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1. Relation de divisibilité dans Z
P.94-95

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COURS


1
Relation de divisibilité dans




A
Diviseurs et multiples


Définition

Soient et deux entiers relatifs. On dit que divise lorsqu’il existe un entier relatif tel que . On dit que est un diviseur de . On note .

Remarque

On dit aussi que est un multiple de et que est divisible par .

Exemple

. On a donc et .

Remarque

Pour tout entier , donc divise et divise . De plus, donc tout entier divise . L’ensemble des diviseurs de est .

Conséquence

Soit un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre et .
Tout entier relatif non nul a donc un nombre fini de diviseurs.

Propriété

Soient et deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
.

Remarque

et ont les mêmes diviseurs.

Remarque

Soit un entier non nul. Si , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
59
p. 106
.

Application et méthode

Énoncé

Déterminer les entiers naturels et vérifiant .

B
Propriétés de la divisibilité


Propriété

Soient , et trois entiers relatifs. Si et , alors .

Remarque

Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.

DÉMONSTRATION

signifie qu’il existe un entier tel que .
signifie qu’il existe un entier tel que .
On a alors . Or est un entier relatif donc .

Exemple

On a et donc .

Propriétés

Soient , et trois entiers relatifs.
  • Si et alors, quels que soient les entiers et , on a : .
  • En particulier, si , alors et .

Vocabulaire

Si et , on dit que divise toute combinaison linéaire de et , soit tout entier de la forme (où et sont des entiers relatifs).

DÉMONSTRATION

  • signifie qu’il existe un entier tel que .
    signifie qu’il existe un entier tel que .
Ainsi, . Or est un entier relatif donc .
  • On a et donc la propriété précédente donne et .

Application et méthode

Énoncé

Déterminer tous les entiers tels que .