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Mathématiques 6e 2016

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Les nombres décimaux
Ouverturep. 35
1. Les différentes facettes des nombres décimaux
Coursp. 36-39
2. Comparer des nombres décimaux
Coursp. 40-42
3. Valeurs approchées
Coursp. 43-44
Les nombres décimaux
Coursp. 45
Exercices
Exercicesp. 46-50
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
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Dossier d'actualité
Chapitre 2
Pas à pas

1. Les différentes facettes des nombres décimaux

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a. La tour Burj Khalifa (Émirats arabes unis) est haute de 828 mètres, soit 100 fois la hauteur du collège de Mehdi. Quelle est la hauteur du collège de Mehdi ?
b. Quelle est la nature de ce nombre ? Est-il entier ?
c. Que représentent les chiffres 2 et 8 ici ? Attention, le 8 est utilisé deux fois.
d. L'immeuble de Mehdi mesure 8,28 m \times 10 = 82,8 m. Que représentent alors les chiffres 2 et 8 ici ?
  • Rappel : différents types de nombres
    • Le résultat de la division de 1 par 2 est {1 \div2 = 0,5}.
    • \dfrac{1}{2} et 0,5 sont deux écritures différentes pour le même nombre. 
    • Le nombre 2 peut aussi s'écrire 2,0. C'est un nombre entier et un nombre décimal !

Placeholder pour Photographie du Burj Khalifa à Dubaï, gratte-ciel imposant vu de face, entouré d'une fontaine turquoise.Photographie du Burj Khalifa à Dubaï, gratte-ciel imposant vu de face, entouré d'une fontaine turquoise.
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A
Écrire les nombres décimaux

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Retenir

  • Un nombre décimal est le quotient (ou la fraction) d'un nombre entier sur 10, 100, 1 000, etc.
    • \dfrac{5}{10}
  • La fraction décimale d'un nombre décimal est son écriture sous forme de fraction d'un entier sur 10 ; 100 ou 1 000 ; etc.
    • \dfrac{828}{100}
  • L'écriture décimale d'un nombre décimal est son écriture sous forme de nombre à virgule.
    • 8\text{,}28
Remarque : Un nombre décimal s'écrit toujours avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples :
  • 8,28 ; 5 ; 7,99 ; etc.
  • \dfrac{1}{3} = 0 \text{,}333~333~3… n'est pas un nombre décimal !
Remarque :  Certains zéros peuvent ne pas être utiles dans une écriture décimale. Ils sont situés soit en début, soit en fin de nombre.
Exemples :
  • Dans 0 203,506 il y a un zéro « inutile » : 0 203,506.
  • Dans 10,350 0 il y a deux zéros « inutiles » : 10,350 0.
  • Dans 0,123 il n'y a pas de zéros « inutiles ».
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Refaire
Passer de l'écriture fractionnaire décimale à l'écriture décimale

Écrire \dfrac{7\:828\:193}{1\:000} en forme décimale et donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale.

  • \dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = \dfrac{7\:828\:000+100+90+3}{1\:000}

  • En effet, en divisant par 1 000 on a juste besoin de sortir les centaines, les dizaines et les unités de 7 828 193.

  • \dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = \dfrac{7\:828\:000}{1\:000} + \dfrac{100}{1\:000} + \dfrac{90}{1\:000} + \dfrac{3}{1\:000}

  • \dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = 7\:828 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{100} + \dfrac{3}{1\:000}

  • \dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = 7\:828 + 0\text{,}1 + 0\text{,}09 + 0\text{,}003

  • \dfrac{7\:828\:193}{1\:000}= 7\:828\text{,}193

Placeholder pour Tableau illustrant la décomposition du nombre 7828,193.Tableau illustrant la décomposition du nombre 7828,193.
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Exercice 1
Écrire les nombres suivants en écriture décimale et donner le rang de chaque chiffre

Fractions Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes Dix-millièmes
\dfrac{741}{10}
\dfrac{9\:841}{1\:000}
\dfrac{547}{1\:000}
\dfrac{8\:742}{10}
\dfrac{45}{1\:000}
\dfrac{114}{10\:000}
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Exercice 2
Donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale des nombres suivants

Écriture décimale Dizaines de milliers Milliers Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes Dix-millièmes
1,27
3,91
781
475,05
974,15
0,004
874,53
457,53
10 000,009
124,59
6,485
0,154 7
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Refaire
Passer de l'écriture décimale à l'écriture fractionnaire décimale

Mettre 452\text{,}267 sous forme de fraction décimale.
  • 452\text{,}267 = 452 + 0\text{,}267

  • 452\text{,}267 = 452 + \dfrac{267}{1\:000}

  • 452\text{,}267 = \dfrac{452\:000}{1\:000} + \dfrac{267}{1\:000}

  • 452\text{,}267 = \dfrac{452\:267}{1\:000}
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Exercice 3
Mettre les nombres suivants sous forme de fraction décimale

1. 4,78
2. 5,63
3. 0,387
4. 988,12
5. 0,003
6. 7,893
7. 1,387
8. 852,368
9. 52,39
10. 12,287
11. 0,030 7
12. 740,005
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B
Multiplier et diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

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Découvrir

a. Calculer 4,327 \times 10 et 4,327 \times 100 et 4,327 \div 10.
b. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 3 (quel est le chiffre des dixièmes dans 4,327) ?
c. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 7 (quel est le chiffre des millièmes dans 4,327) ?
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Retenir

  • Multiplier un nombre par 10 revient à décaler le nombre d'un cran vers la gauche.
    • Placeholder pour Illustration : multiplication par 10. Déplacement de la virgule dans un tableau numérique coloré. Méthode expliquée visuellement.Illustration : multiplication par 10. Déplacement de la virgule dans un tableau numérique coloré. Méthode expliquée visuellement.
  • Quand il n'y a pas assez de chiffres à droite, on rajoute des zéros.
    • 15 \times 10 = 15\text{,}0 \times 10 = 150
  • Multiplier un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la gauche. 
    • 2 \text{,}386~78 \times 100 = 238\text{,}678 et 15\text{,}2 \times 100 = 1 \: 520
  • Multiplier un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la gauche. 
    • 2 \text{,} 386~78 \times 1 \: 000 = 2 \: 386 \text{,} 78 et 15\text{,}2 \times 1\:000 = 15\:200
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Retenir

  • Diviser un nombre par 10 revient à décaler le nombre d'un cran vers la droite.
    • 1\:635\text{,}7 \div 10 = 163\text{,}57
  • Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres à gauche, on rajoute un zéro « inutile ».
    • 3\text{,}4 \div 10 = 03\text{,}4 \div 10 = 0\text{,}34
    Placeholder pour Illustration : deux mains manipulent des chiffres colorés pour expliquer une division. Opération mathématique.Illustration : deux mains manipulent des chiffres colorés pour expliquer une division. Opération mathématique.

  • Diviser un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la droite.
    • 981\text{,}35 \div 100 = 9\text{,}813~5 et 17\text{,}35 \div 100 = 0\text{,}173~5
  • Diviser un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la droite.  
    • 4\:172 \div 1\:000 = 4\:172\text{,}0 \div 1\:000 = 4\text{,}172
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Refaire
Effectuer des multiplications et des divisions consécutives par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

Multiplier 359,89 par 10 puis diviser le résultat par 100. Quelle opération permet d'obtenir directement les résultats ?
  • Dans la multiplication par 10, les unités deviennent des dizaines, les centaines des milliers et les dixièmes des unités. Dans la division par 100, les unités deviennent des centièmes, les centaines des unités et les dixièmes des millièmes. On peut écrire le tableau suivant.
Placeholder pour Schéma illustrant la multiplication et la division de nombres décimaux par 10 et 100. Déplacement de la virgule expliqué avec des flèches.Schéma illustrant la multiplication et la division de nombres décimaux par 10 et 100. Déplacement de la virgule expliqué avec des flèches.

  • 10 \times 359 \text{,} 89 = 3 \: 598 \text{,} 9.
  • 10 \times 359 \text{,} 89 \div 100 = 35 \text{,} 989.
  • Finalement, cela revient à faire une division par 10.
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Exercice 4
Effectuer l'opération demandée puis en donner la valeur des chiffres qui composent le résultat

1. 154,39 \times 10
2. 1 423,598 \times 100
3. 0,012 45 \times 1 000
4. 0,457 \div 10
5. 987,123 \div 100
6. 1,234 \div 1 000
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