2. Comparer des nombres décimaux

Voici les tailles des membres de la famille d’Arthur, exprimées en mètres.

a. Découper une bande de papier millimétré et placer les membres de la famille selon leur taille sur un axe.
b. Pour une photographie, la famille se range du plus petit au plus grand. Dans quel ordre seront-ils positionnés ? 
c. La meilleure amie d’Arthur fait 1,39 m. Est-elle plus grande que lui ?

► Comparer deux nombres, c’est dire si l’un est (strictement) plus petit que l’autre ou s’ils sont égaux.
► Avec $a$ et $b$ deux nombres, on a les notations suivantes.
► Ranger une liste de nombres par ordre croissant, c’est ranger ses nombres du plus petit au plus grand. La ranger par ordre décroissant, c’est ranger ses nombres du plus grand au plus petit.

Exemples ▸ 1 ; 4,57 ; 7,8 ; 9,001 est une liste rangée par ordre croissant.
▸ 9,001 ; 7,8 ; 4,57 ; 1 est une liste rangée par ordre décroissant.

Remarque ▸ Une fois qu’une liste de nombres est rangée par ordre croissant, il suffit de la prendre à l’envers pour la ranger par ordre décroissant.

► Encadrer un nombre, c’est trouver un autre nombre strictement plus grand et un autre nombre strictement plus petit. ▸ 7 est encadré par 6,9 et 7,1 : 6,9 < 7 < 7,1. ► Intercaler un nombre entre deux autres nombres $a$ et $b$, c’est trouver un nombre $x$ qui est compris entre $a$ et $b$ : $a<x<b$. ▸ On peut intercaler 2,54 entre 2,5 et 2,6 : 2,5 < 2,54 < 2,6. Pour faire cela facilement, on se rappelle que 2,5 = 2,50 et 2,6 = 2,60. On a alors bien 2,50 < 2,54 < 2,60.

Remarque ▸ Pour intercaler un nombre dans une liste triée, il faut le placer entre le nombre qui est juste « au-dessus » et celui qui est juste « en dessous ».

Comparer les nombres suivants : 0,99 et 2,01 puis 21,3 et 21,19.

Pour comparer des nombres en écriture décimale, on suit la méthode suivante :
► Ici, avec 0,99 et 2,01 : ▸ La partie entière de 0,99 est 0. Celle de 2,01 est 2. ▸ 0 < 2 : les parties entières sont différentes, donc 0,99 < 2,01. ► Avec 21,3 et 21,19 : ▸ La partie entière de 21,3 et 21. Celle de 21,19 est 21. ▸ 21 = 21 : les parties entières sont égales, on compare donc les chiffres des dixièmes. ▸ 3 > 1, donc 21,3 > 21,19.

Astuce : petit < GROS, GROS > petit.

Exercice 5 : Comparer les couples de nombres décimaux suivants.

1

2,78 et 2,82

2

1,751 et 1,3

3

4,59741 et 510

4

187 451,1 et 0,2

5

1,40000 et 1,4

6

5,15 et 5,98

7

7,54 et 6,91

8

7,963 et 8

9

42,42 et 42,142

Ranger la liste de nombres suivants par ordre décroissant : 0,43 ; 5,2 ; 7,99 ; 2,5 ; 9 ; 52 ; 13,127 ; 8. Placer 8,3 dans cette liste.

► On compare les différents nombres pour établir qui est le plus grand, et ainsi de suite. On obtient 52 > 13,127 > 9 > 8 > 7,99 > 5,2 > 2,5 > 0,43. On peut aussi, lorsque les nombres le permettent, les placer sur un axe puis « lire » l’axe dans le sens désiré.
► En lisant la liste, on voit que tous les nombres supérieurs à 8,3 sont 9 ; 13,127 et 52. Le plus petit est 9.
► Les nombres de la liste inférieurs à 8,3 sont 0,43 ; 2,5 ; 5,2 ; 7,99 ; 8. Le plus grand est 8. On intercale 8,3 entre 8 et 9 et on obtient la liste triée : ▸ 52 > 13,127 > 9 > 8,3 > 8 > 7,99 > 5,2 > 2,5 > 0,43.

Exercice 6 : Placer les nombres suivants sur une droite graduée. En déduire un rangement en ordre croissant.

1

5,1 ; 4,3 ; 7,8 ; 0,1 ; 7,8 ; 3,6.

2

7,8 ; 3,5 ; 8,8 ; 0,5 ; 0,6.

3

8,89 ; 8,78 ; 8,59 ; 9,32 ; 9,21.

Exercice 7 : Trier par ordre croissant les listes de nombres suivants. Y placer le nombre 12,357.

1

2,45 ; 10 154 ; 0,354 ; 5,10.

2

12,0 ; 5,4 ; 2 ; 87,4511 ; 87,4523.

3

0 ; 12,457 ; 78 ; 42,42 ; 89,1 ; 41,144 ; 1,45721455.

Intercaler un nombre entre 5,57 et 5,58.

▸ Par exemple 5,57 < 5,575 < 5,58. Pour se faciliter la tâche, on se rappelle que 5,57 = 5,570 !

Exercice 8 : Intercaler un nombre entre les couples de nombres suivants.

1

7,1 et 7,2

2

8 et 9

3

0,014 et 0,016

4

1,69 et 1,7

5

5,4587 et 5,4588

6

597,841 et 598,841

7

52,3 et 53,2

8

999,99 et 1 000

9

21,3 et 51,2

Exercice 9 : Intercaler deux nombres entre les couples de nombres suivants.

1

4,8 et 4,9

2

5 et 5,5

3

0,02 et 0,2

4

98 et 100

5

54 et 54,05

6

49 et 50,2