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Relation de divisibilité dans $\mathbb{Z}$

Déterminer tous les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $x^{2}-4 y^{2}=36$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 65 ; 79 ; 80 ; 99 et 108
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 63 ; 67 ; 84 ; 89 ; 102  et 117
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 66 ; 74 ; 90 ; 105 et 112

1. Donner deux nombres impairs consécutifs et vérifier que leur somme est divisible par $4$.


2. Démontrer, dans le cas général, que la somme de deux entiers impairs consécutifs est divisible par $4$.

Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par $2$.

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que :

1. $11$ divise $n + 3$.


2. $6$ divise $3n - 9$.

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que :

1. $n + 6$ soit divisible par $n$ ;


2. $n + 11$ soit divisible par $n - 1$ ;


3. $n-3$ divise $n+2$.

[ Raisonner. ]

[DÉMO]

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.

1. a. Démontrer que si $a\ |\ b$, alors $(-a)\ |\ b$.


b. Montrer que si $(-a)\ |\ b$, alors $a\ |\ (-b)$.


c. Démontrer que $a\ |\ (-b)$ alors $(-a)\ |\ (-b)$.


d. Démontrer que si $(-a)\ |\ (-b)$, alors $a\ |\ b$.


2. Quel enchaînement d’implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?

[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, $\text{ABCD}$ est un carré de côté $x$ cm où $x$ est un entier naturel et $\text{EBFG}$ est un carré de côté $3$ cm. Déterminer les valeurs possibles de $x$ afin que l’aire du polygone $\text{AEGFCD}$ soit égale à celle d’un carré de côté $y$, où $y$ est un entier naturel.

[ Calculer. ] ◉◉◉
On définit la fonction $f$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ par :
$f(n)=\dfrac{3 n^{2}+2 n-1}{n+4}$.
1. Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que :
$f(n)=a n+b+\dfrac{c}{n+4}$.


2. Pour quelles valeurs de $n$ l’image de $n$ par la fonction $f$ est‑elle un entier ?

[ Calculer. ]
Soit $n$ un entier naturel. On définit le nombre $f(n)$ par :
$f(n)=\dfrac{5 n^{2}+10 n-2}{n^{2}+1}$.
1. Déterminer les nombres $a$, $b$ et $c$ tels que :
$f(n)=a+\dfrac{b n+c}{n^{2}+1}$.


2. Existe‑t‑il des valeurs de $n$ pour lesquelles $f(n)$ est un entier ?

[ Raisonner. ] ◉◉◉
On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $a_{n}=2^{3 n}-3^{n}$.

1. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$ puis conjecturer l’existence d’un diviseur de $a_n$ pour $n \in \mathbb{N}^{*}$.


2. Démontrer cette conjecture par récurrence.

[ Raisonner. ]
1. Déterminer les diviseurs de $24$.


2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $n^2 - 24$ soit le carré d’un entier naturel ?

[ Chercher. ] ◉◉◉
Dans le plan rapporté à un repère $(0\ {;} \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, on considère l'hyperbole $\mathcal{H}$ d'équation $y=\dfrac{6}{x}$.

Déterminer les points de $\mathcal{H}$ à coordonnées entières.

[ Communiquer. ] ◉◉◉
Soit $\text{P}$ un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par $\mathrm{P}(x)=a x^{2}+b x+c$ avec $a \neq 0$.
On suppose que $b^2 - 4ac \gt 0$, c’est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes.

1. Démontrer que le produit des racines est $\dfrac{c}{a}$.


2. En déduire que si $x_1$ est une racine entière de $\text{P}$, alors $x_{1}\ |\ c$.


3. Sans la résoudre, préciser si l’équation $x^2 - 7x + 3 = 0$ admet des solutions entières.


4. Déterminer les polynômes de la forme $\text{P}(x) = ax^2 + bx + 6$ admettant deux racines entières dont l’une est $2$.

[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $23^n - 5^n$ est divisible par $3$.

[ Calculer. ]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Démontrer que : $\text { 11 }|\ (6a + 5b) \Leftrightarrow 11\ |\ (5a + 6b)$.

[ Raisonner. ] ◉◉◉
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $9^n - 2^n$ est divisible par $7$.

[ Calculer. ]
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Démontrer que : $\text { 13 }|\ (8 a+5 b) \Leftrightarrow 13\ |\ (5 a+8 b)$.

[ Chercher. ]
1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de $n$ la somme $\text{S}$ définie par $\text{S}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}$.


2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $3^n - 1$ est pair.

[ Calculer. ]
1. Soit $n$ un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels $d$ tels que $d\ |\ (n+6)$ et $d\ |\ (2 n+3)$.


2. En déduire les couples d’entiers naturels ($n\ {;}\ d)$ tels que $d\ |\ (n+6)$ et $d\ |\ (2 n+3)$.

[ Chercher. ]
1. Soit $n$ un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de $n$ la somme $\text{S}$ définie par $\text{S}=1+7+7^{2}+\ldots+7^{n-1}$.


2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $7^n + 35$ est divisible par $6$.

[ Raisonner. ] ◉◉◉
On souhaite démontrer la propriété suivante : « Pour tout entier naturel non nul $n$, $n^2$ divise $(n+1)^n-1$. »
Soit $n$ un entier naturel non nul. On donne la formule du binôme de Newton valable pour tous réels $a$ et $b$ :
$\displaystyle{(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) a^{n-k}\ b^{k}}.$ 1. Développer $(n + 1)^n$.


2. Exprimer $\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right)$en fonction de $n$.


3. En déduire la propriété énoncée.

[ Raisonner. ]
Soient $a$, $b$, $x$ et $y$ quatre entiers vérifiant $a = x + y$ et $b = 2x + 3y$.
1. Justifier que tout diviseur de $x$ et de $y$ divise $a$ et $b$.


2. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $a$ et $b$.


3. Justifier que tout diviseur de $a$ et de $b$ divise $x$ et $y$.


4. Déterminer les diviseurs communs aux quatre entiers $20$ ; $30$ ; $50$ et $130$.


5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $7n + 35$ est divisible par $6$.