Chapitre 16
Synthèse
Triangles
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56
Dans chaque cas, donner la nature du
triangle \mathrm{ABC}.
1. \widehat{\mathrm{ABC}}=56^{\circ} et \widehat{\mathrm{BAC}}=34^{\circ}.
2. \widehat{\mathrm{ABC}}=60^{\circ} et \widehat{\mathrm{BAC}}=60^{\circ}.
3. \widehat{\mathrm{ABC}}=106^{\circ} et \widehat{\mathrm{BAC}}=37^{\circ}.
4. \widehat{\mathrm{ABC}}=32^{\circ} et \widehat{\mathrm{BAC}}=74^{\circ}.
5. \widehat{\mathrm{ABC}}=21^{\circ} et \widehat{\mathrm{BAC}}=21^{\circ}.
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57
\mathrm{RST} est un triangle rectangle et isocèle en \mathrm{T}.
Déterminer la mesure de ses trois angles.
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Les questions suivantes sont indépendantes,
mais utilisent le même quadrilatère ci-dessous.
1. Sachant que les segments [\mathrm{AB}] et [\mathrm{BD}] mesurent respectivement 7 \mathrm{cm} et 11 \mathrm{cm}, calculer le périmètre du quadrilatère \mathrm{ABDC}.
1. Sachant que les segments [\mathrm{AB}] et [\mathrm{BD}] mesurent respectivement 7 \mathrm{cm} et 11 \mathrm{cm}, calculer le périmètre du quadrilatère \mathrm{ABDC}.
2. Sachant que \mathrm{CB}=5 \mathrm{~cm} et que le périmètre
de \mathrm{BCD} est 17 \mathrm{cm}, calculer le périmètre du
quadrilatère \mathrm{ABDC}.
3. Sachant que le périmètre du triangle \mathrm{ABC}
est de 18 \mathrm{cm} et que celui du triangle \mathrm{BCD}
est de 16 \mathrm{cm}, calculer le périmètre du
quadrilatère \mathrm{ABDC}.
4. Sachant que le périmètre de \mathrm{ABDC} est
de 25 \mathrm{cm} et que celui de \mathrm{ABC} est de 12 \mathrm{cm},
calculer la longueur du segment [\mathrm{CD}].
5. Sachant que le périmètre de \mathrm{ABDC} est
de 38 \mathrm{cm} et que le périmètre de \mathrm{BCD} est
de 29 \mathrm{cm}, calculer le périmètre de \mathrm{ABC}.
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Voici un programme de construction.
1. Réaliser un schéma à main levée.
2. Réaliser la figure en vraie grandeur.
3. En justifiant, déterminer la nature du triangle \mathrm{GFE}.
- Tracer le segment [\mathrm{GF}] de longueur 7,5 \mathrm{cm}.
- Tracer la demi-droite [\mathrm{F} x) telle que \widehat{\mathrm{GFx}}=27^{\circ}.
- Tracer la demi-droite [\mathrm{G} y) qui coupe [\mathrm{F} x) telle que \widehat{\mathrm{FG} y}=63^{\circ}.
- Placer le point \mathrm{E} à l'intersection des deux demi-droites.
1. Réaliser un schéma à main levée.
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2. Réaliser la figure en vraie grandeur.
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GeoGebra
3. En justifiant, déterminer la nature du triangle \mathrm{GFE}.
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60
Quelle mesure doit avoir l'angle \widehat{\mathrm{CAB}} afin
que les points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{E} soient alignés ?
Justifier.
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61
On considère la figure ci-dessous.
2. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BEF}}.
1.
a. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}.
b. En déduire que les points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{D} sont
alignés.
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62
[\mathrm{BC}] est un diamètre du cercle de centre \mathrm{A}.
\mathrm{D} est un point quelconque appartenant
à ce cercle. Le but de cet exercice est de
déterminer la nature du triangle \mathrm{BCD}.
1. En utilisant les propriétés du cercle,
déterminer la nature des triangles \mathrm{ABD} et
\mathrm{ACD}.
2. En se plaçant dans le triangle
\mathrm{BDC}, expliquer pourquoi on a
2 \times \widehat{\mathrm{ADC}}+2 \times \widehat{\mathrm{ADB}}=180^{\circ}.
3. En déduire que \widehat{\mathrm{ADC}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90^{\circ}.
4. En déduire la nature du triangle \mathrm{BCD}.
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63
Cet exercice a pour but de démontrer que le
point d'intersection des trois médiatrices du
triangle \mathrm{ABC} ci-dessous est le centre de son
cercle circonscrit.
1. (d) est la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
Démontrer que \mathrm{DA}=\mathrm{DB}.
2. De même, \left(d^{\prime}\right) et \left(d^{\prime \prime}\right) sont les médiatrices
respectives des segments [\mathrm{AC}] et [\mathrm{CB}].
Démontrer que \mathrm{DA}=\mathrm{DB}=\mathrm{DC}.
3. En déduire que le point \mathrm{D} est le centre du
cercle circonscrit au triangle \mathrm{ABC}.
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Club de maths
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64
Les points \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \mathrm{H} appartiennent
tous au même cercle de centre \mathrm{I} de telle sorte que
\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{BIC}}=\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{DIE}}=\widehat{\mathrm{EIF}}=\widehat{\mathrm{FIG}}=\widehat{\mathrm{GIH}}=\widehat{\mathrm{HIA}}.
Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{GEB}}.
Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{GEB}}.
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65
Comment obtenir
six triangles équilatéraux
de même taille en
déplaçant seulement
quatre allumettes ?
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