Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Relation de divisibilité dans Z
P.94-95

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS


1
Relation de divisibilité dans Z\mathbb{Z}




A
Diviseurs et multiples


Définition

Soient aa et bb deux entiers relatifs. On dit que aa divise bb lorsqu’il existe un entier relatif kk tel que b=kab = ka. On dit que aa est un diviseur de bb. On note aba | b.

Remarque

On dit aussi que bb est un multiple de aa et que bb est divisible par aa.

Exemple

124=31×4-124 = -31 \times 4. On a donc 31124-31 |-124 et 41244 |-124.

Remarque

Pour tout entier aa, 1×a=a1 \times a = a donc 11 divise aa et aa divise aa. De plus, 0×a=00 \times a = 0 donc tout entier divise 00. L’ensemble des diviseurs de 00 est Z\mathbb{Z}.

Conséquence

Soit nn un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre n-|n| et n|n|.
Tout entier relatif non nul nn a donc un nombre fini de diviseurs.

Propriété

Soient aa et bb deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
ab(a)ba(b)(a)(b)a|b \Leftrightarrow(-a)| b \Leftrightarrow a|(-b) \Leftrightarrow(-a)|(-b).

Remarque

aa et a-a ont les mêmes diviseurs.

Remarque

Soit bb un entier non nul. Si aba {|} b, alors ab|a| \leqslant|b|.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
59
p. 106
.

Application et méthode

Énoncé

Déterminer les entiers naturels aa et bb vérifiant a2b2=35a^2 - b^2 = 35.

Méthode

  • On factorise pour obtenir un produit d’entiers. On obtient une équation du type A×B=35\text{A} \times \text{B} = 35A\text{A} et B\text{B} sont donc des diviseurs positifs de 3535.
  • On recherche les conditions que l’on a sur aa et bb sachant qu’il s’agit d’entiers naturels : dans cet exemple a>ba \gt b.
  • Après avoir déterminé les diviseurs de 3535, on écrit les systèmes vérifiés par aa et bb. La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.


Solution


Soient aa et bb deux entiers naturels.
a2b2=35(ab)(a+b)=35a^{2}-b^{2}=35 \Leftrightarrow(a-b)(a+b)=35
aa et bb étant deux entiers naturels, on a a+b0a+b \geqslant 0 et aba - b doit donc également être positif car 3535 est positif.
De plus, aba - b et a+ba + b sont des diviseurs positifs de 3535 avec aba+ba-b \leqslant a+b. Les diviseurs positifs de 3535 sont 11, 55, 77 et 3535.
aa et bb vérifient donc a2b2=35{ab=1a+b=35a^{2}-b^{2}=35 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a-b=1 \\ a+b=35 \end{array}\right. ou {ab=5a+b=7\left\{\begin{array}{l} a-b=5 \\ a+b=7 \end{array}\right..
On obtient {a=18b=17\left\{\begin{array}{l} a=18 \\ b=17 \end{array}\right. ou {a=6b=1\left\{\begin{array}{l} a=6 \\ b=1 \end{array}\right..
Réciproquement, les couples (8 ; 17)(8\ {;}\ 17) et (6 ; 1)(6\ {;}\ 1) vérifient l’équation.
Ainsi, les couples d’entiers (a ; b)(a\ {;}\ b) solutions de l’équation a2b2=35a^2 - b^2 = 35 sont exactement (18 ; 17)(18\ {;}\ 17) et (6 ; 1)(6\ {;}\ 1).

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 104 et 58 p. 106

B
Propriétés de la divisibilité


Propriété

Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs. Si a  ba\ |\ b et b  cb\ |\ c, alors a  ca\ |\ c.

Remarque

Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.

DÉMONSTRATION

a  ba\ |\ b signifie qu’il existe un entier kZ k \in \mathbb{Z} tel que b=kab = ka.
b  cb\ |\ c signifie qu’il existe un entier kZ k' \in \mathbb{Z} tel que c=kbc = k'b.
On a alors c=kb=k(ka)=kkac = k'b = k'(ka) = k'ka. Or kkkk' est un entier relatif donc a  ca\ |\ c.

Exemple

On a 19  3819\ |\ 38 et 38  11438\ |\ 114 donc 19  11419\ |\ 114.

Propriétés

Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs.
  • Si a  ba\ |\ b et a  ca\ |\ c alors, quels que soient les entiers mm et nn, on a : a  (mb+nc)a\ |\ (mb + nc).
  • En particulier, si a  ba\ |\ b, alors a (a+b)a\ |(a + b) et a  (ab)a\ |\ (a - b).

Vocabulaire

Si a  ba\ |\ b et a  ca\ |\ c, on dit que aa divise toute combinaison linéaire de bb et cc, soit tout entier de la forme mb+ncmb + nc (où mm et nn sont des entiers relatifs).

DÉMONSTRATION

  • a  ba\ |\ b signifie qu’il existe un entierkZ k \in \mathbb{Z} tel que b=kab = ka.
    b  cb\ |\ c signifie qu’il existe un entier kZ k' \in \mathbb{Z} tel que c=kbc = k'b.
Ainsi, mb+nc=mka+nka=a(mk+nk)mb + nc = mka + nk'a = a(mk + nk'). Or mk+nkmk + nk' est un entier relatif donc a  (mb+nc)a\ |\ (mb + nc).
  • On a a  ba\ |\ b et a  aa\ |\ a donc la propriété précédente donne a  (a+b)a\ |\ (a + b) et a  (ab)a\ |\ (a - b).

Application et méthode

Énoncé

Déterminer tous les entiers nn tels que (2n+7)  (n3)(2n + 7)\ |\ (n - 3).

Méthode

  • On recherche une combinaison linéaire de (n3)(n - 3) et de (2n+7)(2n + 7) de manière à éliminer l’entier inconnu nn. On prend par exemple 1(2n+7)2(n3)=131(2n + 7) - 2(n - 3) = 13.
  • On obtient alors que (2n+7)(2n + 7) divise l’entier 1313 qui est indépendant de nn.
  • On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de 1313.
  • Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.


Solution


(2n+7)  (n3) (2n + 7)\ |\ (n - 3) et (2n+7)  (2n+7)(2n + 7)\ |\ (2n + 7).
On a donc (2n+7)  [(2n+7)2(n3)](2n + 7)\ |\ \left[(2n + 7) - 2(n - 3)\right], d’où (2n+7)  13(2n + 7)\ |\ 13. Les diviseurs de 1313 sont 13-13, 1-1, 11 et 1313 donc :
2n+7=1n=42 n+7=-1 \Leftrightarrow n=-4 ;
2n+7=13n=102 n+7=-13 \Leftrightarrow n=-10 ;
2n+7=1n=32 n+7=1 \Leftrightarrow n=-3 ;
2n+7=13n=32 n+7=13 \Leftrightarrow n=3.
Les solutions possibles sont 4-4, 10-10, 3-3 et 33.
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour n=4n = -4, on a 2n+7=12n + 7 = -1 et n3=7n - 3 = -7, or 1 7-1\ | -7 donc 4-4 est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont 4-4, 10-10, 3-3 et 33.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 32 p. 104
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.