Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Relation de divisibilité dans Z
P.94-95

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS


1
Relation de divisibilité dans




A
Diviseurs et multiples


Définition

Soient et deux entiers relatifs. On dit que divise lorsqu’il existe un entier relatif tel que . On dit que est un diviseur de . On note .

Remarque

On dit aussi que est un multiple de et que est divisible par .

Exemple

. On a donc et .

Remarque

Pour tout entier , donc divise et divise . De plus, donc tout entier divise . L’ensemble des diviseurs de est .

Conséquence

Soit un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre et .
Tout entier relatif non nul a donc un nombre fini de diviseurs.

Propriété

Soient et deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
.

Remarque

et ont les mêmes diviseurs.

Remarque

Soit un entier non nul. Si , alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
59
p. 106
.

Application et méthode

Énoncé

Déterminer les entiers naturels et vérifiant .

Méthode

  • On factorise pour obtenir un produit d’entiers. On obtient une équation du type et sont donc des diviseurs positifs de .
  • On recherche les conditions que l’on a sur et sachant qu’il s’agit d’entiers naturels : dans cet exemple .
  • Après avoir déterminé les diviseurs de , on écrit les systèmes vérifiés par et . La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.


Solution


Soient et deux entiers naturels.

et étant deux entiers naturels, on a et doit donc également être positif car est positif.
De plus, et sont des diviseurs positifs de avec . Les diviseurs positifs de sont , , et .
et vérifient donc ou .
On obtient ou .
Réciproquement, les couples et vérifient l’équation.
Ainsi, les couples d’entiers solutions de l’équation sont exactement et .

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 104 et 58 p. 106

B
Propriétés de la divisibilité


Propriété

Soient , et trois entiers relatifs. Si et , alors .

Remarque

Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.

DÉMONSTRATION

signifie qu’il existe un entier tel que .
signifie qu’il existe un entier tel que .
On a alors . Or est un entier relatif donc .

Exemple

On a et donc .

Propriétés

Soient , et trois entiers relatifs.
  • Si et alors, quels que soient les entiers et , on a : .
  • En particulier, si , alors et .

Vocabulaire

Si et , on dit que divise toute combinaison linéaire de et , soit tout entier de la forme (où et sont des entiers relatifs).

DÉMONSTRATION

  • signifie qu’il existe un entier tel que .
    signifie qu’il existe un entier tel que .
Ainsi, . Or est un entier relatif donc .
  • On a et donc la propriété précédente donne et .

Application et méthode

Énoncé

Déterminer tous les entiers tels que .

Méthode

  • On recherche une combinaison linéaire de et de de manière à éliminer l’entier inconnu . On prend par exemple .
  • On obtient alors que divise l’entier qui est indépendant de .
  • On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de .
  • Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.


Solution


et .
On a donc , d’où . Les diviseurs de sont , , et donc :
;
;
;
.
Les solutions possibles sont , , et .
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour , on a et , or donc est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont , , et .

Pour s'entraîner : exercices 30 et 32 p. 104
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.