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Travailler les automatismes

P.104-105

Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Justifier qu’il n’existe pas d’entiers

a

b

tels que

14 a + 20 b = 2019

Voir la correction

Compléter par les mots « multiple » ou « diviseur ».

1.

12

est un de

24

.

2.

50

est un de

5

.

3.

284

est un de

852

.

4.

3

est un de

231

.

5.

10

est un de

100

.

6.

0

est un de

37

.

7.

- 8

est un de

0

.

8.

- 4

est un de

4

Voir la correction

On a

337 = 27 \times 12 + 13

.
1. Donner le reste de la division euclidienne de

337

par

27

2. Donner le reste de la division euclidienne de

337

par

12

Voir la correction

Sachant que

1013 = 125 \times 8 + 13

, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :

1.

1013

par

125

1013

par

8

- 1013

par

125

Voir la correction

Sachant que

1027 = 253 \times 4 + 15

, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
1.

1027

par

253

1027

par

4

- 1027

par

4

Voir la correction

Effectuer la division euclidienne de

351

par

10

.
En déduire l’écriture de la division euclidienne de

351

par

11

Voir la correction

Soit

n = 12 k + 7

, où

k \in Z

.
1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de

n

par

12

2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de

n

par

3

Voir la correction

Sachant que

27 \equiv 2 [5]

, donner une écriture des entiers supérieurs à

27

et inférieurs à

100

congrus à

2

modulo

5

Voir la correction

Notion de diviseurs

1. Déterminer les diviseurs positifs de

38

2. Déterminer les diviseurs positifs de

30

3. En déduire les diviseurs positifs communs aux deux nombres.

Voir la correction

Déterminer, dans

Z

, les diviseurs communs de

12

et de

50

Voir la correction

On appelle diviseur strict de l’entier naturel

n

tout diviseur

d

n

vérifiant

0 < d < n

.
Deux entiers naturels distincts sont dits amicaux lorsque chacun de ces entiers est égal à la somme des diviseurs stricts positifs de l’autre.

1. Vérifier que

220

284

sont des entiers amicaux.

2. Déterminer les sommes des diviseurs positifs de

48

et de

75

. Quelle relation y‑a‑t‑il entre ces deux sommes ? Ces nombres sont dits quasi‑amicaux.

Voir la correction

Déterminer dans chaque cas les entiers naturels

x

y

tels que :

1.

x^{2} - y^{2} = 12

x^{2} - y^{2} = - 15

Voir la correction

Propriétés de la divisibilité

1. Déterminer les entiers relatifs

n

tels que

6

divise

n + 5

2. Déterminer les entiers naturels

n

tels que

6

divise

n + 5

Voir la correction

1. Déterminer les entiers naturels

n

tels que

2 n - 7

divise

5

2. Déterminer les entiers relatifs

n

tels que

n + 4

divise

6

Voir la correction

Déterminer tous les entiers naturels

n

tels que

2 n + 5

divise

n - 2

Voir la correction

Déterminer tous les entiers relatifs

n

tels que

4 n + 1

divise

n - 3

Voir la correction

Soit

n

un entier naturel distinct de

1

. On définit la fonction

f

par

f (n) = \frac{n ^{2} + 3 n - 2}{n - 1}

.
1. Déterminer les nombres

a

b

c

tels que, pour tout entier naturel

n

différent de

1

f (n) = a n + b + \frac{c}{n - 1}

2. En déduire les valeurs de

n

pour lesquelles

f (n)

est un entier.

Voir la correction

Pour les exercices
35
à
37

Déterminer tous les couples d’entiers naturels

(x; y)

vérifiant l’égalité donnée.

(x - 4) (y + 3) = 4

Voir la correction

x + y = x y

Voir la correction

x + y = 2 x y

Voir la correction

Division euclidienne

Démontrer que, pour tout

n \in N

, l’entier

N = n (n + 2) (n - 5) (n + 5)

est divisible par

4

Voir la correction

Démontrer que, pour tout

n \in N

, l’entier

N = 2 n (n + 1) (n + 2)

est divisible par

3

Voir la correction

1. Vérifier que, pour tout

n \in N

(n + 2)^{2} = n (n + 4) + 4

2. À quelle condition

4

est‑il le reste de la division euclidienne de

(n + 2)^{2}

par

n

Voir la correction

1. Vérifier que, pour tout

n \in N

(n + 3)^{2} = n (n + 6) + 9

2. À quelle condition

9

est‑il le reste de la division euclidienne de

(n + 3)^{2}

par

n

Voir la correction

Le reste de la division euclidienne de

a

par

7

est

4

; le reste de la division euclidienne de

b

par

7

est

6

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a + b

par

7

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a - b

par

7

Voir la correction

1. Dans la division euclidienne de

2512

par un entier naturel

b

, le quotient est

54

.
Le reste peut‑il valoir

7

2. Dans la division euclidienne de

31631

par un entier naturel

b

, le quotient est

253

.
Le reste peut‑il valoir

6

Voir la correction

Dans la division euclidienne de

97

par un entier

b

le reste est

6

. Donner les valeurs possibles de

b

et du quotient.

Voir la correction

Dans la division euclidienne de

- 10

par l’entier naturel non nul

b

, le reste vaut

2

.
Quelles sont les valeurs possibles du diviseur

b

et du quotient

q

Voir la correction

Congruences

Soient

a

b

deux entiers.

1. On donne

a \equiv 16 [5]

. Quel est le reste de la division euclidienne de

a

par

5

2. On donne

b \equiv 17 [3]

. Quel est le reste de la division euclidienne de

b

par

3

Voir la correction

Soient deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 7 [13]

b \equiv 4 [13]

.

1. Donner le reste de la division euclidienne par

13

de :

a.

a + b

a b

a^{3}

a^{2} - b^{2}

2. Que dire de

2 b - 3 a

Voir la correction

On donne deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 2 [5]

b \equiv 3 [5]

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

a^{2} + b

par

5

2. Démontrer que

3 a + 3 b

est divisible par

5

Voir la correction

On donne deux entiers

a

b

tels que

a \equiv 1 [7]

b \equiv 2 [7]

.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de

5 a^{2} + 2 b^{2}

par

7

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de

2 b^{2} + 5 a^{2}

par

7

Voir la correction

1. Reproduire et compléter le tableau de congruence modulo

3

suivant où

n

désigne un entier relatif.

$n \equiv \dots [3]$	$0$	$1$	$2$
$n^{2} \equiv \dots [3]$
$2 n \equiv \dots [3]$
$n^{2} + 2 n \equiv \dots [3]$

2. En déduire les valeurs de

n

pour lesquelles

n^{2} + 2 n

est divisible par

3

Voir la correction

En utilisant un tableau de congruence, démontrer que, pour tout entier relatif

n

n (n + 1) (2 n + 1))

est divisible par

6

Voir la correction

1. Démontrer que

5

admet un inverse modulo

11

2. Montrer que

6

n’a pas d’inverse modulo

10

3

admet‑il un inverse modulo

12

Voir la correction

1. Compléter le tableau de congruence modulo

8

suivant où

x

désigne un entier relatif.

$x \equiv \dots [8]$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$5 x \equiv \dots [8]$

2. En déduire les solutions de l’équation

5 x \equiv 7 [8]

3. Déterminer un inverse modulo

8

5

4. Montrer que

5 x

est divisible par

8

si, et seulement si,

x

est divisible par

8

Voir la correction

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