Relation de divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Parcours 1 : exercices

61

 ;

65

 ;

79

 ;

80

 ;

99

et

108

Parcours 2 : exercices

63

 ;

67

 ;

84

 ;

89

 ;

102

  et

117

Parcours 3 : exercices

66

 ;

74

 ;

90

;

105

et

112

55

Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par $2$.

57

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que : 1. $n+6$ soit divisible par $n$ ;

2. $n+11$ soit divisible par $n-1$ ;

3. $n-3$ divise $n+2$.

58

Déterminer tous les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x^2-4y^2=36$

59

[ Raisonner. ]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
1. a. Démontrer que si $a|b$, alors $(-a)|b$.

b. Montrer que si $(-a)|b$, alors $a|(-b)$.

c. Démontrer que $a|(-b)$ alors $(-a)|(-b)$.

d. Démontrer que si $(-a)|(-b)$, alors $a|b$.

2. Quel enchaînement d'implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?

60

[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, $\text{ABCD}$ est un carré de côté $x$ cm où $x$ est un entier naturel et $\text{EBFG}$ est un carré de côté $3$ cm. Déterminer les valeurs possibles de $x$ afin que l'aire du polygone $\text{AEGFCD}$ soit égale à celle d'un carré de côté $y$, où $y$ est un entier naturel.

61

[ Calculer. ]
On définit la fonction $f$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ par :
1. Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que :

$f(n)=an+b+\frac{c}{n+4}$.

2. Pour quelles valeurs de $n$ l'image de $n$ par la fonction $f$ est‑elle un entier ?

62

[ Calculer. ]
Soit $n$ un entier naturel. On définit le nombre $f(n)$ par :
1. Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que :

$f(n)=a+\frac{bn+c}{n^2+1}$.

2. Existe‑t‑il des valeurs de $n$ pour lesquelles $f(n)$ est un entier ?

63

[ Raisonner. ]
On pose, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a_n=2^{3n}-3^n$. 1. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$ puis conjecturer l'existence d'un diviseur de $a_n$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. Démontrer cette conjecture par récurrence.

64

[ Raisonner. ]
1. Déterminer les diviseurs de $24$.

Insérer une formule mathématique

2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $n^2-24$ soit le carré d'un entier naturel ?

Insérer une formule mathématique

67

[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $9^n-2^n$ est divisible par $7$.

68

[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-5^n$ est divisible par $3$.

66

[ Communiquer. ]
Soit $\text{P}$ un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par $\mathrm{P}(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
On suppose que $b^2-4ac>0$, c'est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes. 1. Démontrer que le produit des racines est $\frac{c}{a}$.

2. En déduire que si $x_1$ est une racine entière de $\text{P}$, alors $x_1|c$.

3. Sans la résoudre, préciser si l'équation $x^2-7x+3=0$ admet des solutions entières.

4. Déterminer les polynômes de la forme $\text{P}(x)=a{x}^2+bx+6$ admettant deux racines entières dont l'une est $2$.

69

[ Calculer. ]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Démontrer que : $\text{ 13 }|(8a+5b)\iff 13|(5a+8b)$.

70

[ Calculer. ]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Démontrer que : $\text{ 11 }|(6a+5b)\iff 11|(5a+6b)$.

71

[ Calculer. ]
1. Soit $n$ un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels $d$ tels que $d|(n+6)$ et $d|(2n+3)$.

Insérer une formule mathématique

2. En déduire les couples d'entiers naturels ($n;d)$ tels que $d|(n+6)$ et $d|(2n+3)$.

Insérer une formule mathématique

72

[ Chercher. ]
1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de $n$ la somme $\text{S}$ définie par $\text{S}=1+3+3^2+\dots +3^{n-1}$.

2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $3^n-1$ est pair.