1. Relation de divisibilité dans Z
P.94-95
COURS
1Relation de divisibilité dans
1
A
Diviseurs et multiples
A
Définition
Soient et deux entiers relatifs. On dit que divise lorsqu’il existe un entier relatif tel que . On dit que est un diviseur de . On note .
Remarque
On dit aussi que est un multiple de et que est divisible par .
Exemple
. On a donc et .
Remarque
Pour tout entier , donc divise et divise . De plus, donc tout entier divise . L’ensemble des diviseurs de est .
Conséquence
Soit un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre et .
Tout entier relatif non nul a donc un nombre fini de diviseurs.
Propriété
Soient et deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
.
Remarque
et ont les mêmes diviseurs.
Remarque
Soit un entier non nul. Si , alors .
Application et méthode
Énoncé
Déterminer les entiers naturels et vérifiant .
B
Propriétés de la divisibilité
B
Propriété
Soient , et trois entiers relatifs. Si et , alors .
Remarque
Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.
DÉMONSTRATION
signifie qu’il existe un entier tel que .DÉMONSTRATION
signifie qu’il existe un entier tel que .
On a alors . Or est un entier relatif donc .
Exemple
On a et donc .
Propriétés
Soient , et trois entiers relatifs.
- Si et alors, quels que soient les entiers et , on a : .
- En particulier, si , alors et .
Vocabulaire
Si et , on dit que divise toute combinaison linéaire de et , soit tout entier de la forme (où et sont des entiers relatifs).
DÉMONSTRATION
- signifie qu’il existe un entier tel que .
signifie qu’il existe un entier tel que .
- On a et donc la propriété précédente donne et .
Application et méthode
Énoncé
Déterminer tous les entiers tels que .