Définition :
Soient \text{O} un point du plan et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre \mathbf{O} et de rapport \bm{k} la transformation qui à \text{M} associe \mathrm{M}^{\prime} de telle façon que \mathrm{M}, \mathrm{O}, \mathrm{M}^{\prime} soient alignés et :

• si k \gt 0, on a \mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM}~;
• si k \lt 0, on a \mathrm{OM}^{\prime}=-k \times \mathrm{OM}.

Selon le signe de k, l'ordre des points est différent.
Selon la valeur de k, la figure est réduite (-1 \lt k \lt 1) ou agrandie (k \lt -1 ou k \gt 1).

Propriétés :
1. Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les mesures des angles.

2. La figure et son image par une homothétie ne sont superposables que si k = 1 ou k = -1.

3. Si k \gt 0, les longueurs sont multipliées par k et si k \lt 0, elles sont multipliées par -k.

4. Les aires sont multipliées par k^2.

Remarque : Si k = 1, alors \text{M} et \mathrm{M}^{\prime} sont confondus, et si k = -1, alors \text{M} et \mathrm{M}^{\prime} sont symétriques par rapport à \text{O.}

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