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Travailler les automatismes
P.104-105




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18
Justifier qu’il n’existe pas d’entiers et tels que .
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19
Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1. est un de .

2. est un de .

3. est un de .

4. est un de .

5. est un de .

6. est un de .

7. est un de .

8. est un de .
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20
On a .
1. Donner le reste de la division euclidienne de par .


2. Donner le reste de la division euclidienne de par .
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21
Sachant que , déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1. par .


2. par .


3. par .
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22
Sachant que , déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. par .


2. par .


3. par .
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23
Effectuer la division euclidienne de par .
En déduire l’écriture de la division euclidienne de par .
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24
Soit , où .
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .


2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
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25
Sachant que , donner une écriture des entiers supérieurs à et inférieurs à congrus à modulo .
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Notion de diviseurs


26

1. Déterminer les diviseurs positifs de .


2. Déterminer les diviseurs positifs de .


3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.
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27

Déterminer, dans , les diviseurs communs de et de .
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28

On appelle diviseur strict de l’entier naturel tout diviseur de vérifiant .
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.

1. Vérifier que et sont des entiers amicaux.


2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de et de . Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.
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29

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels et tels que :

1. .


2. .
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Propriétés de la divisibilité


30

1. Déterminer les entiers relatifs tels que divise .


2. Déterminer les entiers naturels tels que divise .
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31

1. Déterminer les entiers naturels tels que divise .


2. Déterminer les entiers relatifs tels que divise .
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32

Déterminer tous les entiers naturels tels que divise .
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33

Déterminer tous les entiers relatifs tels que divise .
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34

Soit un entier naturel distinct de . On définit la fonction par .
1. Déterminer les nombres , et tels que, pour tout entier naturel différent de , .


2. En déduire les valeurs de pour lesquelles est un entier.
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Pour les exercices
35
à 
37


Déterminer tous les couples d’entiers naturels vérifiant l’égalité donnée.

35

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36

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37

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Division euclidienne


38

Démontrer que, pour tout , l’entier est divisible par .
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39

Démontrer que, pour tout , l’entier est divisible par .
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40

1. Vérifier que, pour tout  :
.


2. À quelle condition est‑il le reste de la division euclidienne de par  ?
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41

1. Vérifier que, pour tout  :
.


2. À quelle condition est‑il le reste de la division euclidienne de par  ?
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42

Le reste de la division euclidienne de par est ; le reste de la division euclidienne de par est .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
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43

1. Dans la division euclidienne de par un entier naturel , le quotient est .
Le reste peut‑il valoir  ?


2. Dans la division euclidienne de par un entier naturel , le quotient est .
Le reste peut‑il valoir  ?
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44

Dans la division euclidienne de par un entier le reste est . Donner les valeurs possibles de et du quotient.
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45

Dans la division euclidienne de par l’entier naturel non nul , le reste vaut .
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient  ?
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Congruences


46

Soient et deux entiers.

1. On donne . Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?


2. On donne . Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?
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47

Soient deux entiers et tels que et .

1. Donner le reste de la division euclidienne par de :

a.


b.


c.


d.


2. Que dire de  ?
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48

On donne deux entiers et tels que et .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .


2. Démontrer que est divisible par .
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49

On donne deux entiers et tels que et .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
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50

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo suivant où désigne un entier relatif.


2. En déduire les valeurs de pour lesquelles est divisible par .
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51

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif , est divisible par .
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52

1. Démontrer que admet un inverse modulo .


2. Montrer que n’a pas d’inverse modulo .


3. admet‑il un inverse modulo  ?
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53

1. Compléter le tableau de congruence modulo suivant où désigne un entier relatif.




2. En déduire les solutions de l’équation .


3. Déterminer un inverse modulo de .


4. Montrer que est divisible par si, et seulement si, est divisible par .
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