Travailler les automatismes

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Justifier qu’il n’existe pas d’entiers $a$ et $b$ tels que $14a+20b=2019$.

Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1. $12$ est un de $24$.

2. $50$ est un de $5$.

3. $284$ est un de $852$.

4. $3$ est un de $231$.

5. $10$ est un de $100$.

6. $0$ est un de $37$.

7. $-8$ est un de $0$.

8. $-4$ est un de $4$.

On a $337=27\times 12+13$.
1. Donner le reste de la division euclidienne de $337$ par $27$.


2. Donner le reste de la division euclidienne de $337$ par $12$.

Sachant que $1013=125\times 8+13$, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1. $1013$ par $125$.


2. $1013$ par $8$.


3. $-1013$ par $125$.

Sachant que $1027=253\times 4+15$, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1. $1027$ par $253$.


2. $1027$ par $4$.


3. $-1027$ par $4$.

Effectuer la division euclidienne de $351$ par $10$.
En déduire l’écriture de la division euclidienne de $351$ par $11$.

Soit $n=12k+7$, où $k\in \mathbb{Z}$.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$ par $12$.


2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$.

Sachant que $27\equiv 2[5]$, donner une écriture des entiers supérieurs à $27$ et inférieurs à $100$ congrus à $2$ modulo $5$.

1. Déterminer les diviseurs positifs de $38$.


2. Déterminer les diviseurs positifs de $30$.


3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.

Déterminer, dans $\mathbb{Z}$, les diviseurs communs de $12$ et de $50$.

On appelle diviseur strict de l’entier naturel $n$ tout diviseur $d$ de $n$ vérifiant $0<d<n$.
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.

1. Vérifier que $220$ et $284$ sont des entiers amicaux.


2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de $48$ et de $75$. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels $x$ et $y$ tels que :

1. $x^2-y^2=12$.


2. $x^2-y^2=-15$.