Exercices de synthèse

119

Approfondissement

[Calculer, Communiquer.]

120

[Calculer, Chercher.]
3. On pose $\text{A}=2021^{2021}$.
Démontrer que $\text{A}$ s'écrit en numération décimale avec au plus $8084$ chiffres.

121

[Chercher, Communiquer.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2005

Partie A

Soit $\text{N}$ un entier naturel impair. On suppose que $\text{N}=a^2-b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.

1. Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité.

2. Montrer que $\text{N}$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.

3. Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?

Partie B

On admet que $250507$ n'est pas premier. On se propose de chercher des couples d'entiers naturels $(a;b)$ vérifiant la relation $(\text{E}):a^2-250507=b^2$.

1. Soit $\text{X}$ un entier naturel.
a. Donner, dans un tableau, les restes possibles de $\text{X}$ modulo $9$ puis ceux de ${\text{X}}^2$ modulo $9$.


b. Sachant que $a^2-250507=b^2$, déterminer les restes possibles modulo $9$ de $a^2-250507$, puis en déduire les restes possibles modulo $9$ de $a^2$.

c. Montrer que les restes possibles modulo $9$ de $a$ sont $1$ et $8$.

2. Justifier que si le couple $(a;b)$ vérifie la relation $(\text{E})$, alors $a⩾501$. Montrer qu'il n'existe pas de solution du type $(501;b)$.

3. On suppose que le couple $(a;b)$ vérifie la relation $(\text{E})$.
a. Démontrer que $a$ est congru à $503$ ou à $505$ modulo $9$.

b. Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505+9k;b)$ soit solution de $(\text{E})$, puis donner le couple solution correspondant.

122

[Calculer, Communiquer.]
Les entiers naturels $1;11;111;$ … sont des rep-units.
On appelle ainsi les entiers naturels s'écrivant uniquement avec des $1$.
On note ${\text{N}}_p$ le rep-unit comprenant $p$ fois le chiffre $1$.
Par exemple, ${\text{N}}_4=1111$ . On a alors ${\text{N}}_p=\sum _{k=0}^{p-1}10^k$.

Partie A : Étude de quelques cas particuliers

1. Montrer que ${\text{N}}_3$ et ${\text{N}}_6$ sont divisibles par $3$.

2. Montrer que ${\text{N}}_4$ est divisible par $11$.

3. Montrer que ${\text{N}}_6$ est divisible par $111$.

Partie B : Divisibilité par $7$ et par $11$

1. a. Démontrer que ${\text{N}}_p=\frac{10^p-1}{9}$.

b. En déduire que $9|\left(10^p-1\right)$.

2. a. Déterminer le reste de la division par $7$ de $10^p$ suivant les valeurs de $p$.

b. En déduire les valeurs de $p$ pour lesquelles ${\text{N}}_p$ est divisible par $7$ (on pourra utiliser un tableau de congruence).

3. a. Vérifier que $10\equiv -1[11]$.

b. En déduire que si $p$ est pair, alors ${\text{N}}_p$ est divisible par $11$.

123

[Calculer, Raisonner.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou en différence de cubes d'entiers naturels.
Par exemples : $13=4^3+7^3+7^3-9^3-2^3;13=2^3+2^3-1^3-1^3-1^3$ et $13=1^3+7^3+10^3-11^3$.
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme » de cubes à la place de « somme ou différence de cubes d'entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que $13$ peut se décomposer en somme de $5$ cubes. Le troisième exemple montre que $13$ peut se décomposer en somme de $4$ cubes.

1. a. En utilisant l'égalité $13=1^3+7^3+10^3-113$ donner une décomposition de $40$ en somme de $5$ cubes.

b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :

$6n=(n+1{)}^3+(n-1{)}^3-n^3-n^3$.

En déduire une décomposition de $48$ en somme de $4$ cubes, puis une décomposition de $40$ en somme de $5$ cubes différente de celle donnée en 1. a.

2. Le nombre $40$ est une somme de $4$ cubes :

On veut savoir si $40$ peut être décomposé en somme de $3$ cubes.
a. Produire sans justifier le tableau de congruence modulo $9$ de $n^3$.


b. Prouver que $40$ ne peut pas être décomposé en somme de $3$ cubes.

124

[Chercher, Communiquer.]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $1⩽a⩽9$ et $0⩽b⩽9$.
On considère le nombre $\overline{ab\dots ab}$ écrit dans le système décimal. Ce nombre est donc composé uniquement des chiffres $ab$ répétés $n$ fois, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

126

Algo

[Calculer, Modéliser.]
D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2013

Partie A

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un entier compris entre 0 et 25.



On définit un procédé de codage de la façon suivante.

• Étape 1 : à la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
• Étape 2 : on calcule le reste de la division euclidienne de $9m+5$ par $26$ et on le note $p$.
• Étape 3 : au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.

2. Écrire un algorithme qui, à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x\equiv 1[26]$.

2. Démontrer alors l'équivalence :

$9m+5\equiv p[26]\iff m\equiv 3p-15[26]$.

3. Décoder alors la lettre B.

125

[Calculer, Raisonner.]
Le but de l'exercice est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel. On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que $\sqrt{3}=\frac{a}{b}$.
Quitte à simplifier, on suppose cette fraction irréductible.

1. Compléter le tableau de congruence modulo $5$ afin de déterminer les restes de la division euclidienne de $a^2$ par $5$.

127

Approfondissement

[Calculer, Communiquer.]
Les publications, comme les journaux et les périodiques, sont identifiées par un numéro ISSN (International Standard Serial Number). L'impression de l'ISSN sur les publications en série est obligatoire.
Le numéro ISSN est composé de deux groupes de quatre chiffres séparés par un tiret : $abcd-efgh$.
Par exemple, le journal Ouest-France a pour ISSN $0999‑2138$ et la revue Paris Match a pour ISSN $0397‑1635$.
Les sept premiers caractères sont des chiffres qui caractérisent la publication.
Le dernier caractère, situé à la huitième position, est la clé de contrôle. Cette clé de contrôle est prise dans la liste des 11 caractères suivants : $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\text{X}$ (où $\text{X}$ représente le nombre $10$).
Pour déterminer cette clé, on calcule le nombre $\text{S}=8a+7b+6c+5d+4e+3f+2g$ puis on détermine le reste de la division euclidienne de $-\text{S}$ par $11$. Ce reste constitue la clé de contrôle.

1. Le numéro ISSN du journal Ouest-France a été donné ci-dessus. Retrouver la clé de contrôle en détaillant les différentes étapes de calcul.

2. On donne les sept premiers caractères du numéro ISSN du Journal de Mickey : $2495‑454$. Déterminer la clé de contrôle.

3. Sur le journal Le Monde, un des caractères du numéro ISSN est illisible. On le note $n$.
On a alors : $03n5‑2037$.
c. En déduire la valeur de $n$.

128

[Chercher, Communiquer.]
En binaire, un nombre s'écrit avec les chiffres $0$ ou $1$.
Un octet binaire est composé de huit chiffres, par exemple $11010010$.
Chaque octet binaire est complété par un bit supplémentaire $m$ (dit bit de parité) de la façon suivante : on calcule la somme $s$ des huit chiffres constituant l'octet et on prend $m$ tel que $s+m\equiv 0[2]$.

1. Pour $\text{A}=11010010$, calculer $m$.

2. Démontrer que si un des chiffres de l'octet est modifié, le bit de parité détecte l'erreur.

3. a. Lors de la transmission d'un octet, combien d'erreurs de transmission peuvent se produire ?

b. Dans quels cas les erreurs de transmission seront-elles détectées ? Justifier.

129

Approfondissement

[Calculer, Chercher.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2015

Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x;y;z)$ tels que $x^2+y^2=z^2$.
Ces triplets sont nommés triplets pythagoriciens, en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi $(3;4;5)$ est un TP car $3^2+4^2=5^2$.

Partie A : Généralités

3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel $n$ non nul peut s'écrire de façon unique sous la forme du produit d'une puissance de $2$ par un entier impair : $n=2^{\alpha }\times k$ , où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. L'écriture $n=2^{\alpha }\times k$ sera nommée décomposition de $n$ dans la suite du problème.
Voici par exemple les décompositions des entiers $9$ et $120$ : $9=2^0\times 9$ et $120=2^3\times 15$.
Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015

130

Approfondissement

[Calculer, Chercher.]
Le numéro INSEE d'une personne est inscrit sur sa carte vitale. Ce numéro d'identification unique $\text{A}$ de chaque individu est formé de $13$ chiffres :

• le sexe (1 pour un homme et 2 pour une femme) ;
• l'année de naissance (les deux derniers chiffres) ;
• le mois de naissance (écrit avec deux chiffres) ;
• le lieu de naissance (cinq chiffres correspondant au département et à la commune) ;
• le numéro d'ordre d'inscription des naissances dans la commune (3 chiffres).

Une clé de contrôle $\text{K}$ de deux chiffres complète le numéro INSEE.
La clé est calculée de la manière suivante : on calcule le reste $r$ de la division de l'identifiant $\text{A}$ par $97$ et on pose alors : $\text{K}=97-r$.

131

Devoir maison

[Chercher, Calculer.]
Critères de divisibilité

On souhaite poursuivre l'étude de critères de divisibilité tels que ceux démontrés aux exercices

110

et

111

.

Dans le programme de spécialité, vous avez étudié un nouveau type de démonstration : le raisonnement par récurrence.

1. Rappeler les grands principes de ce raisonnement.