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D’après bac S, Centres étrangers, juin 2015
Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls
(x;y;z) tels que
x2+y2=z2.
Ces triplets sont nommés
triplets pythagoriciens, en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi
(3;4;5) est un TP car
32+42=52.
Partie A : Généralités
1. Démontrer que si
(x;y;z) est un TP et
p un entier naturel non nul, alors
(px;py;pz) est aussi un TP.
2. Démontrer que si
(x;y;z) est un TP, alors les entiers naturels
x,
y et
z ne peuvent pas être tous les trois impairs.
3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel
n non nul peut s’écrire de façon unique sous la forme du produit d’une puissance de
2 par un entier impair :
n=2α×k , où
α est un entier naturel (éventuellement nul) et
k un entier naturel impair. L’écriture
n=2α×k sera nommée décomposition de
n dans la suite du problème.
Voici par exemple les décompositions des entiers
9 et
120 :
9=20×9 et
120=23×15.
a. Donner la décomposition de l’entier
192.
b. Soient
x et
z deux entiers naturels non nuls dont les décompositions sont
x=2α×k et
z=2β×m.
Écrire la décomposition des entiers naturels
2x2 et
z2.
c. En examinant l’exposant de
2 dans la décomposition de
2x2 et dans celle de
z2, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls
(x;z) tels que
2x2=z2.
On admet que la question
3. de la partie
A. permet d’établir que les trois entiers naturels
x,
y et
z sont deux à deux distincts. Comme, de plus, les entiers naturels
x et
y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP
(x;y;z), les trois entiers naturels
x,
y et
z seront rangés dans l’ordre suivant :
x<y<z.
Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier 2015
1. Sachant que
2015=5×403 et en utilisant le TP
donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme
(x;y;2015).
2. On admet que, pour tout entier naturel
n, on a :
(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2.
Déterminer un TP de la forme
(2015;y;z).
3.
a. En remarquant que
4032=169×961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls
(x;z) tels que :
z2−x2=4032, avec
x<403.
b. En déduire un TP de la forme
(x;2015;z).