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119
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Communiquer.]
Le chiffrement de Vigenère introduit le principe de clé se présentant généralement sous la forme d’un mot (ou d’une phrase) que l’on répète. Plus la clé est longue et variée, mieux le texte sera chiffré.
On considère la méthode de chiffrement suivante.
À chaque lettre de l’alphabet, on fait correspondre sa position dans l’alphabet, c’est-à-dire un entier entre 00 et 2525 (A correspondant à 00, B à 11, etc.)
À chaque lettre à coder, on associe l’entier xx correspondant. À chaque lettre de la clé, on associe l’entier yy correspondant.
On détermine l’entier zz, où zz est le reste de x+yx + y dans la division euclidienne par 2626.
La lettre chiffrée sera obtenue avec le nombre zz.
Exemple : Codage du mot VIGENERE en utilisant la clé DEUX. On obtient le mot YMABQILB.

Mot à coder V I G E N E R E
x\bm x 2121 88 66 44 1313 44 1717 44
Clé D E U X D E U X
y\bm y 33 44 2020 2323 33 44 2020 2323
z\bm z 2424 1212 00 11 1616 88 1111 11
Mot codé Y M A B Q I L B

1. On considère le chiffrement de Vigenère utilisant la clé MATH. Vérifier que le mot DIVISIBILITE est codé par PIOPEIUPXIML.


2. On veut déchiffrer le mot ECBLZTBMUQNL, la clé étant toujours MATH.
a. Montrer que déchiffrer la lettre E revient à résoudre l’équation x18[26]x \equiv 18[26]. En déduire la lettre déchiffrée.


b. Déchiffrer le reste du mot.
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120
[Calculer, Chercher.]
1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel non nul nn, le reste dans la division euclidienne de 5n5^n par 99.


2. Montrer que 202120212[9]2\,021^{2\,021} \equiv 2[9].


3. On pose A=20212021\text A = 2\,021^{2\,021}.
Démontrer que A\text{A} s’écrit en numération décimale avec au plus 80848 \, 084 chiffres.
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121
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2005

Partie A


Soit N\text N un entier naturel impair. On suppose que N=a2b2\text N = a^2 - b^2aa et bb sont deux entiers naturels.

1. Montrer que aa et bb n’ont pas la même parité.


2. Montrer que N\text{N} peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels pp et qq.


3. Quelle est la parité de pp et de qq ?


Partie B

On admet que 250507250 \: 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a;b)(a \:; b) vérifiant la relation (E):a2250507=b2(\text E) : a^2 - 250 \: 507 = b^2.

1. Soit X\text X un entier naturel.
a. Donner, dans un tableau, les restes possibles de X\text{X} modulo 99 puis ceux de X2\text X^2 modulo 99.

X...[9] \text{X} \equiv ... [9]
X2...[9]\text{X}^2 \equiv ... [9]

b. Sachant que a2250507=b2a^2 - 250 \: 507 = b^2, déterminer les restes possibles modulo 99 de a2250507a^2 - 250 \: 507, puis en déduire les restes possibles modulo 99 de a2a^2.


c. Montrer que les restes possibles modulo 99 de aa sont 11 et 88.


2. Justifier que si le couple (a;b)(a\: ; b) vérifie la relation (E)(\text E), alors a501a \geqslant 501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501;b)(501 \:; b).


3. On suppose que le couple (a;b)(a\: ; b) vérifie la relation (E)(\text E).
a. Démontrer que aa est congru à 503503 ou à 505505 modulo 99.


b. Déterminer le plus petit entier naturel kk tel que le couple (505+9k;b)(505 + 9k\: ; b) soit solution de (E)(\text E), puis donner le couple solution correspondant.
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122
[Calculer, Communiquer.]
Les entiers naturels 1;11;111;1 \: ; 11 \: ; 111 \: ; … sont des rep-units.
On appelle ainsi les entiers naturels s’écrivant uniquement avec des 11.
On note Np\text N_p le rep-unit comprenant pp fois le chiffre 11.
Par exemple, N4=1111\text N_4 =1111 . On a alors Np=k=0p110k\text{N}_{p}=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k}.

Partie A : Étude de quelques cas particuliers

1. Montrer que N3\text N_3 et N6\text N_6 sont divisibles par 33.


2. Montrer que N4\text N_4 est divisible par 1111.


3. Montrer que N6\text N_6 est divisible par 111111.


Partie B : Divisibilité par 7\bold 7 et par 11\bold {11}

1. a. Démontrer que Np=10p19\text{N}_{p}=\dfrac{10^{p}-1}{9}.


b. En déduire que 9(10p1)9 \: |\left(10^{p}-1\right).


2. a. Déterminer le reste de la division par 77 de 10p10^p suivant les valeurs de pp.


b. En déduire les valeurs de pp pour lesquelles Np\text N_p est divisible par 77 (on pourra utiliser un tableau de congruence).


3. a. Vérifier que 101[11]10 \equiv-1[11].


b. En déduire que si pp est pair, alors Np\text N_p est divisible par 1111.
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123
[Calculer, Raisonner.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou en différence de cubes d’entiers naturels.
Par exemples : 13=43+73+739323;13=23+2313131313 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3 \: ; 13 = 2^3 + 2^3 - 1^3 - 1^3 - 1^3 et 13=13+73+10311313 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3.
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme » de cubes à la place de « somme ou différence de cubes d’entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que 1313 peut se décomposer en somme de 55 cubes. Le troisième exemple montre que 1313 peut se décomposer en somme de 44 cubes.

1. a. En utilisant l’égalité 13=13+73+10311313 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 113 donner une décomposition de 4040 en somme de 55 cubes.


b. On admet que, pour tout entier naturel nn, on a :
6n=(n+1)3+(n1)3n3n36 n=(n+1)^{3}+(n-1)^{3}-n^{3}-n^{3}.

En déduire une décomposition de 4848 en somme de 44 cubes, puis une décomposition de 4040 en somme de 55 cubes différente de celle donnée en 1. a.


2. Le nombre 4040 est une somme de 44 cubes :
40=4323232340=4^{3}-2^{3}-2^{3}-2^{3}.

On veut savoir si 4040 peut être décomposé en somme de 33 cubes.
a. Produire sans justifier le tableau de congruence modulo 99 de n3n^3.

n...[9]n \equiv ... [9] 00 11 22 33 44 55 66 77 88
n3...[9]n^3 \equiv ... [9]

b. Prouver que 4040 ne peut pas être décomposé en somme de 33 cubes.
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124
[Chercher, Communiquer.]
Soient aa et bb deux entiers naturels avec 1a91 \leqslant a \leqslant 9 et 0b90 \leqslant b \leqslant 9.
On considère le nombre abab\overline{a b \dots a b} écrit dans le système décimal. Ce nombre est donc composé uniquement des chiffres abab répétés nn fois, où nn désigne un entier naturel non nul.

1. a. On considère le nombre ababab\overline{ababab} . Écrire ce nombre en fonction de aa, de bb et des puissances de 1010.


b. En déduire que ababab\overline{ababab} est un multiple de ab\overline{ab} .


2. a. Calculer la somme S=1+102+104+106++102n2\text{S}=1+10^{2}+10^{4}+10^{6}+\ldots+10^{2 n-2}.


b. Exprimer abab\overline{ab \dots ab} en fonction de S\text S et de ab\overline{ab}.


3. a. Montrer que si un entier naturel N\text N divise ab\overline{ab}, alors N\text N divise abab\overline{ab \dots ab} .


b. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
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125
[Calculer, Raisonner.]
Le but de l’exercice est de démontrer que 3\sqrt{3} n’est pas un nombre rationnel. On suppose qu’il existe deux entiers naturels non nuls aa et bb tels que 3=ab\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}.
Quitte à simplifier, on suppose cette fraction irréductible.

1. Compléter le tableau de congruence modulo 55 afin de déterminer les restes de la division euclidienne de a2a^2 par 55.
a[5]a \equiv \dots [5] 00 11 22 33 44
a2[5]a^2 \equiv \dots [5]


2. Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de 3b23b^2 par 55.


3. En déduire que 3\sqrt{3} est irrationnel.
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126
ALGO
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2013

Partie A

Dans l’algorithme ci-dessous, les variables aa, bb et cc représentent des entiers naturels.

c0.Tant quea b, faire :cc+1aabFin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } {c \leftarrow 0. } \\ \text {Tant que} \: a\ \geqslant \:b \text{, faire :}\\ \quad c \leftarrow c+1\\ \quad a \leftarrow a-b \\ \text {Fin Tant que} \\ \end{array} }


1. On prend a=13a = 13 et b=4b = 4. Donner les valeurs de aa et de cc obtenues à la sortie de cet algorithme en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.


2. Que permet de calculer cet algorithme ?


Partie B

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un entier compris entre 0 et 25.


A B C D E F G H I J K L M
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
N O P Q R S T V U W X Y Z
1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020 2121 2222 2323 2424 2525


On définit un procédé de codage de la façon suivante.
  • Étape 1 : à la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre mm correspondant dans le tableau.
  • Étape 2 : on calcule le reste de la division euclidienne de 9m+59m+ 5 par 2626 et on le note pp.
  • Étape 3 : au nombre pp, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.


2. Écrire un algorithme qui, à une valeur de mm entrée par l’utilisateur, affiche la valeur de pp, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.


  
Partie C

1. Trouver un nombre entier xx tel que 9x1[26]9x \equiv 1 [26].


2. Démontrer alors l’équivalence :
9m+5p[26]m3p15[26]9 m+5 \equiv p[26] \Leftrightarrow m \equiv 3 p-15[26].



3. Décoder alors la lettre B.
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127
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Communiquer.]
Les publications, comme les journaux et les périodiques, sont identifiées par un numéro ISSN (International Standard Serial Number). L’impression de l’ISSN sur les publications en série est obligatoire.
Le numéro ISSN est composé de deux groupes de quatre chiffres séparés par un tiret : abcdefghabcd - efgh.
Par exemple, le journal Ouest-France a pour ISSN 099921380999‑2138 et la revue Paris Match a pour ISSN 039716350397‑1635.
Les sept premiers caractères sont des chiffres qui caractérisent la publication.
Le dernier caractère, situé à la huitième position, est la clé de contrôle. Cette clé de contrôle est prise dans la liste des 11 caractères suivants : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \text X (où X\text{X} représente le nombre 1010).
Pour déterminer cette clé, on calcule le nombre S=8a+7b+6c+5d+4e+3f+2g\text S = 8a + 7b + 6c + 5d + 4e + 3f + 2g puis on détermine le reste de la division euclidienne de S-\text{S} par 1111. Ce reste constitue la clé de contrôle.

1. Le numéro ISSN du journal Ouest-France a été donné ci-dessus. Retrouver la clé de contrôle en détaillant les différentes étapes de calcul.


2. On donne les sept premiers caractères du numéro ISSN du Journal de Mickey : 24954542495‑454. Déterminer la clé de contrôle.


3. Sur le journal Le Monde, un des caractères du numéro ISSN est illisible. On le note nn.
On a alors : 03n5203703n5‑2037.
a. Déterminer S\text{S} en fonction de nn.


b. En déduire que 6n10[11]6 n \equiv 10[11].


c. En déduire la valeur de nn.
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128
[Chercher, Communiquer.]
En binaire, un nombre s’écrit avec les chiffres 00 ou 11.
Un octet binaire est composé de huit chiffres, par exemple 1101001011010010.
Chaque octet binaire est complété par un bit supplémentaire mm (dit bit de parité) de la façon suivante : on calcule la somme ss des huit chiffres constituant l’octet et on prend mm tel que s+m0[2]s+m \equiv 0[2].

1. Pour A=11010010\text A = 11010010, calculer mm.


2. Démontrer que si un des chiffres de l’octet est modifié, le bit de parité détecte l’erreur.


3. a. Lors de la transmission d’un octet, combien d’erreurs de transmission peuvent se produire ?


b. Dans quels cas les erreurs de transmission seront-elles détectées ? Justifier.
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129
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2015

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls (x;y;z)(x \:; y \:; z) tels que x2+y2=z2x^2 + y^2 = z^2.
Ces triplets sont nommés triplets pythagoriciens, en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi (3;4;5)(3 \:; 4 \:; 5) est un TP car 32+42=523^2 + 4^2 = 5^2.

Partie A : Généralités

1. Démontrer que si (x;y;z)(x \:; y \:; z) est un TP et pp un entier naturel non nul, alors (px;py;pz)(px \:; py \:; pz) est aussi un TP.


2. Démontrer que si (x;y;z)(x \:; y \:; z) est un TP, alors les entiers naturels xx, yy et zz ne peuvent pas être tous les trois impairs.


3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel nn non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 22 par un entier impair : n=2α×kn = 2^{\alpha} \times k , où α\alpha est un entier naturel (éventuellement nul) et kk un entier naturel impair. L’écriture n=2α×kn = 2^{\alpha} \times k sera nommée décomposition de nn dans la suite du problème.
Voici par exemple les décompositions des entiers 99 et 120120 : 9=20×99 = 2^0 \times 9 et 120=23×15120 = 2^3 \times 15.
a. Donner la décomposition de l’entier 192192.


b. Soient xx et zz deux entiers naturels non nuls dont les décompositions sont x=2α×k x = 2^{\alpha} \times k et z=2β×mz = 2^{\beta} \times m .
Écrire la décomposition des entiers naturels 2x22x^2 et z2z^2.


c. En examinant l’exposant de 22 dans la décomposition de 2x22x^2 et dans celle de z2z^2, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (x;z)(x \:; z) tels que 2x2=z22x^2 = z^2.


On admet que la question 3. de la partie A. permet d’établir que les trois entiers naturels xx, yy et zz sont deux à deux distincts. Comme, de plus, les entiers naturels xx et yy jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x;y;z)(x \:; y \:; z), les trois entiers naturels xx, yy et zz seront rangés dans l’ordre suivant : x<y<zx \lt y \lt z.
Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2015

1. Sachant que 2015=5×4032 \:015 = 5 \times 403 et en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x;y;2015)(x \:; y \:; 2 \:015).


2. On admet que, pour tout entier naturel nn, on a : (2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2(2 n+1)^{2}+\left(2 n^{2}+2 n\right)^{2}=\left(2 n^{2}+2 n+1\right)^{2}.
Déterminer un TP de la forme (2015;y;z)(2\: 015 \:; y \:; z).


3. a. En remarquant que 4032=169×961403^2 = 169 \times 961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls (x;z)(x \:; z) tels que : z2x2=4032z^2 - x^2 = 403^2, avec x<403x \lt 403.


b. En déduire un TP de la forme (x;2015;z)(x \:; 2\: 015 \:; z).
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130
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Chercher.]
Le numéro INSEE d’une personne est inscrit sur sa carte vitale. Ce numéro d’identification unique A\text{A} de chaque individu est formé de 1313 chiffres :
  • le sexe (1 pour un homme et 2 pour une femme) ;
  • l’année de naissance (les deux derniers chiffres) ;
  • le mois de naissance (écrit avec deux chiffres) ;
  • le lieu de naissance (cinq chiffres correspondant au département et à la commune) ;
  • le numéro d’ordre d’inscription des naissances dans la commune (3 chiffres).

Une clé de contrôle K\text{K} de deux chiffres complète le numéro INSEE.
La clé est calculée de la manière suivante : on calcule le reste rr de la division de l’identifiant A\text{A} par 9797 et on pose alors : K=97r\text{K} = 97 - r.

1. On donne le numéro INSEE suivant : 20212993201212021299320121. Déterminer la clé de contrôle de ce numéro.


2. a. En remarquant que A=S×1012+N×106+M\text A = \text S \times 10^12 + \text N \times 10^6 +\text MS\text{S}, N\text{N} et M\text{M} sont des entiers naturels, montrer que A50S+27N+M[97]\text A \equiv 50\text S + 27\text N +\text M[97].


b. En déduire que K=97r1\text K = 97 -r_1r1r_1 est le reste de la division euclidienne de 50S+27N+M50\text S + 27\text N +\text M par 9797.


3. a. On suppose que lors d’une saisie d’un code INSEE, une erreur est commise sur le premier chiffre de l’identifiant. Montrer que cette erreur est détectée par la clé.


b. Montrer qu’une erreur sur un, et un seul, des chiffres du nombre N\text{N} est détectée par la clé.


c. Montrer que si l’on intervertit les deux premiers chiffres du nombre N\text{N}, l’erreur est détectée par la clé.
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131
DEVOIR MAISON
[Chercher, Calculer.]
Critères de divisibilité

On souhaite poursuivre l’étude de critères de divisibilité tels que ceux démontrés aux exercices et .

Partie A : Critère de divisibilité par 5 et par 10

1. Montrer qu’un nombre entier N\text{N} est divisible par 1010 si, et seulement si, son chiffre des unités est 00.

Aide
On pourra commencer par écrire N\text{N} sous la forme N=k=0nak10k\mathrm{N}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_{k} 10^{k} où, pour tout kk compris entre 00 et nn, 0ak90 \leqslant a_{k} \leqslant 9 et an0a_{n} \neq 0.



2. Montrer qu’un nombre entier N\text{N} est divisible par 55 si, et seulement si, son chiffre des unités est 55 ou 00.


Partie B : Critère de divisibilité par 11

1. Montrer qu’un nombre entier N\text{N} est divisible par 1111 si, et seulement si, la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 1111.

Aide
On pourra commencer par écrire N=10a+b\text N = 10a + b, où aa désigne le nombre de dizaines de N\text{N} et bb son chiffre des unités.



2. En utilisant ce critère de divisibilité, déterminer si le nombre 10671\,067 est divisible par 1111.
Le nombre 333333 est-il divisible par 1111 ?
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


ExoTransversauxMXP
;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;   et   p. 238

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Dans le programme de spécialité, vous avez étudié un nouveau type de démonstration : le raisonnement par récurrence.

1. Rappeler les grands principes de ce raisonnement.


2. Utiliser ce type de démonstration pour démontrer une divisibilité analogue à celles des exercice et , puis expliquer comment les outils introduits dans ce chapitre permettent de faciliter l’étude de ce type de problème.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244.
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