Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que adiviseb lorsqu’il existe un entier relatif k tel que b=ka. On dit que a est un diviseur de b. On note a∣b.
Remarque
On dit aussi que b est un multiple de a et que best divisible para.
Exemple
−124=−31×4. On a donc −31∣−124 et 4∣−124.
Remarque
Pour tout entier a, 1×a=a donc 1 divise a et a divise a. De plus, 0×a=0 donc tout entier divise 0. L’ensemble des diviseurs de 0 est Z.
Conséquence
Soit n un entier relatif non nul.
Tout diviseur de n est compris entre −∣n∣ et ∣n∣.
Tout entier relatif non nul n a donc un nombre fini de diviseurs.
Propriété
Soient a et b deux entiers relatifs. On a les équivalences suivantes :
Déterminer les entiers naturels a et b vérifiant a2−b2=35.
B
Propriétés de la divisibilité
Propriété
Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a∣b et b∣c, alors a∣c.
Remarque
Une telle propriété est appelée propriété de transitivité.
DÉMONSTRATION
a∣b signifie qu’il existe un entier k∈Z tel que b=ka. b∣c signifie qu’il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
On a alors c=k′b=k′(ka)=k′ka. Or kk′ est un entier relatif donc a∣c.
Exemple
On a 19∣38 et 38∣114 donc 19∣114.
Propriétés
Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a∣b et a∣c alors, quels que soient les entiers m et n, on a : a∣(mb+nc).
En particulier, si a∣b, alors a∣(a+b) et a∣(a−b).
Vocabulaire
Si a∣b et a∣c, on dit que a divise toute combinaison linéaire de b et c, soit tout entier de la forme mb+nc (où m et n sont des entiers relatifs).
DÉMONSTRATION
a∣b signifie qu’il existe un entierk∈Z tel que b=ka. b∣c signifie qu’il existe un entier k′∈Z tel que c=k′b.
Ainsi, mb+nc=mka+nk′a=a(mk+nk′). Or mk+nk′ est un entier relatif donc a∣(mb+nc).
On a a∣b et a∣a donc la propriété précédente donne a∣(a+b) et a∣(a−b).
Application et méthode
Énoncé
Déterminer tous les entiers n tels que (2n+7)∣(n−3).
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