Relation de divisibilité dans \mathbb{Z}

Parcours 1 : exercices

61

 ;

65

 ;

79

 ;

80

 ;

99

et

108

Parcours 2 : exercices

63

 ;

67

 ;

84

 ;

89

 ;

102

  et

117

Parcours 3 : exercices

66

 ;

74

 ;

90

;

105

et

112

55

Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par 2.

57

Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels n tels que : 1. n + 6 soit divisible par n ;

2. n + 11 soit divisible par n - 1 ;

3. n-3 divise n+2.

58

Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x^{2}-4 y^{2}=36

59

[ Raisonner. ]
Soient a et b deux entiers relatifs.
1. a. Démontrer que si a\ |\ b, alors (-a)\ |\ b.

b. Montrer que si (-a)\ |\ b, alors a\ |\ (-b).

c. Démontrer que a\ |\ (-b) alors (-a)\ |\ (-b).

d. Démontrer que si (-a)\ |\ (-b), alors a\ |\ b.

2. Quel enchaînement d'implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?

60

[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, \text{ABCD} est un carré de côté x cm où x est un entier naturel et \text{EBFG} est un carré de côté 3 cm. Déterminer les valeurs possibles de x afin que l'aire du polygone \text{AEGFCD} soit égale à celle d'un carré de côté y, où y est un entier naturel.

61

[ Calculer. ]
On définit la fonction f de \mathbb{N} dans \mathbb{R} par :
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que :

f(n)=a n+b+\frac{c}{n+4}.

2. Pour quelles valeurs de n l'image de n par la fonction f est‑elle un entier ?

62

[ Calculer. ]
Soit n un entier naturel. On définit le nombre f(n) par :
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que :

f(n)=a+\frac{b n+c}{n^{2}+1}.

2. Existe‑t‑il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier ?

63

[ Raisonner. ]
On pose, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, a_{n}=2^{3 n}-3^{n}. 1. Calculer a_1, a_2 et a_3 puis conjecturer l'existence d'un diviseur de a_n pour n \in \mathbb{N}^{*}.

2. Démontrer cette conjecture par récurrence.

64

[ Raisonner. ]
1. Déterminer les diviseurs de 24.

2. Quels sont les entiers naturels n tels que n^2 - 24 soit le carré d'un entier naturel ?

67

[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 9^n - 2^n est divisible par 7.

68

[ Raisonner. ]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2^{3n} - 5^n est divisible par 3.

66

[ Communiquer. ]
Soit \text{P} un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par \mathrm{P}(x)=a x^{2}+b x+c avec a \neq 0.
On suppose que b^2 - 4ac \gt 0, c'est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes. 1. Démontrer que le produit des racines est \frac{c}{a}.

2. En déduire que si x_1 est une racine entière de \text{P}, alors x_{1}\ |\ c.

3. Sans la résoudre, préciser si l'équation x^2 - 7x + 3 = 0 admet des solutions entières.

4. Déterminer les polynômes de la forme \text{P}(x) = ax^2 + bx + 6 admettant deux racines entières dont l'une est 2.

69

[ Calculer. ]
Soient a et b deux entiers relatifs.
Démontrer que : \text { 13 }|\ (8 a+5 b) \Leftrightarrow 13\ |\ (5 a+8 b).

70

[ Calculer. ]
Soient a et b deux entiers relatifs.
Démontrer que : \text { 11 }|\ (6a + 5b) \Leftrightarrow 11\ |\ (5a + 6b).

71

[ Calculer. ]
1. Soit n un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels d tels que d\ |\ (n+6) et d\ |\ (2 n+3).

2. En déduire les couples d'entiers naturels (n\ {;}\ d) tels que d\ |\ (n+6) et d\ |\ (2 n+3).

72

[ Chercher. ]
1. Soit n un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n la somme \text{S} définie par \text{S}=1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, 3^n - 1 est pair.