Sachant que $1013=125\times 8+13$, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : 1. $1013$ par $125$.

2. $1013$ par $8$.

3. $-1013$ par $125$.

Sachant que $1027=253\times 4+15$, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de : 1. $1027$ par $253$.

2. $1027$ par $4$.

3. $-1027$ par $4$.

Effectuer la division euclidienne de $351$ par $10.$
En déduire l'écriture de la division euclidienne de $351$ par $11.$

1. Déterminer les diviseurs positifs de $38$.

2. Déterminer les diviseurs positifs de $30$.

3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.

On appelle diviseur strict de l'entier naturel $n$ tout diviseur $d$ de $n$ vérifiant $0<d<n$.
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l'autre. 1. Vérifier que $220$ et $284$ sont des entiers amicaux.

2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de $48$ et de $75$. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.

Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $2n+5$ divise $n-2$.

Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $4n+1$ divise $n-3$.

$(x-4)(y+3)=4$

$x+y=xy$

$x+y=2xy$

Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'entier $\mathrm{N}=n(n+2)(n-5)(n+5)$ est divisible par $4$.

Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'entier $\mathrm{N}=2n(n+1)(n+2)$ est divisible par $3$.

1. Vérifier que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$(n+2{)}^2=n(n+4)+4$.

2. À quelle condition $4$ est‑il le reste de la division euclidienne de $(n+2{)}^2$ par $n$ ?

1. Vérifier que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$(n+3{)}^2=n(n+6)+9$.

2. À quelle condition $9$ est‑il le reste de la division euclidienne de $(n+3{)}^2$ par $n$ ?

Le reste de la division euclidienne de $a$ par $7$ est $4$ ; le reste de la division euclidienne de $b$ par $7$ est $6$.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $a+b$ par $7$.

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $a-b$ par $7$.

1. Dans la division euclidienne de $2512$ par un entier naturel $b$, le quotient est $54$.
Le reste peut‑il valoir $7$ ?

2. Dans la division euclidienne de $31631$ par un entier naturel $b$, le quotient est $253$.
Le reste peut‑il valoir $6$ ?

Dans la division euclidienne de $97$ par un entier $b$ le reste est $6$. Donner les valeurs possibles de $b$ et du quotient.

Dans la division euclidienne de $-10$ par l'entier naturel non nul $b$, le reste vaut $2$.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur $b$ et du quotient $q$ ?

On donne deux entiers $a$ et $b$ tels que $a\equiv 2[5]$ et $b\equiv 3[5]$. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $a^2+b$ par $5$.

2. Démontrer que $3a+3b$ est divisible par $5$.

On donne deux entiers $a$ et $b$ tels que $a\equiv 1[7]$ et $b\equiv 2[7]$.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $5a^2+2b^2$ par $7$.

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $2b^2+5a^2$ par $7$.