Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que adiviseb lorsqu’il existe un entier relatif k tel que b=ka. On dit que a est un diviseur de b. On note a∣b.
Remarque
On dit aussi que b est un multiple de a et que best divisible para.
Exemple
−124=−31×4. On a donc −31∣−124 et 4∣−124.
Remarque
Pour tout entier a, 1×a=a donc 1 divise a et a divise a. De plus, 0×a=0 donc tout entier divise 0. L’ensemble des diviseurs de 0 est Z.
Conséquence
Soit n un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre −∣n∣ et ∣n∣.
Tout entier relatif non nul n a donc un nombre fini de diviseurs.
Propriété
Soient a et b deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
Déterminer les entiers naturels a et b vérifiant a2−b2=35.
Méthode
On factorise pour obtenir un produit d’entiers. On obtient une équation du type A×B=35 où A et B sont donc des diviseurs positifs de 35.
On recherche les conditions que l’on a sur a et b sachant qu’il s’agit d’entiers naturels : dans cet exemple a>b.
Après avoir déterminé les diviseurs de 35, on écrit les systèmes vérifiés par a et b. La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.
Solution
Soient a et b deux entiers naturels. a2−b2=35⇔(a−b)(a+b)=35 a et b étant deux entiers naturels, on a a+b⩾0 et a−b doit donc également être positif car 35 est positif.
De plus, a−b et a+b sont des diviseurs positifs de 35 avec a−b⩽a+b. Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. a et b vérifient donc
a2−b2=35⇔{a−b=1a+b=35 ou
{a−b=5a+b=7.
On obtient {a=18b=17 ou
{a=6b=1.
Réciproquement, les couples (8;17) et (6;1) vérifient l’équation.
Ainsi, les couples d’entiers (a;b) solutions de l’équation a2−b2=35 sont exactement (18;17) et (6;1).
Pour s'entraîner : exercices 29 p. 104 et 58 p. 106
B
Propriétés de la divisibilité
Propriété
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a∣b et b∣c, alors a∣c.
Remarque
Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.
DÉMONSTRATION
a∣b signifie qu’il existe un entier k∈Z tel que b=ka. b∣c signifie qu’il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
On a alors c=k′b=k′(ka)=k′ka. Or kk′ est un entier relatif donc a∣c.
Exemple
On a 19∣38 et 38∣114 donc 19∣114.
Propriétés
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a∣b et a∣c alors, quels que soient les entiers m et n, on a : a∣(mb+nc).
En particulier, si a∣b, alors a∣(a+b) et a∣(a−b).
Vocabulaire
Si a∣b et a∣c, on dit que a divise toute combinaison linéaire de b et c, soit tout entier de la forme mb+nc (où m et n sont des entiers relatifs).
DÉMONSTRATION
a∣b signifie qu’il existe un entierk∈Z tel que b=ka. b∣c signifie qu’il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
Ainsi, mb+nc=mka+nk′a=a(mk+nk′). Or mk+nk′ est un entier relatif donc a∣(mb+nc).
On a a∣b et a∣a donc la propriété précédente donne a∣(a+b) et a∣(a−b).
Application et méthode
Énoncé
Déterminer tous les entiers n tels que (2n+7)∣(n−3).
Méthode
On recherche une combinaison linéaire de (n−3) et de (2n+7) de manière à éliminer l’entier inconnu n. On prend par exemple 1(2n+7)−2(n−3)=13.
On obtient alors que (2n+7) divise l’entier 13 qui est indépendant de n.
On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de 13.
Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.
Solution
(2n+7)∣(n−3) et (2n+7)∣(2n+7).
On a donc (2n+7)∣[(2n+7)−2(n−3)], d’où (2n+7)∣13.
Les diviseurs de 13 sont −13, −1, 1 et 13 donc : 2n+7=−1⇔n=−4 ; 2n+7=−13⇔n=−10 ; 2n+7=1⇔n=−3 ; 2n+7=13⇔n=3.
Les solutions possibles sont −4, −10, −3 et 3.
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour n=−4, on a 2n+7=−1 et n−3=−7, or −1∣−7 donc −4 est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont −4, −10, −3 et 3.
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