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1. Relation de divisibilité dans Z
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Entraînement


1
Relation de divisibilité dans





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

54
FLASH

1. Donner deux nombres impairs consécutifs et vérifier que leur somme est divisible par .


2. Démontrer, dans le cas général, que la somme de deux entiers impairs consécutifs est divisible par .
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55
FLASH

Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par .
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56
FLASH

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels tels que :

1. divise .


2. divise .
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57
FLASH

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels tels que :

1. soit divisible par  ;


2. soit divisible par  ;


3. divise .
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59
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soient et deux entiers relatifs.

1. a. Démontrer que si , alors .


b. Montrer que si , alors .


c. Démontrer que alors .


d. Démontrer que si , alors .


2. Quel enchaînement d’implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?
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60
[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, est un carré de côté  cm où est un entier naturel et est un carré de côté  cm. Déterminer les valeurs possibles de afin que l’aire du polygone soit égale à celle d’un carré de côté , où est un entier naturel.

Figure ABCD - Relativité de divisibilité dans Z



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61
[ Calculer. ] ◉◉
On définit la fonction de dans par :
.

1. Déterminer les nombres , et tels que :
.



2. Pour quelles valeurs de l’image de par la fonction est‑elle un entier ?
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62
[ Calculer. ]
Soit un entier naturel. On définit le nombre par :
.

1. Déterminer les nombres , et tels que :
.



2. Existe‑t‑il des valeurs de pour lesquelles est un entier ?
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63
[ Raisonner. ] ◉◉
On pose, pour tout , .

1. Calculer , et puis conjecturer l’existence d’un diviseur de pour .


2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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64
[ Raisonner. ]
1. Déterminer les diviseurs de .


2. Quels sont les entiers naturels tels que soit le carré d’un entier naturel ?
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65
[ Chercher. ] ◉◉
Dans le plan rapporté à un repère , on considère l'hyperbole d'équation .

Déterminer les points de à coordonnées entières.
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66
[ Communiquer. ] ◉◉◉
Soit un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par avec .
On suppose que , c’est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes.

1. Démontrer que le produit des racines est .


2. En déduire que si est une racine entière de , alors .


3. Sans la résoudre, préciser si l’équation admet des solutions entières.


4. Déterminer les polynômes de la forme admettant deux racines entières dont l’une est .
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68
[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , est divisible par .
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70
[ Calculer. ]
Soient et deux entiers relatifs.
Démontrer que : .
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67
[ Raisonner. ] ◉◉
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , est divisible par .
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69
[ Calculer. ]
Soient et deux entiers relatifs.
Démontrer que : .
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72
[ Chercher. ]
1. Soit un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de la somme définie par .


2. En déduire que, pour tout entier naturel , est pair.
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71
[ Calculer. ]
1. Soit un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels tels que et .


2. En déduire les couples d’entiers naturels ( tels que et .
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73
[ Chercher. ]
1. Soit un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de la somme définie par .


2. En déduire que, pour tout entier naturel , est divisible par .
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74
[ Raisonner. ] ◉◉◉
On souhaite démontrer la propriété suivante : « Pour tout entier naturel non nul , divise . »
Soit un entier naturel non nul. On donne la formule du binôme de Newton valable pour tous réels et  :
1. Développer .


2. Exprimer en fonction de .


3. En déduire la propriété énoncée.
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75
[ Raisonner. ]
Soient , , et quatre entiers vérifiant et .
1. Justifier que tout diviseur de et de divise et .


2. Exprimer et en fonction de et .


3. Justifier que tout diviseur de et de divise et .


4. Déterminer les diviseurs communs aux quatre entiers ; ; et .


5. En déduire que, pour tout entier naturel , est divisible par .


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58
FLASH

Déterminer tous les entiers naturels et tels que
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