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18
Justifier qu’il n’existe pas d’entiers a et b tels que 14a+20b=2019.
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19
Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».
1. 12 est un de 24.
2. 50 est un de 5.
3. 284 est un de 852.
4. 3 est un de 231.
5. 10 est un de 100.
6. 0 est un de 37.
7. −8 est un de 0.
8. −4 est un de 4.
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20
On a 337=27×12+13. 1. Donner le reste de la division euclidienne de 337 par 27.
2. Donner le reste de la division euclidienne de 337 par 12.
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21
Sachant que 1013=125×8+13, déterminer le
quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. 1013 par 125.
2. 1013 par 8.
3. −1013 par 125.
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22
Sachant que 1027=253×4+15, déterminer le
quotient et le reste de la division euclidienne de : 1. 1027 par 253.
2. 1027 par 4.
3. −1027 par 4.
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23
Effectuer la division euclidienne de 351 par 10.
En déduire l’écriture de la division euclidienne de 351 par 11.
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24
Soit n=12k+7, où k∈Z. 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 12.
2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de n par 3.
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25
Sachant que 27≡2[5], donner une écriture des entiers supérieurs à 27 et inférieurs à 100 congrus à 2 modulo 5.
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Notion de diviseurs
26
1. Déterminer les diviseurs positifs de 38.
2. Déterminer les diviseurs positifs de 30.
3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.
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27
Déterminer, dans Z, les diviseurs communs de 12 et de 50.
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28
On appelle diviseur strict de l’entier naturel n tout diviseur d de n vérifiant 0<d<n.
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.
1. Vérifier que 220 et 284 sont des entiers amicaux.
2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de 48 et de 75. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ?
Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.
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29
Déterminer dans chaque cas les entiers naturels x et y tels que :
1. x2−y2=12.
2. x2−y2=−15.
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Propriétés de la divisibilité
30
1. Déterminer les entiers relatifs n tels que 6 divise n+5.
2. Déterminer les entiers naturels n tels que 6 divise n+5.
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31
1. Déterminer les entiers naturels n tels que 2n−7 divise 5.
2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n+4 divise 6.
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32
Déterminer tous les entiers naturels n tels que 2n+5 divise n−2.
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33
Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 4n+1 divise n−3.
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34
Soit n un entier naturel distinct de 1. On définit la fonction f par f(n)=n−1n2+3n−2. 1. Déterminer les nombres a, b et c tels que, pour tout entier naturel n différent de 1, f(n)=an+b+n−1c.
2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles f(n) est un entier.
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Pour les exercices
35
à
37
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x;y) vérifiant l’égalité donnée.
35
(x−4)(y+3)=4
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36
x+y=xy
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37
x+y=2xy
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Division euclidienne
38
Démontrer que, pour tout n∈N, l’entier
N=n(n+2)(n−5)(n+5) est divisible par 4.
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39
Démontrer que, pour tout n∈N, l’entier
N=2n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
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40
1. Vérifier que, pour tout n∈N :
(n+2)2=n(n+4)+4.
2. À quelle condition 4 est‑il le reste de la division euclidienne de (n+2)2 par n ?
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41
1. Vérifier que, pour tout n∈N :
(n+3)2=n(n+6)+9.
2. À quelle condition 9 est‑il le reste de la division euclidienne de (n+3)2 par n ?
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42
Le reste de la division euclidienne de a par 7 est 4 ; le reste de la division euclidienne de b par 7 est 6.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a+b par 7.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de a−b par 7.
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43
1. Dans la division euclidienne de 2512 par un entier naturel b, le quotient est 54.
Le reste peut‑il valoir 7 ?
2. Dans la division euclidienne de 31631 par un entier naturel b, le quotient est 253.
Le reste peut‑il valoir 6 ?
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44
Dans la division euclidienne de 97 par un entier b le reste est 6. Donner les valeurs possibles de b et du quotient.
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45
Dans la division euclidienne de −10 par l’entier naturel non nul b, le reste vaut 2.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur b et du quotient q ?
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Congruences
46
Soient a et b deux entiers.
1. On donne a≡16[5]. Quel est le reste de la division euclidienne de a par 5 ?
2. On donne b≡17[3]. Quel est le reste de la division euclidienne de b par 3 ?
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47
Soient deux entiers a et b tels que a≡7[13] et b≡4[13].
1. Donner le reste de la division euclidienne par 13 de :
a. a+b
b. ab
c. a3
d. a2−b2
2. Que dire de 2b−3a ?
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48
On donne deux entiers a et b tels que a≡2[5] et b≡3[5].
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a2+b par 5.
2. Démontrer que 3a+3b est divisible par 5.
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49
On donne deux entiers a et b tels que a≡1[7] et b≡2[7].
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 5a2+2b2 par 7.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2b2+5a2 par 7.
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50
1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo 3 suivant où n désigne un entier relatif.
n≡…[3]
0
1
2
n2≡…[3]
2n≡…[3]
n2+2n≡…[3]
2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles n2+2n est divisible par 3.
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51
En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif n, n(n+1)(2n+1)) est divisible par 6.
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52
1. Démontrer que 5 admet un inverse modulo 11.
2. Montrer que 6 n’a pas d’inverse modulo 10.
3. 3 admet‑il un inverse modulo 12 ?
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53
1. Compléter le tableau de congruence modulo 8 suivant où x désigne un entier relatif.
x≡…[8]
0
1
2
3
4
5
6
7
5x≡…[8]
2. En déduire les solutions de l’équation 5x≡7[8].
3. Déterminer un inverse modulo 8 de 5.
4. Montrer que 5x est divisible par 8 si, et seulement si, x est divisible par 8.
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