Transformations dans le plan et leurs effets

Définition :
Soient $\text{O}$ un point du plan et $k$ un réel non nul. On appelle homothétie de centre $\mathbf{O}$ et de rapport $\mathbf{k}$ la transformation qui à $\text{M}$ associe ${\mathrm{M}}^{\prime }$ de telle façon que $\mathrm{M},\mathrm{O},{\mathrm{M}}^{\prime }$ soient alignés et :

• si $k>0,$ on a ${\mathrm{OM}}^{\prime }=k\times \mathrm{OM};$
• si $k<0,$ on a ${\mathrm{OM}}^{\prime }=-k\times \mathrm{OM}.$

Selon le signe de $k,$ l'ordre des points est différent.
Selon la valeur de $k,$ la figure est réduite ($-1<k<1$) ou agrandie ($k<-1$ ou $k>1$).

Propriétés :
1. Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les mesures des angles.

2. La figure et son image par une homothétie ne sont superposables que si $k=1$ ou $k=-1.$

3. Si $k>0,$ les longueurs sont multipliées par $k$ et si $k<0,$ elles sont multipliées par $-k.$

4. Les aires sont multipliées par $k^2.$

Remarque : Si $k=1,$ alors $\text{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ sont confondus, et si $k=-1,$ alors $\text{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ sont symétriques par rapport à $\text{O.}$

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