entiers. On obtient une équation du type \text{A} \times \text{B} = 35 où \text{A} et \text{B} sont donc des diviseurs positifs de 35.
• On recherche les conditions que l'on a sur a et b sachant qu'il s'agit d'entiers naturels : dans cet exemple a \gt b.
• Après avoir déterminé les diviseurs de 35, on écrit les systèmes vérifiés par a et b. La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.

Soient a et b deux entiers naturels.
a^{2}-b^{2}=35 \Leftrightarrow(a-b)(a+b)=35
a et b étant deux entiers naturels, on a a+b \geqslant 0 et a - b doit donc également être positif car 35 est positif.
De plus, a - b et a + b sont des diviseurs positifs de 35 avec a-b \leqslant a+b. Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35.
a et b vérifient donc a^{2}-b^{2}=35 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a-b=1 \\ a+b=35 \end{array}\right. ou \left\{\begin{array}{l} a-b=5 \\ a+b=7 \end{array}\right..
On obtient \left\{\begin{array}{l} a=18 \\ b=17 \end{array}\right. ou \left\{\begin{array}{l} a=6 \\ b=1 \end{array}\right..
Réciproquement, les couples (8\ {;}\ 17) et (6\ {;}\ 1) vérifient l'équation.
Ainsi, les couples d'entiers (a\ {;}\ b) solutions de l'équation a^2 - b^2 = 35 sont exactement (18\ {;}\ 17) et (6\ {;}\ 1).

Exercices

29

p. 104 et

58

p. 106

Soient a, b et c trois entiers relatifs.

• Si a\ |\ b et a\ |\ c alors, quels que soient les entiers m et n, on a : a\ |\ (mb + nc).
• En particulier, si a\ |\ b, alors a\ |(a + b) et a\ |\ (a - b).

Si a\ |\ b et a\ |\ c, on dit que a divise toute combinaison linéaire de b et c, soit tout entier de la forme mb + nc (où m et n sont des entiers relatifs).

• a\ |\ b signifie qu'il existe un entier k \in \mathbb{Z} tel que b = ka.
  a\ |\ c signifie qu'il existe un entier k' \in \mathbb{Z} tel que c = k'a.
  

Ainsi, mb + nc = mka + nk'a = a(mk + nk'). Or mk + nk' est un entier relatif donc a\ |\ (mb + nc).

• On a a\ |\ b et a\ |\ a donc la propriété précédente donne a\ |\ (a + b) et a\ |\ (a - b).

• On recherche une combinaison linéaire de (n - 3) et de (2n + 7) de manière à éliminer l'entier inconnu n. On prend par exemple 1(2n + 7) - 2(n - 3) = 13.
• On obtient alors que (2n + 7) divise l'entier 13 qui est indépendant de n.
• On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de 13.
• Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.

(2n + 7)\ |\ (n - 3) et (2n + 7)\ |\ (2n + 7).
On a donc (2n + 7)\ |\ \left[(2n + 7) - 2(n - 3)\right], d'où (2n + 7)\ |\ 13. Les diviseurs de 13 sont -13, -1, 1 et 13 donc :
2 n+7=-1 \Leftrightarrow n=-4 ;
2 n+7=-13 \Leftrightarrow n=-10 ;
2 n+7=1 \Leftrightarrow n=-3 ;
2 n+7=13 \Leftrightarrow n=3.
Les solutions possibles sont -4, -10, -3 et 3.
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour n = -4, on a 2n + 7 = -1 et n - 3 = -7, or -1\ | -7 donc -4 est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont -4, -10, -3 et 3.

Exercices

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et

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p. 104