Mathématiques 6e

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Du primaire au collège

Ch. 1

Manipuler les nombres entiers

Ch. 2

Les nombres décimaux

Ch. 3

Addition, soustraction

Ch. 4

Multiplication, division décimale

Ch. 5

Fractions

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Construction de droites

Ch. 8

Distances et cercles

Ch. 9

Angles

Ch. 10

Symétrie axiale

Ch. 11

Triangles, rectangles et losanges

Ch. 12

Aire et périmètre

Ch. 13

Volumes

Chapitre 2

Pas à pas

1. Les différentes facettes des nombres décimaux

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Découvrir

a. La tour Burj Khalifa (Émirats arabes unis) est haute de 828 mètres, soit 100 fois la hauteur du collège de Mehdi. Quelle est la hauteur du collège de Mehdi ?
b. Quelle est la nature de ce nombre ? Est-il entier ?
c. Que représentent les chiffres 2 et 8 ici ? Attention, le 8 est utilisé deux fois.
d. L'immeuble de Mehdi mesure 8,28 m

\times

10 = 82,8 m. Que représentent alors les chiffres 2 et 8 ici ?

Rappel : différents types de nombres

Le résultat de la division de 1 par 2 est $1 \div 2 = 0, 5 .$
$\frac{1}{2}$ et 0,5 sont deux écritures différentes pour le même nombre.
Le nombre 2 peut aussi s'écrire 2,0. C'est un nombre entier et un nombre décimal !

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A
Écrire les nombres décimaux

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Retenir

Un nombre décimal est le quotient (ou la fraction) d'un nombre entier sur 10, 100, 1 000, etc.

$\frac{5}{1 0}$

La fraction décimale d'un nombre décimal est son écriture sous forme de fraction d'un entier sur 10 ; 100 ou 1 000 ; etc.

$\frac{8 2 8}{1 0 0}$

L'écriture décimale d'un nombre décimal est son écriture sous forme de nombre à virgule.

$8, 28$

Remarque : Un nombre décimal s'écrit toujours avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples :

8,28 ; 5 ; 7,99 ; etc.
$\frac{1}{3} = 0, 3333333$ … n'est pas un nombre décimal !

Remarque : Certains zéros peuvent ne pas être utiles dans une écriture décimale. Ils sont situés soit en début, soit en fin de nombre.
Exemples :

Dans 0 203,506 il y a un zéro « inutile » : 0 203,506.
Dans 10,350 0 il y a deux zéros « inutiles » : 10,350 0.
Dans 0,123 il n'y a pas de zéros « inutiles ».

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Refaire
Passer de l'écriture fractionnaire décimale à l'écriture décimale

Écrire

\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0}

en forme décimale et donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale.

$\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0} = \frac{7 8 2 8 0 0 0 + 1 0 0 + 9 0 + 3}{1 0 0 0}$

En effet, en divisant par 1 000 on a juste besoin de sortir les centaines, les dizaines et les unités de 7 828 193.

$\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0} = \frac{7 8 2 8 0 0 0}{1 0 0 0} + \frac{1 0 0}{1 0 0 0} + \frac{9 0}{1 0 0 0} + \frac{3}{1 0 0 0}$

$\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0} = 7828 + \frac{1}{1 0} + \frac{9}{1 0 0} + \frac{3}{1 0 0 0}$

$\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0} = 7828 + 0, 1 + 0, 09 + 0, 003$

$\frac{7 8 2 8 1 9 3}{1 0 0 0} = 7828, 193$

Tableau des milliers, centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes et millièmes.

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Exercice 1
Écrire les nombres suivants en écriture décimale et donner le rang de chaque chiffre

Fractions	Centaines	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes	Dix-millièmes
$\frac{7 4 1}{1 0}$
$\frac{9 8 4 1}{1 0 0 0}$
$\frac{5 4 7}{1 0 0 0}$
$\frac{8 7 4 2}{1 0}$
$\frac{4 5}{1 0 0 0}$
$\frac{1 1 4}{1 0 0 0 0}$

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Exercice 2
Donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale des nombres suivants

Écriture décimale	Dizaines de milliers	Milliers	Centaines	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes	Dix-millièmes
1,27
3,91
781
475,05
974,15
0,004
874,53
457,53
10 000,009
124,59
6,485
0,154 7

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Refaire
Passer de l'écriture décimale à l'écriture fractionnaire décimale

Mettre

452, 267

sous forme de fraction décimale.

$452, 267 = 452 + 0, 267$

$452, 267 = 452 + \frac{2 6 7}{1 0 0 0}$

$452, 267 = \frac{4 5 2 0 0 0}{1 0 0 0} + \frac{2 6 7}{1 0 0 0}$

$452, 267 = \frac{4 5 2 2 6 7}{1 0 0 0}$

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Exercice 3
Mettre les nombres suivants sous forme de fraction décimale

1. 4,78

2. 5,63

3. 0,387

4. 988,12

5. 0,003

6. 7,893

7. 1,387

8. 852,368

9. 52,39

10. 12,287

11. 0,030 7

12. 740,005

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B
Multiplier et diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

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Découvrir

a. Calculer 4,327

\times

10 et 4,327

\times

100 et 4,327

\div

10.
b. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 3 (quel est le chiffre des dixièmes dans 4,327) ?
c. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 7 (quel est le chiffre des millièmes dans 4,327) ?

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Retenir

Multiplier un nombre par 10 revient à décaler le nombre d'un cran vers la gauche.

Illustration du décalage de la virgule dans un tableau.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Quand il n'y a pas assez de chiffres à droite, on rajoute des zéros.

$15 \times 10 = 15, 0 \times 10 = 150$

Multiplier un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la gauche.

$2, 38678 \times 100 = 238, 678$ et $15, 2 \times 100 = 1520$

Multiplier un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la gauche.

$2, 38678 \times 1000 = 2386, 78$ et $15, 2 \times 1000 = 15200$

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Diviser un nombre par 10 revient à décaler le nombre d'un cran vers la droite.

$1635, 7 \div 10 = 163, 57$

Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres à gauche, on rajoute un zéro « inutile ».

$3, 4 \div 10 = 03, 4 \div 10 = 0, 34$

Illustration du décalage du chiffre lors d'une division.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Diviser un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la droite.

$981, 35 \div 100 = 9, 8135$ et $17, 35 \div 100 = 0, 1735$

Diviser un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la droite.

$4172 \div 1000 = 4172, 0 \div 1000 = 4, 172$

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Refaire
Effectuer des multiplications et des divisions consécutives par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

Multiplier 359,89 par 10 puis diviser le résultat par 100. Quelle opération permet d'obtenir directement les résultats ?

Dans la multiplication par 10, les unités deviennent des dizaines, les centaines des milliers et les dixièmes des unités. Dans la division par 100, les unités deviennent des centièmes, les centaines des unités et les dixièmes des millièmes. On peut écrire le tableau suivant.

Tableau récapitulatif pour effectuer des multiplication et des divisions consécutives par 10, 100 et 1 000.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

$10 \times 359, 89 = 3598, 9$ .
$10 \times 359, 89 \div 100 = 35, 989$ .
Finalement, cela revient à faire une division par 10.

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Exercice 4
Effectuer l'opération demandée puis en donner la valeur des chiffres qui composent le résultat

1. 154,39

\times

2. 1 423,598

\times

100

3. 0,012 45

\times

1 000

4. 0,457

\div

5. 987,123

\div

100

6. 1,234

\div

1 000

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Exercice 1
Écrire les nombres suivants en écriture décimale et donner le rang de chaque chiffre

Exercice 2
Donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale des nombres suivants

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Mettre les nombres suivants sous forme de fraction décimale

B
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Effectuer des multiplications et des divisions consécutives par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

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Exercice 1Écrire les nombres suivants en écriture décimale et donner le rang de chaque chiffre

Exercice 2Donner le rang de chaque chiffre dans l'écriture décimale des nombres suivants

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Exercice 3Mettre les nombres suivants sous forme de fraction décimale

BMultiplier et diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

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