Relation de divisibilité dans $\mathbb{Z}$

$-124=-31\times 4$. On a donc $-31|-124$ et $4|-124$.

• On factorise pour obtenir un produit d'entiers. On obtient une équation du type $\text{A}\times \text{B}=35$ où $\text{A}$ et $\text{B}$ sont donc des diviseurs positifs de $35$.
• On recherche les conditions que l'on a sur $a$ et $b$ sachant qu'il s'agit d'entiers naturels : dans cet exemple $a>b$.
• Après avoir déterminé les diviseurs de $35$, on écrit les systèmes vérifiés par $a$ et $b$. La résolution de ces systèmes nous donne les solutions cherchées.

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
$a^2-b^2=35\iff (a-b)(a+b)=35$
$a$ et $b$ étant deux entiers naturels, on a $a+b⩾0$ et $a-b$ doit donc également être positif car $35$ est positif.
De plus, $a-b$ et $a+b$ sont des diviseurs positifs de $35$ avec $a-b⩽a+b$. Les diviseurs positifs de $35$ sont $1$, $5$, $7$ et $35$.
$a$ et $b$ vérifient donc $a^2-b^2=35\iff \{\begin{array}{l}a-b=1\\ a+b=35\end{array}$ ou $\{\begin{array}{l}a-b=5\\ a+b=7\end{array}$.
On obtient $\{\begin{array}{l}a=18\\ b=17\end{array}$ ou $\{\begin{array}{l}a=6\\ b=1\end{array}$.
Réciproquement, les couples $(18;17)$ et $(6;1)$ vérifient l'équation.
Ainsi, les couples d'entiers $(a;b)$ solutions de l'équation $a^2-b^2=35$ sont exactement $(18;17)$ et $(6;1)$.

Exercices

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p. 104 et

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Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs.

• Si $a|b$ et $a|c$ alors, quels que soient les entiers $m$ et $n$, on a : $a|(mb+nc)$.
• En particulier, si $a|b$, alors $a|(a+b)$ et $a|(a-b)$.

Si $a|b$ et $a|c$, on dit que $a$ divise toute combinaison linéaire de $b$ et $c$, soit tout entier de la forme $mb+nc$ (où $m$ et $n$ sont des entiers relatifs).

• $a|b$ signifie qu'il existe un entier $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b=ka$.
  $a|c$ signifie qu'il existe un entier $k^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que $c=k^{\prime }a$.
  

Ainsi, $mb+nc=mka+n{k}^{\prime }a=a(mk+n{k}^{\prime })$. Or $mk+n{k}^{\prime }$ est un entier relatif donc $a|(mb+nc)$.

• On a $a|b$ et $a|a$ donc la propriété précédente donne $a|(a+b)$ et $a|(a-b)$.

• On recherche une combinaison linéaire de $(n-3)$ et de $(2n+7)$ de manière à éliminer l'entier inconnu $n$. On prend par exemple $1(2n+7)-2(n-3)=13$.
• On obtient alors que $(2n+7)$ divise l'entier $13$ qui est indépendant de $n$.
• On raisonne alors par disjonction de cas en recherchant les diviseurs de $13$.
• Les solutions possibles sont alors les résultats trouvés. Il faut ensuite vérifier par le calcul que ces résultats correspondent bien à des entiers solutions.

$(2n+7)|(n-3)$ et $(2n+7)|(2n+7)$.
On a donc $(2n+7)|\left[(2n+7)-2(n-3)\right]$, d'où $(2n+7)|13$. Les diviseurs de $13$ sont $-13$, $-1$, $1$ et $13$ donc :
$2n+7=-1\iff n=-4$ ;
$2n+7=-13\iff n=-10$ ;
$2n+7=1\iff n=-3$ ;
$2n+7=13\iff n=3$.
Les solutions possibles sont $-4$, $-10$, $-3$ et $3$.
Réciproquement, les entiers obtenus sont‑ils solutions ?
Pour $n=-4$, on a $2n+7=-1$ et $n-3=-7$, or $-1|-7$ donc $-4$ est bien solution. On raisonne de même pour les autres valeurs. On en déduit que les solutions sont $-4$, $-10$, $-3$ et $3$.

Exercices

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