Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 3
Exercices

Travailler les automatismes

À l'oral
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Enregistreur audio
18
Justifier qu'il n'existe pas d'entiers et tels que .
19

Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1. est un
de .

2. est un
de .

3. est un
de .

4. est un
de .

5. est un
de .

6. est un
de .

7. est un
de .

8. est un
de .
20

On a .

1. Donner le reste de la division euclidienne de par .

2. Donner le reste de la division euclidienne de par .
21

Sachant que , déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1. par .

2. par .

3. par .
22

Sachant que , déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1. par .

2. par .

3. par .
23
Effectuer la division euclidienne de par
En déduire l'écriture de la division euclidienne de par
24
Soit , où .
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .

2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de par .
25
Sachant que , donner une écriture des entiers supérieurs à et inférieurs à congrus à modulo .
Notion de diviseurs
26

1. Déterminer les diviseurs positifs de .

2. Déterminer les diviseurs positifs de .

3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.
27

Déterminer, dans , les diviseurs communs de et de .
28

On appelle diviseur strict de l'entier naturel tout diviseur de vérifiant .
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l'autre.

1. Vérifier que et sont des entiers amicaux.

2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de et de . Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.
29

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels et tels que :

1. .

2. .
Propriétés de la divisibilité
30

1. Déterminer les entiers relatifs tels que divise .

2. Déterminer les entiers naturels tels que divise .
31

1. Déterminer les entiers naturels tels que divise .

2. Déterminer les entiers relatifs tels que divise .
32

Déterminer tous les entiers naturels tels que divise .
33

Déterminer tous les entiers relatifs tels que divise .
34

Soit un entier naturel distinct de . On définit la fonction par .

1. Déterminer les nombres , et tels que, pour tout entier naturel différent de , .

2. En déduire les valeurs de pour lesquelles est un entier.

Pour les exercices
35
à
37

Déterminer tous les couples d'entiers naturels vérifiant l'égalité donnée.
35

36

37

Division euclidienne
38

Démontrer que, pour tout , l'entier est divisible par .
39

Démontrer que, pour tout , l'entier est divisible par .
40

1. Vérifier que, pour tout  :
.

2. À quelle condition est‑il le reste de la division euclidienne de par  ?
41

1. Vérifier que, pour tout  :
.

2. À quelle condition est‑il le reste de la division euclidienne de par  ?
42

Le reste de la division euclidienne de par est ; le reste de la division euclidienne de par est .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
43

1. Dans la division euclidienne de par un entier naturel , le quotient est .
Le reste peut‑il valoir  ?

2. Dans la division euclidienne de par un entier naturel , le quotient est .
Le reste peut‑il valoir  ?
44

Dans la division euclidienne de par un entier le reste est . Donner les valeurs possibles de et du quotient.
45

Dans la division euclidienne de par l'entier naturel non nul , le reste vaut .
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur et du quotient  ?
Congruences
46

Soient et deux entiers.

1. On donne . Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?

2. On donne . Quel est le reste de la division euclidienne de par  ?
47

Soient deux entiers et tels que et

1. Donner le reste de la division euclidienne par de :

a.

b.

c.

d.

2. Que dire de  ?
48

On donne deux entiers et tels que et .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

2. Démontrer que est divisible par .
49

On donne deux entiers et tels que et .

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de par .
50

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo suivant où désigne un entier relatif.


2. En déduire les valeurs de pour lesquelles est divisible par .
51

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif , est divisible par .
52

1. Démontrer que admet un inverse modulo .

2. Montrer que n'a pas d'inverse modulo .

3. admet‑il un inverse modulo  ?
53

1. Compléter le tableau de congruence modulo suivant où désigne un entier relatif.


2. En déduire les solutions de l'équation .

3. Déterminer un inverse modulo de .

4. Montrer que est divisible par si, et seulement si, est divisible par .

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