1. Les différentes facettes des nombres décimaux

a. La tour Burj Khalifa (Émirats arabes unis) est haute de 828 mètres, soit 100 fois la hauteur du collège de Mehdi. Quelle est la hauteur du collège de Mehdi ?
b. Quelle est la nature de ce nombre ? Est-il entier ?
c. Que représentent les chiffres 2 et 8 ici ? Attention, le 8 est utilisé deux fois.
d. L’immeuble de Mehdi mesure 8,28 m $\times$ 10 = 82,8 m. Que représentent alors les chiffres 2 et 8 ici ?

► Rappel : différents types de nombres
▸ Le résultat de la division de 1 par 2 est 1 $\div$ 2 = 0,5. ▸ $\dfrac{1}{2}$ et 0,5 sont deux écritures différentes pour le même nombre.  ▸ Le nombre 2 peut aussi s’écrire 2,0. C’est un nombre entier et un nombre décimal !

► Un nombre décimal est le quotient (ou la fraction) d’un nombre entier sur 10, 100, 1 000, etc. ▸ $\dfrac{5}{10}$

► La fraction décimale d’un nombre décimal est son écriture sous forme de fraction d’un entier sur 10 ; 100 ou 1 000 ; etc. ▸ $\dfrac{828}{100}$
► L’écriture décimale d’un nombre décimal est son écriture sous forme de nombre à virgule. ▸ $8\text{,}28$
Remarque ▸ Un nombre décimal s’écrit toujours avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Exemples ▸ 8,28 ; 5 ; 7,99 ; etc.
▸ $\dfrac{1}{3} = 0 \text{,}3333333$… n’est pas un nombre décimal !

Remarque ▸ Certains zéros peuvent ne pas être utiles dans une écriture décimale. Ils sont situés soit en début, soit en fin de nombre.
Exemples ▸ Dans 0203,506 il y a un zéro « inutile » : 0203,506.
▸ Dans 10,3500 il y a deux zéros « inutiles » : 10,3500.
▸ Dans 0,123 il n’y a pas de zéros « inutiles ».

Écrire $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000}$ en forme décimale et donner le rang de chaque chiffre dans l’écriture décimale.

▸ $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = \dfrac{7\:828\:000+100+90+3}{1\:000}$ 

▸ En effet, en divisant par 1 000 on a juste besoin de sortir les centaines, les dizaines et les unités de 7 828 193.

▸ $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = \dfrac{7\:828\:000}{1\:000} + \dfrac{100}{1\:000} + \dfrac{90}{1\:000} + \dfrac{3}{1\:000}$

▸ $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = 7\:828 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{100} + \dfrac{3}{1\:000}$

▸ $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000} = 7\:828 + 0\text{,}1 + 0\text{,}09 + 0\text{,}003$

▸ $\dfrac{7\:828\:193}{1\:000}= 7\:828\text{,}193$

Refaire : Passer de l’écriture fractionnaire décimale à l’écriture décimale.

Mettre $452\text{,}267$ sous forme de fraction décimale.

▸ $452\text{,}267 = 452 + 0\text{,}267$

▸ $452\text{,}267 = 452 + \dfrac{267}{1\:000}$

▸ $452\text{,}267 = \dfrac{452\:000}{1\:000} + \dfrac{267}{1\:000}$

▸ $452\text{,}267 = \dfrac{452\:267}{1\:000}$

Exercice 1 : Écrire les nombres suivants en écriture décimale.

1

Donner le rang de chaque chiffre.

Exercice 2 : Donner le rang de chaque chiffre.

1

Dans l'écriture décimale des nombres suivants.

Exercice 3 : Mettre les nombres suivants sous forme de fraction décimale.

1

4,78

2

5,63

3

0,387

4

988,12

5

0,003

6

7,893

7

1,387

8

852,368

9

52,39

10

12,287

11

0,0307

12

740,005

a. Calculer 4,327 $\times$ 10 et 4,327 $\times$ 100 et 4,327 $\div$ 10.
b. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 3 (quel est le chiffre des dixièmes dans 4,327) ?
c. Dans chaque cas, quel est le rang du chiffre 7 (quel est le chiffre des millièmes dans 4,327) ?

► Multiplier un nombre par 10 revient à décaler le nombre d’un cran vers la gauche.
► Quand il n'y a pas assez de chiffres à droite, on rajoute des zéros "inutiles".
$\quad$▸ $15 \times 10 = 15\text{,}0 \times 10 = 150$
►Multiplier un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la gauche. 
$\quad$
$\quad$▸ $2 \text{,}38678 \times 100 = 238\text{,}678$ et $15\text{,}2 \times 100 = 1 \: 520$
► Multiplier un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la gauche.  ▸ $2 \text{,} 38678 \times 1 \: 000 = 2 \: 386 \text{,} 78$ et $15\text{,}2 \times 1\:000 = 15\:200$

► Diviser un nombre par 10 revient à décaler le nombre d’un cran vers la droite.
$\quad$▸ $1\:635\text{,}7 \div 10 = 163\text{,}57$
► Lorsqu’il n’y a pas assez de chiffres à gauche, on rajoute un zéro « inutile ».
$\quad$▸ $3\text{,}4 \div 10 = 03\text{,}4 \div 10 = 0\text{,}34$
► Diviser un nombre par 100 revient à décaler le nombre de deux crans vers la droite. 
$\quad$▸ $981\text{,}35 \div 100 = 9\text{,}8135$ et $17\text{,}35 \div 100 = 0\text{,}1735$
► Diviser un nombre par 1 000 revient à décaler le nombre de trois crans vers la droite.  
$\quad$▸ $4\:172 \div 1\:000 = 4\:172\text{,}0 \div 1\:000 = 4\text{,}172$

Multiplier 359,89 par 10 puis diviser le résultat par 100. Quelle opération permet d’obtenir directement les résultats ?

► Dans la multiplication par 10, les unités deviennent des dizaines, les centaines des milliers et les dixièmes des unités. Dans la division par 100, les unités deviennent des centièmes, les centaines des unités et les dixièmes des millièmes. On peut écrire le tableau suivant.

Refaire : Effectuer des multiplications et des divisions consécutives par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.

• $10 \times 359 \text{,} 89 = 3 \: 598 \text{,} 9$.
• $10 \times 359 \text{,} 89 \div 100 = 35 \text{,} 989$.
• Finalement, cela revient à faire une division par 10.

Exercice 4 : Effectuer l'opération demandée puis en donner la valeur des chiffres qui composent le résultat.

1

154,39 $\times$ 10

2

1 423,598 $\times$ 100

3

0,01245 $\times$ 1 000

4

0,457 $\div$ 10

5

987,123 $\div$ 100

6

1,234 $\div$ 1 000