1

Soient trois entiers \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c}. On dit que \boldsymbol{a} divise \boldsymbol{b} lorsqu'il existe un entier relatif \boldsymbol{k} tel que \boldsymbol{b = k \times a}. On note \boldsymbol{a \ |\ b}. De plus, si \boldsymbol{a \ |\ b} et \boldsymbol{a \ |\ c}, alors, pour tous entiers \boldsymbol{m} et \boldsymbol{n}, \boldsymbol{a \ |\ (mb + nc)}. Cela permet de :

✔ déterminer les diviseurs d'un entier ;
✔ montrer qu'un entier b est divisible par un entier a ;
✔ déterminer des solutions entières d'équations en se ramenant à une équation du type \text{A} \times \text{B} = \text{C} où les diviseurs de \text{C} sont connus ;
✔ déterminer les diviseurs communs à deux entiers.

2

Soient deux entiers \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} avec \boldsymbol{b} strictement positif. Effectuer la division euclidienne de \boldsymbol{a} par \boldsymbol{b}, c'est déterminer l'unique couple d'entiers \boldsymbol{(q\ {;}\ r)} tel que \boldsymbol{a = bq + r} et \mathbf{0} \leqslant \boldsymbol{r} \lt \boldsymbol{b}. Cela permet de :

✔ raisonner par disjonction de cas pour établir une divisibilité ;
✔ résoudre des problèmes de codage (clé de contrôle).

3

Soient deux entiers relatifs \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b}, et \boldsymbol{m} un entier naturel non nul. \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont congrus modulo \boldsymbol{m} lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par \boldsymbol{m}. On note \boldsymbol{a \equiv b [m]} . De plus, \boldsymbol{a} \equiv \boldsymbol{b}[\boldsymbol{m}] \Leftrightarrow \boldsymbol{m} |(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}). Cela permet de :

✔ établir les propriétés sur les congruences (compatibilité avec l'addition et la multiplication) ;
✔ établir un test de divisibilité ;
✔ étudier des problèmes de chiffrement ;
✔ résoudre une équation du type ax \equiv b [m].