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Travailler les automatismes

P.104-105

Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Justifier qu’il n’existe pas d’entiers

a

b

tels que

14 a + 20 b = 2019

Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1.

12

est un de

24

.

2.

50

est un de

5

.

3.

284

est un de

852

.

4.

3

est un de

231

.

5.

10

est un de

100

.

6.

0

est un de

37

.

7.

- 8

est un de

0

.

8.

- 4

est un de

4

On a

337 = 27 \times 12 + 13

.
1. Donner le reste de la division euclidienne de

337

par

27

2. Donner le reste de la division euclidienne de

337

par

12

Sachant que

1013 = 125 \times 8 + 13

, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1.

1013

par

125

1013

par

8

- 1013

par

125

Sachant que

1027 = 253 \times 4 + 15

, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1.

1027

par

253

1027

par

4

- 1027

par

4

Effectuer la division euclidienne de

351

par

10

.
En déduire l’écriture de la division euclidienne de

351

par

11

Soit

n = 12 k + 7

, où

k \in Z

.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de

n

par

12

2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de

n

par

3

Sachant que

27 \equiv 2 [5]

, donner une écriture des entiers supérieurs à

27

et inférieurs à

100

congrus à

2

modulo

5

Notion de diviseurs

1. Déterminer les diviseurs positifs de

38

2. Déterminer les diviseurs positifs de

30

3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.

Déterminer, dans

Z

, les diviseurs communs de

12

et de

50

On appelle diviseur strict de l’entier naturel

n

tout diviseur

d

n

vérifiant

0 < d < n

.
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.

1. Vérifier que

220

284

sont des entiers amicaux.

2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de

48

et de

75

. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels

x

y

tels que :

1.

x^{2} - y^{2} = 12

x^{2} - y^{2} = - 15

Propriétés de la divisibilité

1. Déterminer les entiers relatifs

n

tels que

6

divise

n + 5

2. Déterminer les entiers naturels

n

tels que

6

divise

n + 5

1. Déterminer les entiers naturels

n

tels que

2 n - 7

divise

5

2. Déterminer les entiers relatifs

n

tels que

n + 4

divise

6

Déterminer tous les entiers naturels

n

tels que

2 n + 5

divise

n - 2

Déterminer tous les entiers relatifs

n

tels que

4 n + 1

divise

n - 3

Soit

n

un entier naturel distinct de

1

. On définit la fonction

f

par

f (n) = \frac{n ^{2} + 3 n - 2}{n - 1}

.
1. Déterminer les nombres

a

b

c

tels que, pour tout entier naturel

n

différent de

1

f (n) = a n + b + \frac{c}{n - 1}

2. En déduire les valeurs de

n

pour lesquelles

f (n)

est un entier.

Pour les exercices
35
à
37

Déterminer tous les couples d’entiers naturels

(x; y)

vérifiant l’égalité donnée.

(x - 4) (y + 3) = 4

x + y = x y

x + y = 2 x y

Division euclidienne

Démontrer que, pour tout

n \in N

, l’entier

N = n (n + 2) (n - 5) (n + 5)

est divisible par

4

Démontrer que, pour tout

n \in N

, l’entier

N = 2 n (n + 1) (n + 2)

est divisible par

3

1. Vérifier que, pour tout

n \in N

(n + 2)^{2} = n (n + 4) + 4

2. À quelle condition

4

est‑il le reste de la division euclidienne de

(n + 2)^{2}

par

n

1. Vérifier que, pour tout

n \in N

(n + 3)^{2} = n (n + 6) + 9

2. À quelle condition

9

est‑il le reste de la division euclidienne de

(n + 3)^{2}

par

n

Le reste de la division euclidienne de

a

par

7

est

4

; le reste de la division euclidienne de

b

par

7

est

6

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a + b

par

7

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a - b

par

7

1. Dans la division euclidienne de

2512

par un entier naturel

b

, le quotient est

54

.
Le reste peut‑il valoir

7

2. Dans la division euclidienne de

31631

par un entier naturel

b

, le quotient est

253

.
Le reste peut‑il valoir

6

Dans la division euclidienne de

97

par un entier

b

le reste est

6

. Donner les valeurs possibles de

b

et du quotient.

Dans la division euclidienne de

- 10

par l’entier naturel non nul

b

, le reste vaut

2

.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur

b

et du quotient

q

Congruences

Soient

a

b

deux entiers.

1. On donne

a \equiv 16 [5]

. Quel est le reste de la division euclidienne de

a

par

5

2. On donne

b \equiv 17 [3]

. Quel est le reste de la division euclidienne de

b

par

3

Soient deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 7 [13]

b \equiv 4 [13]

.

1. Donner le reste de la division euclidienne par

13

de :

a.

a + b

a b

a^{3}

a^{2} - b^{2}

2. Que dire de

2 b - 3 a

On donne deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 2 [5]

b \equiv 3 [5]

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a^{2} + b

par

5

2. Démontrer que

3 a + 3 b

est divisible par

5

On donne deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 1 [7]

b \equiv 2 [7]

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

5 a^{2} + 2 b^{2}

par

7

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de

2 b^{2} + 5 a^{2}

par

7

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo

3

suivant où

n

désigne un entier relatif.

$n \equiv \dots [3]$	$0$	$1$	$2$
$n^{2} \equiv \dots [3]$
$2 n \equiv \dots [3]$
$n^{2} + 2 n \equiv \dots [3]$

2. En déduire les valeurs de

n

pour lesquelles

n^{2} + 2 n

est divisible par

3

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif

n

n (n + 1) (2 n + 1))

est divisible par

6

1. Démontrer que

5

admet un inverse modulo

11

2. Montrer que

6

n’a pas d’inverse modulo

10

3

admet‑il un inverse modulo

12

1. Compléter le tableau de congruence modulo

8

suivant où

x

désigne un entier relatif.

$x \equiv \dots [8]$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$5 x \equiv \dots [8]$

2. En déduire les solutions de l’équation

5 x \equiv 7 [8]

3. Déterminer un inverse modulo

8

5

4. Montrer que

5 x

est divisible par

8

si, et seulement si,

x

est divisible par

8

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