Synthèse

119

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Communiquer.]
Le chiffrement de Vigenère introduit le principe de clé se présentant généralement sous la forme d’un mot (ou d’une phrase) que l’on répète. Plus la clé est longue et variée, mieux le texte sera chiffré.
On considère la méthode de chiffrement suivante.
À chaque lettre de l’alphabet, on fait correspondre sa position dans l’alphabet, c’est-à-dire un entier entre $0$ et $25$ (A correspondant à $0$, B à $1$, etc.)
À chaque lettre à coder, on associe l’entier $x$ correspondant. À chaque lettre de la clé, on associe l’entier $y$ correspondant.
On détermine l’entier $z$, où $z$ est le reste de $x + y$ dans la division euclidienne par $26$.
La lettre chiffrée sera obtenue avec le nombre $z$.
Exemple : Codage du mot VIGENERE en utilisant la clé DEUX. On obtient le mot YMABQILB.


1. On considère le chiffrement de Vigenère utilisant la clé MATH. Vérifier que le mot DIVISIBILITE est codé par PIOPEIUPXIML.


2. On veut déchiffrer le mot ECBLZTBMUQNL, la clé étant toujours MATH.
a. Montrer que déchiffrer la lettre E revient à résoudre l’équation $x \equiv 18[26]$. En déduire la lettre déchiffrée.


b. Déchiffrer le reste du mot.

120

[Calculer, Chercher.]
1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel non nul $n$, le reste dans la division euclidienne de $5^n$ par $9$.


2. Montrer que $2\,021^{2\,021} \equiv 2[9]$.


3. On pose $\text A = 2\,021^{2\,021}$.
Démontrer que $\text{A}$ s’écrit en numération décimale avec au plus $8 \, 084$ chiffres.

121

[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2005

Partie A

Soit $\text N$ un entier naturel impair. On suppose que $\text N = a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.

1. Montrer que $a$ et $b$ n’ont pas la même parité.


2. Montrer que $\text{N}$ peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.


3. Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?


Partie B

On admet que $250 \: 507$ n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels $(a \:; b)$ vérifiant la relation $(\text E) : a^2 - 250 \: 507 = b^2$.

1. Soit $\text X$ un entier naturel.
a. Donner, dans un tableau, les restes possibles de $\text{X}$ modulo $9$ puis ceux de $\text X^2$ modulo $9$.


b. Sachant que $a^2 - 250 \: 507 = b^2$, déterminer les restes possibles modulo $9$ de $a^2 - 250 \: 507$, puis en déduire les restes possibles modulo $9$ de $a^2$.


c. Montrer que les restes possibles modulo $9$ de $a$ sont $1$ et $8$.


2. Justifier que si le couple $(a\: ; b)$ vérifie la relation $(\text E)$, alors $a \geqslant 501$. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type $(501 \:; b)$.


3. On suppose que le couple $(a\: ; b)$ vérifie la relation $(\text E)$.
a. Démontrer que $a$ est congru à $503$ ou à $505$ modulo $9$.


b. Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que le couple $(505 + 9k\: ; b)$ soit solution de $(\text E)$, puis donner le couple solution correspondant.

122

[Calculer, Communiquer.]
Les entiers naturels $1 \: ; 11 \: ; 111 \: ;$ … sont des rep-units.
On appelle ainsi les entiers naturels s’écrivant uniquement avec des $1$.
On note $\text N_p$ le rep-unit comprenant $p$ fois le chiffre $1$.
Par exemple, $\text N_4 =1111$ . On a alors $\text{N}_{p}=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} 10^{k}$.

Partie A : Étude de quelques cas particuliers

1. Montrer que $\text N_3$ et $\text N_6$ sont divisibles par $3$.


2. Montrer que $\text N_4$ est divisible par $11$.


3. Montrer que $\text N_6$ est divisible par $111$.


Partie B : Divisibilité par $\bold 7$ et par $\bold {11}$

1. a. Démontrer que $\text{N}_{p}=\dfrac{10^{p}-1}{9}$.


b. En déduire que $9 \: |\left(10^{p}-1\right)$.


2. a. Déterminer le reste de la division par $7$ de $10^p$ suivant les valeurs de $p$.


b. En déduire les valeurs de $p$ pour lesquelles $\text N_p$ est divisible par $7$ (on pourra utiliser un tableau de congruence).


3. a. Vérifier que $10 \equiv-1[11]$.


b. En déduire que si $p$ est pair, alors $\text N_p$ est divisible par $11$.

123

[Calculer, Raisonner.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019

Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou en différence de cubes d’entiers naturels.
Par exemples : $13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3 \: ; 13 = 2^3 + 2^3 - 1^3 - 1^3 - 1^3$ et $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$.
Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « somme » de cubes à la place de « somme ou différence de cubes d’entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que $13$ peut se décomposer en somme de $5$ cubes. Le troisième exemple montre que $13$ peut se décomposer en somme de $4$ cubes.

1. a. En utilisant l’égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 113$ donner une décomposition de $40$ en somme de $5$ cubes.


b. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$6 n=(n+1)^{3}+(n-1)^{3}-n^{3}-n^{3}$.
En déduire une décomposition de $48$ en somme de $4$ cubes, puis une décomposition de $40$ en somme de $5$ cubes différente de celle donnée en 1. a.


2. Le nombre $40$ est une somme de $4$ cubes :
$40=4^{3}-2^{3}-2^{3}-2^{3}$.
On veut savoir si $40$ peut être décomposé en somme de $3$ cubes.
a. Produire sans justifier le tableau de congruence modulo $9$ de $n^3$.


b. Prouver que $40$ ne peut pas être décomposé en somme de $3$ cubes.

124

[Chercher, Communiquer.]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels avec $1 \leqslant a \leqslant 9$ et $0 \leqslant b \leqslant 9$.
On considère le nombre $\overline{a b \dots a b}$ écrit dans le système décimal. Ce nombre est donc composé uniquement des chiffres $ab$ répétés $n$ fois, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. a. On considère le nombre $\overline{ababab}$ . Écrire ce nombre en fonction de $a$, de $b$ et des puissances de $10$.


b. En déduire que $\overline{ababab}$ est un multiple de $\overline{ab}$ .


2. a. Calculer la somme $\text{S}=1+10^{2}+10^{4}+10^{6}+\ldots+10^{2 n-2}$.


b. Exprimer $\overline{ab \dots ab}$ en fonction de $\text S$ et de $\overline{ab}$.


3. a. Montrer que si un entier naturel $\text N$ divise $\overline{ab}$, alors $\text N$ divise $\overline{ab \dots ab}$ .


b. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

125

[Calculer, Raisonner.]
Le but de l’exercice est de démontrer que $\sqrt{3}$ n’est pas un nombre rationnel. On suppose qu’il existe deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que $\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$.
Quitte à simplifier, on suppose cette fraction irréductible.

1. Compléter le tableau de congruence modulo $5$ afin de déterminer les restes de la division euclidienne de $a^2$ par $5$.


2. Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de $3b^2$ par $5$.


3. En déduire que $\sqrt{3}$ est irrationnel.

126

ALGO

[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2013

Partie A

Dans l’algorithme ci-dessous, les variables $a$, $b$ et $c$ représentent des entiers naturels.

$\boxed{ \begin{array} { l } {c \leftarrow 0. } \\ \text {Tant que} \: a\ \geqslant \:b \text{, faire :}\\ \quad c \leftarrow c+1\\ \quad a \leftarrow a-b \\ \text {Fin Tant que} \\ \end{array} }$

1. On prend $a = 13$ et $b = 4$. Donner les valeurs de $a$ et de $c$ obtenues à la sortie de cet algorithme en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.


2. Que permet de calculer cet algorithme ?


Partie B

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un entier compris entre 0 et 25.



On définit un procédé de codage de la façon suivante.

• Étape 1 : à la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
• Étape 2 : on calcule le reste de la division euclidienne de $9m+ 5$ par $26$ et on le note $p$.
• Étape 3 : au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1. Coder la lettre U.


2. Écrire un algorithme qui, à une valeur de $m$ entrée par l’utilisateur, affiche la valeur de $p$, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.

Partie C

1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1 [26]$.


2. Démontrer alors l’équivalence :
$9 m+5 \equiv p[26] \Leftrightarrow m \equiv 3 p-15[26]$.


3. Décoder alors la lettre B.

127

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Communiquer.]
Les publications, comme les journaux et les périodiques, sont identifiées par un numéro ISSN (International Standard Serial Number). L’impression de l’ISSN sur les publications en série est obligatoire.
Le numéro ISSN est composé de deux groupes de quatre chiffres séparés par un tiret : $abcd - efgh$.
Par exemple, le journal Ouest-France a pour ISSN $0999‑2138$ et la revue Paris Match a pour ISSN $0397‑1635$.
Les sept premiers caractères sont des chiffres qui caractérisent la publication.
Le dernier caractère, situé à la huitième position, est la clé de contrôle. Cette clé de contrôle est prise dans la liste des 11 caractères suivants : $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \text X$ (où $\text{X}$ représente le nombre $10$).
Pour déterminer cette clé, on calcule le nombre $\text S = 8a + 7b + 6c + 5d + 4e + 3f + 2g$ puis on détermine le reste de la division euclidienne de $-\text{S}$ par $11$. Ce reste constitue la clé de contrôle.

1. Le numéro ISSN du journal Ouest-France a été donné ci-dessus. Retrouver la clé de contrôle en détaillant les différentes étapes de calcul.


2. On donne les sept premiers caractères du numéro ISSN du Journal de Mickey : $2495‑454$. Déterminer la clé de contrôle.


3. Sur le journal Le Monde, un des caractères du numéro ISSN est illisible. On le note $n$.
On a alors : $03n5‑2037$.
a. Déterminer $\text{S}$ en fonction de $n$.


b. En déduire que $6 n \equiv 10[11]$.


c. En déduire la valeur de $n$.

128

[Chercher, Communiquer.]
En binaire, un nombre s’écrit avec les chiffres $0$ ou $1$.
Un octet binaire est composé de huit chiffres, par exemple $11010010$.
Chaque octet binaire est complété par un bit supplémentaire $m$ (dit bit de parité) de la façon suivante : on calcule la somme $s$ des huit chiffres constituant l’octet et on prend $m$ tel que $s+m \equiv 0[2]$.

1. Pour $\text A = 11010010$, calculer $m$.


2. Démontrer que si un des chiffres de l’octet est modifié, le bit de parité détecte l’erreur.


3. a. Lors de la transmission d’un octet, combien d’erreurs de transmission peuvent se produire ?


b. Dans quels cas les erreurs de transmission seront-elles détectées ? Justifier.

129

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2015

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls $(x \:; y \:; z)$ tels que $x^2 + y^2 = z^2$.
Ces triplets sont nommés triplets pythagoriciens, en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi $(3 \:; 4 \:; 5)$ est un TP car $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Partie A : Généralités

1. Démontrer que si $(x \:; y \:; z)$ est un TP et $p$ un entier naturel non nul, alors $(px \:; py \:; pz)$ est aussi un TP.


2. Démontrer que si $(x \:; y \:; z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs.


3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel $n$ non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme du produit d’une puissance de $2$ par un entier impair : $n = 2^{\alpha} \times k$ , où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. L’écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ sera nommée décomposition de $n$ dans la suite du problème.
Voici par exemple les décompositions des entiers $9$ et $120$ : $9 = 2^0 \times 9$ et $120 = 2^3 \times 15$.
a. Donner la décomposition de l’entier $192$.


b. Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls dont les décompositions sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z = 2^{\beta} \times m$.
Écrire la décomposition des entiers naturels $2x^2$ et $z^2$.


c. En examinant l’exposant de $2$ dans la décomposition de $2x^2$ et dans celle de $z^2$, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls $(x \:; z)$ tels que $2x^2 = z^2$.


On admet que la question 3. de la partie A. permet d’établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme, de plus, les entiers naturels $x$ et $y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x \:; y \:; z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l’ordre suivant : $x \lt y \lt z$.
Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2015

1. Sachant que $2 \:015 = 5 \times 403$ et en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x \:; y \:; 2 \:015)$.


2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $(2 n+1)^{2}+\left(2 n^{2}+2 n\right)^{2}=\left(2 n^{2}+2 n+1\right)^{2}$.
Déterminer un TP de la forme $(2\: 015 \:; y \:; z)$.


3. a. En remarquant que $403^2 = 169 \times 961$, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls $(x \:; z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x \lt 403$.


b. En déduire un TP de la forme $(x \:; 2\: 015 \:; z)$.

130

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Chercher.]
Le numéro INSEE d’une personne est inscrit sur sa carte vitale. Ce numéro d’identification unique $\text{A}$ de chaque individu est formé de $13$ chiffres :

• le sexe (1 pour un homme et 2 pour une femme) ;
• l’année de naissance (les deux derniers chiffres) ;
• le mois de naissance (écrit avec deux chiffres) ;
• le lieu de naissance (cinq chiffres correspondant au département et à la commune) ;
• le numéro d’ordre d’inscription des naissances dans la commune (3 chiffres).

Une clé de contrôle $\text{K}$ de deux chiffres complète le numéro INSEE.
La clé est calculée de la manière suivante : on calcule le reste $r$ de la division de l’identifiant $\text{A}$ par $97$ et on pose alors : $\text{K} = 97 - r$.

1. On donne le numéro INSEE suivant : $2021299320121$. Déterminer la clé de contrôle de ce numéro.


2. a. En remarquant que $\text A = \text S \times 10^12 + \text N \times 10^6 +\text M$ où $\text{S}$, $\text{N}$ et $\text{M}$ sont des entiers naturels, montrer que $\text A \equiv 50\text S + 27\text N +\text M[97]$.


b. En déduire que $\text K = 97 -r_1$ où $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $50\text S + 27\text N +\text M$ par $97$.


3. a. On suppose que lors d’une saisie d’un code INSEE, une erreur est commise sur le premier chiffre de l’identifiant. Montrer que cette erreur est détectée par la clé.


b. Montrer qu’une erreur sur un, et un seul, des chiffres du nombre $\text{N}$ est détectée par la clé.


c. Montrer que si l’on intervertit les deux premiers chiffres du nombre $\text{N}$, l’erreur est détectée par la clé.

131

DEVOIR MAISON

[Chercher, Calculer.]
Critères de divisibilité

On souhaite poursuivre l’étude de critères de divisibilité tels que ceux démontrés aux exercices et .

Partie A : Critère de divisibilité par 5 et par 10

1. Montrer qu’un nombre entier $\text{N}$ est divisible par $10$ si, et seulement si, son chiffre des unités est $0$.




2. Montrer qu’un nombre entier $\text{N}$ est divisible par $5$ si, et seulement si, son chiffre des unités est $5$ ou $0$.


Partie B : Critère de divisibilité par 11

1. Montrer qu’un nombre entier $\text{N}$ est divisible par $11$ si, et seulement si, la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par $11$.




2. En utilisant ce critère de divisibilité, déterminer si le nombre $1\,067$ est divisible par $11$.
Le nombre $333$ est-il divisible par $11$ ?