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1. Relation de divisibilité dans Z
P.106

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Entraînement


1
Relation de divisibilité dans Z\mathbb{Z}





58
FLASH

Déterminer tous les entiers naturels xx et yy tels que x24y2=36x^{2}-4 y^{2}=36
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DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

54
FLASH

1. Donner deux nombres impairs consécutifs et vérifier que leur somme est divisible par 44.


2. Démontrer, dans le cas général, que la somme de deux entiers impairs consécutifs est divisible par 44.
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55
FLASH

Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par 22.
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56
FLASH

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels nn tels que :

1. 1111 divise n+3n + 3.


2. 66 divise 3n93n - 9.
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57
FLASH

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels nn tels que :

1. n+6n + 6 soit divisible par nn ;


2. n+11n + 11 soit divisible par n1n - 1 ;


3. n3n-3 divise n+2n+2.
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59
[ Raisonner. ]
[DÉMO]

Soient aa et bb deux entiers relatifs.

1. a. Démontrer que si a  ba\ |\ b, alors (a)  b(-a)\ |\ b.


b. Montrer que si (a)  b(-a)\ |\ b, alors a  (b)a\ |\ (-b).


c. Démontrer que a  (b)a\ |\ (-b) alors (a)  (b)(-a)\ |\ (-b).


d. Démontrer que si (a)  (b)(-a)\ |\ (-b), alors a  ba\ |\ b.


2. Quel enchaînement d’implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?
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60
[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, ABCD\text{ABCD} est un carré de côté xx cm où xx est un entier naturel et EBFG\text{EBFG} est un carré de côté 33 cm. Déterminer les valeurs possibles de xx afin que l’aire du polygone AEGFCD\text{AEGFCD} soit égale à celle d’un carré de côté yy, où yy est un entier naturel.

Figure ABCD - Relativité de divisibilité dans Z



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61
[ Calculer. ] ◉◉
On définit la fonction ff de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} par :
f(n)=3n2+2n1n+4f(n)=\dfrac{3 n^{2}+2 n-1}{n+4}.

1. Déterminer les nombres aa, bb et cc tels que :
f(n)=an+b+cn+4f(n)=a n+b+\dfrac{c}{n+4}.



2. Pour quelles valeurs de nn l’image de nn par la fonction ff est‑elle un entier ?
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62
[ Calculer. ]
Soit nn un entier naturel. On définit le nombre f(n)f(n) par :
f(n)=5n2+10n2n2+1f(n)=\dfrac{5 n^{2}+10 n-2}{n^{2}+1}.

1. Déterminer les nombres aa, bb et cc tels que :
f(n)=a+bn+cn2+1f(n)=a+\dfrac{b n+c}{n^{2}+1}.



2. Existe‑t‑il des valeurs de nn pour lesquelles f(n)f(n) est un entier ?
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63
[ Raisonner. ] ◉◉
On pose, pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, an=23n3na_{n}=2^{3 n}-3^{n}.

1. Calculer a1a_1, a2a_2 et a3a_3 puis conjecturer l’existence d’un diviseur de ana_n pour nNn \in \mathbb{N}^{*}.


2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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64
[ Raisonner. ]
1. Déterminer les diviseurs de 2424.


2. Quels sont les entiers naturels nn tels que n224n^2 - 24 soit le carré d’un entier naturel ?
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65
[ Chercher. ] ◉◉
Dans le plan rapporté à un repère (0 ;i,j)(0\ {;} \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), on considère l'hyperbole H\mathcal{H} d'équation y=6xy=\dfrac{6}{x}.

Déterminer les points de H\mathcal{H} à coordonnées entières.
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66
[ Communiquer. ] ◉◉◉
Soit P\text{P} un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par P(x)=ax2+bx+c\mathrm{P}(x)=a x^{2}+b x+c avec a0a \neq 0.
On suppose que b24ac>0b^2 - 4ac \gt 0, c’est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes.

1. Démontrer que le produit des racines est ca\dfrac{c}{a}.


2. En déduire que si x1x_1 est une racine entière de P\text{P}, alors x1  cx_{1}\ |\ c.


3. Sans la résoudre, préciser si l’équation x27x+3=0x^2 - 7x + 3 = 0 admet des solutions entières.


4. Déterminer les polynômes de la forme P(x)=ax2+bx+6\text{P}(x) = ax^2 + bx + 6 admettant deux racines entières dont l’une est 22.
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68
[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 23n5n23^n - 5^n est divisible par 33.
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70
[ Calculer. ]
Soient aa et bb deux entiers relatifs.
Démontrer que :  11  (6a+5b)11  (5a+6b)\text { 11 }|\ (6a + 5b) \Leftrightarrow 11\ |\ (5a + 6b).
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67
[ Raisonner. ] ◉◉
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 9n2n9^n - 2^n est divisible par 77.
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69
[ Calculer. ]
Soient aa et bb deux entiers relatifs.
Démontrer que :  13  (8a+5b)13  (5a+8b)\text { 13 }|\ (8 a+5 b) \Leftrightarrow 13\ |\ (5 a+8 b).
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72
[ Chercher. ]
1. Soit nn un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de nn la somme S\text{S} définie par S=1+3+32++3n1\text{S}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}.


2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 3n13^n - 1 est pair.
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71
[ Calculer. ]
1. Soit nn un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels dd tels que d  (n+6)d\ |\ (n+6) et d  (2n+3)d\ |\ (2 n+3).


2. En déduire les couples d’entiers naturels (n ; d)n\ {;}\ d) tels que d  (n+6)d\ |\ (n+6) et d  (2n+3)d\ |\ (2 n+3).
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73
[ Chercher. ]
1. Soit nn un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de nn la somme S\text{S} définie par S=1+7+72++7n1\text{S}=1+7+7^{2}+\ldots+7^{n-1}.


2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 7n+357^n + 35 est divisible par 66.
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74
[ Raisonner. ] ◉◉◉
On souhaite démontrer la propriété suivante : « Pour tout entier naturel non nul nn, n2n^2 divise (n+1)n1(n+1)^n-1. »
Soit nn un entier naturel non nul. On donne la formule du binôme de Newton valable pour tous réels aa et bb :
(a+b)n=k=0n(nk)ank bk.\displaystyle{(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}\ b^{k}}.
1. Développer (n+1)n(n + 1)^n.


2. Exprimer (nn1)\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)en fonction de nn.


3. En déduire la propriété énoncée.
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75
[ Raisonner. ]
Soient aa, bb, xx et yy quatre entiers vérifiant a=x+ya = x + y et b=2x+3yb = 2x + 3y.
1. Justifier que tout diviseur de xx et de yy divise aa et bb.


2. Exprimer xx et yy en fonction de aa et bb.


3. Justifier que tout diviseur de aa et de bb divise xx et yy.


4. Déterminer les diviseurs communs aux quatre entiers 2020 ; 3030 ; 5050 et 130130.


5. En déduire que, pour tout entier naturel nn, 7n+357n + 35 est divisible par 66.


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