1. Donner deux nombres impairs consécutifs et vérifier que leur somme est divisible par 4.
2. Démontrer, dans le cas général, que la somme de deux entiers impairs consécutifs est divisible par 4.
55
FLASH
Démontrer que la somme des carrés de quatre entiers consécutifs est divisible par 2.
56
FLASH
Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels n tels que :
1. 11 divise n+3.
2. 6 divise 3n−9.
57
FLASH
Dans chaque cas, déterminer tous les entiers naturels n tels que :
1. n+6 soit divisible par n ;
2. n+11 soit divisible par n−1 ;
3. n−3 divise n+2.
59
[ Raisonner. ]
[DÉMO]
Soient a et b deux entiers relatifs.
1. a. Démontrer que si a∣b, alors (−a)∣b.
b. Montrer que si (−a)∣b, alors a∣(−b).
c. Démontrer que a∣(−b) alors (−a)∣(−b).
d. Démontrer que si (−a)∣(−b), alors a∣b.
2.
Quel enchaînement d’implications a‑t‑on montré ?
Quelles équivalences peut‑on en déduire ?
60
[ Représenter. ]
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté x cm où x est un entier naturel et EBFG est un carré de côté 3 cm. Déterminer les valeurs possibles de x afin que l’aire du polygone AEGFCD soit égale à celle d’un carré de côté y, où y est un entier naturel.
61
[ Calculer.] ◉◉◉
On définit la fonction f de N dans R par :
f(n)=n+43n2+2n−1.
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que :
f(n)=an+b+n+4c.
2. Pour quelles valeurs de n l’image de n par la fonction f est‑elle un entier ?
62
[ Calculer.]
Soit n un entier naturel. On définit le nombre f(n) par :
f(n)=n2+15n2+10n−2.
1. Déterminer les nombres a, b et c tels que :
f(n)=a+n2+1bn+c.
2. Existe‑t‑il des valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier ?
63
[ Raisonner.] ◉◉◉
On pose, pour tout n∈N∗, an=23n−3n.
1. Calculer a1, a2 et a3 puis conjecturer l’existence d’un diviseur de an pour n∈N∗.
2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
64
[ Raisonner.] 1. Déterminer les diviseurs de 24.
2. Quels sont les entiers naturels n tels que n2−24 soit le carré d’un entier naturel ?
65
[ Chercher.] ◉◉◉
Dans le plan rapporté à un repère (0;i,j), on considère l'hyperbole H d'équation y=x6.
Déterminer les points de H à coordonnées entières.
66
[ Communiquer.] ◉◉◉
Soit P un polynôme du second degré à coefficients entiers défini par P(x)=ax2+bx+c avec a=0.
On suppose que b2−4ac>0, c’est-à-dire que le polynôme admet deux racines réelles distinctes.
1. Démontrer que le produit des racines est ac.
2. En déduire que si x1 est une racine entière de P, alors x1∣c.
3. Sans la résoudre, préciser si l’équation x2−7x+3=0 admet des solutions entières.
4. Déterminer les polynômes de la forme P(x)=ax2+bx+6 admettant deux racines entières
dont l’une est 2.
68
[ Raisonner.]
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 23n−5n est divisible par 3.
70
[ Calculer.]
Soient a et b deux entiers relatifs.
Démontrer que : 11 ∣(6a+5b)⇔11∣(5a+6b).
67
[ Raisonner.] ◉◉◉
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 9n−2n est divisible par 7.
69
[ Calculer.]
Soient a et b deux entiers relatifs.
Démontrer que : 13 ∣(8a+5b)⇔13∣(5a+8b).
72
[ Chercher.] 1. Soit n un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n la somme S définie par S=1+3+32+…+3n−1.
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, 3n−1 est pair.
71
[ Calculer.] 1. Soit n un entier naturel.
Déterminer tous les entiers naturels éventuels d tels que d∣(n+6) et d∣(2n+3).
2. En déduire les couples d’entiers naturels (n;d) tels que d∣(n+6) et d∣(2n+3).
73
[ Chercher.] 1. Soit n un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n la somme S définie par S=1+7+72+…+7n−1.
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, 7n+35 est divisible par 6.
74
[ Raisonner.] ◉◉◉
On souhaite démontrer la propriété suivante : « Pour tout entier naturel non nul n, n2 divise (n+1)n−1. »
Soit n un entier naturel non nul. On donne la formule du binôme de Newton valable pour tous réels a et b :
(a+b)n=k=0∑n(nk)an−kbk.
1. Développer (n+1)n.
2. Exprimer (nn−1)en fonction de n.
3. En déduire la propriété énoncée.
75
[ Raisonner.]
Soient a, b, x et y quatre entiers vérifiant a=x+y et b=2x+3y. 1. Justifier que tout diviseur de x et de y divise a et b.
2. Exprimer x et y en fonction de a et b.
3. Justifier que tout diviseur de a et de b divise x et y.
4. Déterminer les diviseurs communs aux quatre entiers 20 ; 30 ; 50 et 130.
58
FLASH
Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x2−4y2=36
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