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Travailler les automatismes
P.104-105

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18
Justifier qu’il n’existe pas d’entiers aa et bb tels que 14a+20b=201914a + 20b = 2\,019.
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19
Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1. 1212 est un de 2424.

2. 5050 est un de 55.

3. 284284 est un de 852852.

4. 33 est un de 231231.

5. 1010 est un de 100100.

6. 00 est un de 3737.

7. 8-8 est un de 00.

8. 4-4 est un de 44.
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20
On a 337=27×12+13337 = 27 \times 12 + 13.
1. Donner le reste de la division euclidienne de 337337 par 2727.


2. Donner le reste de la division euclidienne de 337337 par 1212.
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21
Sachant que 1013=125×8+131\,013 = 125 \times 8 + 13, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1. 10131\, 013 par 125125.


2. 10131\, 013 par 88.


3. 1013-1\, 013 par 125125.
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22
Sachant que 1027=253×4+151\, 027 = 253 \times 4 + 15, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. 10271\, 027 par 253253.


2. 10271\, 027 par 44.


3. 1027-1\, 027 par 44.
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23
Effectuer la division euclidienne de 351351 par 1010.
En déduire l’écriture de la division euclidienne de 351351 par 1111.
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24
Soit n=12k+7n=12 k+7, où kZk \in \mathbb{Z}.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de nn par 1212.


2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de nn par 33.
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25
Sachant que 272[5]27 \equiv 2[5], donner une écriture des entiers supérieurs à 2727 et inférieurs à 100100 congrus à 22 modulo 55.
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Notion de diviseurs


26

1. Déterminer les diviseurs positifs de 3838.


2. Déterminer les diviseurs positifs de 3030.


3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.
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27

Déterminer, dans Z\mathbb{Z}, les diviseurs communs de 1212 et de 5050.
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28

On appelle diviseur strict de l’entier naturel nn tout diviseur dd de nn vérifiant 0<d<n0 \lt d \lt n .
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.

1. Vérifier que 220220 et 284284 sont des entiers amicaux.


2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de 4848 et de 7575. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.
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29

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels xx et yy tels que :

1. x2y2=12x^{2}-y^{2}=12.


2. x2y2=15x^{2}-y^{2}=-15.
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Propriétés de la divisibilité


30

1. Déterminer les entiers relatifs nn tels que 66 divise n+5n + 5.


2. Déterminer les entiers naturels nn tels que 66 divise n+5n + 5.
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31

1. Déterminer les entiers naturels nn tels que 2n72n - 7 divise 55.


2. Déterminer les entiers relatifs nn tels que n+4n + 4 divise 66.
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32

Déterminer tous les entiers naturels nn tels que 2n+52n + 5 divise n2n - 2.
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33

Déterminer tous les entiers relatifs nn tels que 4n+14n + 1 divise n3n - 3.
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34

Soit nn un entier naturel distinct de 11. On définit la fonction ff par f(n)=n2+3n2n1f(n)=\dfrac{n^{2}+3 n-2}{n-1}.
1. Déterminer les nombres aa, bb et cc tels que, pour tout entier naturel nn différent de 11, f(n)=an+b+cn1f(n)=a n+b+\dfrac{c}{n-1}.


2. En déduire les valeurs de nn pour lesquelles f(n)f(n) est un entier.
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Pour les exercices
35
à 
37


Déterminer tous les couples d’entiers naturels (x ; y)(x\ {;}\ y) vérifiant l’égalité donnée.

35
(x4)(y+3)=4(x-4)(y+3)=4
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36
x+y=xyx+y=x y
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37
x+y=2xyx+y=2 x y
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Division euclidienne


38

Démontrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, l’entier N=n(n+2)(n5)(n+5)\mathrm{N}=n(n+2)(n-5)(n+5) est divisible par 44.
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39

Démontrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, l’entier N=2n(n+1)(n+2)\mathrm{N}=2n(n+1)(n+2) est divisible par 33.
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40

1. Vérifier que, pour tout nNn \in \mathbb{N} :
(n+2)2=n(n+4)+4(n+2)^{2}=n(n+4)+4.


2. À quelle condition 44 est‑il le reste de la division euclidienne de (n+2)2(n + 2)^2 par nn ?
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41

1. Vérifier que, pour tout nNn \in \mathbb{N} :
(n+3)2=n(n+6)+9(n+3)^{2}=n(n+6)+9.


2. À quelle condition 99 est‑il le reste de la division euclidienne de (n+3)2(n + 3)^2 par nn ?
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42

Le reste de la division euclidienne de aa par 77 est 44 ; le reste de la division euclidienne de bb par 77 est 66.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a+ba + b par 77.


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de aba - b par 77.
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43

1. Dans la division euclidienne de 25122\, 512 par un entier naturel bb, le quotient est 5454.
Le reste peut‑il valoir 77 ?


2. Dans la division euclidienne de 3163131\, 631 par un entier naturel bb, le quotient est 253253.
Le reste peut‑il valoir 66 ?
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44

Dans la division euclidienne de 9797 par un entier bb le reste est 66. Donner les valeurs possibles de bb et du quotient.
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45

Dans la division euclidienne de 10-10 par l’entier naturel non nul bb, le reste vaut 22.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur bb et du quotient qq ?
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Congruences


46

Soient aa et bb deux entiers.

1. On donne a16[5]a \equiv 16 [5]. Quel est le reste de la division euclidienne de aa par 55 ?


2. On donne b17[3]b \equiv 17 [3]. Quel est le reste de la division euclidienne de bb par 33 ?
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47

Soient deux entiers aa et bb tels que a7[13]a \equiv 7[13] et b4[13]b \equiv 4[13].

1. Donner le reste de la division euclidienne par 1313 de :

a. a+ba+b


b. abab


c. a3a^3


d. a2b2a^2-b^2


2. Que dire de 2b3a2b - 3a ?
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48

On donne deux entiers aa et bb tels que a2[5]a \equiv 2[5] et b3[5]b \equiv 3[5].

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de a2+ba^2 + b par 55.


2. Démontrer que 3a+3b3a + 3b est divisible par 55.
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49

On donne deux entiers aa et bb tels que a1[7]a \equiv 1[7] et b2[7]b \equiv 2[7].

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 5a2+2b25a^2 + 2b^2 par 77.


2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2b2+5a22b^2 + 5a^2 par 77.
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50

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo 33 suivant où nn désigne un entier relatif.

n[3]\boldsymbol{n \equiv \ldots[3]} 00 11 22
n2[3]\boldsymbol{n^2 \equiv \ldots[3]}
2n[3]\boldsymbol{2n \equiv \ldots[3]}
n2+2n[3]\boldsymbol{n^2 +2n \equiv \ldots[3]}

2. En déduire les valeurs de nn pour lesquelles n2+2nn^2 + 2n est divisible par 33.
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51

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif nn, n(n+1)(2n+1))n(n + 1)(2n + 1)) est divisible par 66.
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52

1. Démontrer que 55 admet un inverse modulo 1111.


2. Montrer que 66 n’a pas d’inverse modulo 1010.


3. 33 admet‑il un inverse modulo 1212 ?
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53

1. Compléter le tableau de congruence modulo 88 suivant où xx désigne un entier relatif.


x[8]\boldsymbol{x \equiv \ldots[8]} 00 11 22 33 44 55 66 77
5x[8]\boldsymbol{5x \equiv \ldots[8]}


2. En déduire les solutions de l’équation 5x7[8]5 x \equiv 7[8].


3. Déterminer un inverse modulo 88 de 55.


4. Montrer que 5x5x est divisible par 88 si, et seulement si, xx est divisible par 88.
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