Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Cours 1

Relation de divisibilité dans

A
Diviseurs et multiples

Définition
Soient et deux entiers relatifs. On dit que divise lorsqu'il existe un entier relatif tel que . On dit que est un diviseur de . On note .

Remarque

On dit aussi que est un multiple de et que est divisible par .
Exemple
. On a donc et .
Conséquence
Soit un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre et .
Tout entier relatif non nul a donc un nombre fini de diviseurs.

Remarque

Pour tout entier , donc divise et divise . De plus, donc tout entier divise . L'ensemble des diviseurs de est .
Propriété
Soient et deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
.

Remarque

et ont les mêmes diviseurs.
Démonstration
Voir exercice p. 106.

Remarque

Soit un entier non nul. Si , alors .
Application et méthode - 1
Énoncé
Déterminer les entiers naturels et vérifiant .

Méthode

  • On factorise pour obtenir un produit d'entiers. On obtient une équation du type et sont donc des diviseurs positifs de .
  • On recherche les conditions que l'on a sur et sachant qu'il s'agit d'entiers naturels : dans cet exemple .
  • Après avoir déterminé les diviseurs de , on écrit les systèmes vérifiés par et . La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.
Solution
Soient et deux entiers naturels.

et étant deux entiers naturels, on a et doit donc également être positif car est positif.
De plus, et sont des diviseurs positifs de avec . Les diviseurs positifs de sont , , et .
et vérifient donc ou .
On obtient ou .
Réciproquement, les couples et vérifient l'équation.
Ainsi, les couples d'entiers solutions de l'équation sont exactement et .

Pour s'entraîner
Exercices p. 104 et p. 106

B
Propriétés de la divisibilité

Propriété
Soient , et trois entiers relatifs. Si et , alors .

Remarque

Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.
Démonstration
signifie qu'il existe un entier tel que .
signifie qu'il existe un entier tel que .
On a alors . Or est un entier relatif donc .
Exemple
On a et donc .
Propriété
Soient , et trois entiers relatifs.
  • Si et alors, quels que soient les entiers et , on a : .
  • En particulier, si , alors et .

Vocabulaire

Si et , on dit que divise toute combinaison linéaire de et , soit tout entier de la forme (où et sont des entiers relatifs).
Démonstration
  • signifie qu'il existe un entier tel que .
    signifie qu'il existe un entier tel que .
Ainsi, . Or est un entier relatif donc .
  • On a et donc la propriété précédente donne et .
Application et méthode - 2
Énoncé
Déterminer tous les entiers tels que .

Méthode

  • On recherche une combinaison linéaire de et de de manière à éliminer l'entier inconnu . On prend par exemple .
  • On obtient alors que divise l'entier qui est indépendant de .
  • On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de .
  • Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.
Solution
et .
On a donc , d'où . Les diviseurs de sont , , et donc :
;
;
;
.
Les solutions possibles sont , , et .
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour , on a et , or donc est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont , , et .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 104

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