Nombres et calculs

Rappels de seconde



Résolution d’équations, d’inéquations et de systèmes



Pour s'exercer


10
dd et dd^{\prime} sont deux droites d’équations respectives 2x4y=02x - 4y = 0 et 7y4x=5.7y - 4x = -5 .

Déterminer le point d’intersection de dd et d.d^{\prime}.

Il existe deux méthodes pour résoudre des systèmes :
la méthode par combinaisons linéaires et la méthode par substitution.

Pour s'exercer


9
En utilisant la méthode par substitution, résoudre le système suivant.

{3yx=24x5y=4\left\{\begin{array}{c}{3 y-x=2} \\ {4 x-5 y=4}\end{array}\right.

Exemple

Le système {3x+2y=12xy=0\left\{\begin{array}{l}{3 x+2 y=1} \\ {-2 x-y=0}\end{array}\right. a pour solution le couple (1;2).(-1\: ; 2).

Pour s'exercer


8
En utilisant la méthode par combinaisons linéaires, résoudre le système suivant.

{5x+3y=42x+6y=3\left\{\begin{array}{c}{5 x+3 y=4} \\ {-2 x+6 y=-3}\end{array}\right.

Calculs numérique et littéral



Pour s'exercer


7
Factoriser, à l’aide d’identités remarquables, les expressions algébriques suivantes définies sur R.\R .

1. x2+14x+49x^2 + 14x + 49

2. 9x230x+259x^2 - 30x + 25

3. t21681t^{2}-\dfrac{16}{81}

Pour s'exercer


6
Simplifier les nombres suivants.

1. 549\sqrt{\dfrac{5}{49}}

2. 5x2\sqrt{5 x^{2}}xx est un réel.

Pour s'exercer


5
Développer les expressions algébriques suivantes où xR.x \in \R.

1. (3x7)2(3 x-7)^{2}

2. (x23)(x+23)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)

3. (x+2)2(x+\sqrt{2})^{2}

Exemples

(y+3)2=y2+6y+9(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9
(2y7)2=4y228y+49(2 y-7)^{2}=4 y^{2}-28 y+49
(x+15)(x5)=x225(x+15)(x-5)=x^{2}-25

Exemples

(3)2=3(\sqrt{3})^{2}=3 et (3)2=3=3.\sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3.

Si xx est un réel strictement positif alors :
4x=4×x=2x\sqrt{4 x}=\sqrt{4} \times \sqrt{x}=2 \sqrt{x} et 4+x2+x.\sqrt{4+x} \leqslant 2+\sqrt{x}.

Pour tout nombre réel positif a,a , on a : (a)2=a.(\sqrt{a})^{2}=a.
Pour tout nombre réel a,a , on a2=a.\sqrt{a^{2}}=|a|.
Pour tous réels aa et bb positifs :
  • ab=a×b;\sqrt{a b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \: ;
  • si b0:ab=ab;b \neq 0 : \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \: ;
  • a+ba+b.\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}.

Pour tous les nombres réels aa et bb :
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \: ;
(ab)2=a22ab+b2;(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \: ;
(a+b)(ab)=a2b2.(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.

Ensembles de nombres et intervalles



N={0;1;2;}:\mathbb{N}=\{0\: ; 1\: ; 2\: ; \cdots\} : ensemble des entiers naturels.

Z={;2;1;0;1;2;}:\mathbb{Z}=\{\cdots \: ;-2\: ;-1 \: ; 0 \: ; 1 \: ; 2 \: ; \cdots\} : ensemble des entiers relatifs.

D={a10n,aZ et nN}:\mathbb{D}=\left\{\dfrac{a}{10^{n}}, a \in \mathbb{Z} \text { et } n \in \mathbb{N}\right\} : ensemble des nombres décimaux.

Q={ab,aZ et bN}:\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}, a \in \mathbb{Z} \text { et } b \in \mathbb{N}^{*}\right\} : ensemble des nombres rationnels.

R:\R \: : ensemble des nombres réels.

On a : NZDQR.\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Certains nombres réels ne sont pas rationnels.
On dit que ces nombres sont irrationnels.

Exemple

2=2|-2| = 2
La distance entre 3-3 et π\pi est (3)π=(3π)=π+3|(-3)-\pi|=-(-3-\pi)=\pi+3 puisque 3π<0.-3 -\pi \lt 0 .

Pour s'exercer


3
Déterminer la réunion et l’intersection des intervalles I\text{I} et J\text{J} suivants.

1. I=[4;7[\mathrm{I}=[-4 \: ; 7[ et J=[1;+[.\mathrm{J}=[1\: ;+\infty[.

2. I=[;2[\mathrm{I}=[-\infty \:; 2[ et J=[2;+[.\mathrm{J}=[2 \:;+\infty[.

Exemples

x[2;6]2x6x \in[-2\: ; 6] \Leftrightarrow-2 \leqslant x \leqslant 6

x];2[x<2x \in]-\infty\: ;-2[\Leftrightarrow x\lt-2

x[8;3]8x<3x \in[-8\: ;-3] \Leftrightarrow-8 \leqslant x\lt-3

Pour s'exercer


1
Déterminer la nature des nombres suivants.
5;54;5010\sqrt{5}\: ; \dfrac{5}{4}\: ;-\dfrac{50}{10} et 9.\sqrt{9}.


Soient aa et bb deux nombres réels.

x[a;b]axbx \in[a\: ; b] \Leftrightarrow a \leqslant x \leqslant b
x]a;b[a<x<bx \in] a\: ; b[\Leftrightarrow a \lt x \lt b

x[a,+]xax \in[a,+\infty] \Leftrightarrow x \geqslant a
x];a]xax \in]-\infty\: ; a] \Leftrightarrow x \leqslant a

On définit de même [a;b[,[ a\: ; b[, ]a;b],] a\: ; b], ];a[]-\infty\: ; a[ et ]a,+[.] a,+\infty[.

Exemple

I=[3;8[\text{I}=[3\: ; 8[ et  J=];4[\text{ J}=]-\infty\: ; 4[

On a : IJ=];8[\mathrm{I} \cup \mathrm{J}=]-\infty\: ; 8[ et IJ=[3;4[.\mathrm{I} \cap \mathrm{J}=[3\: ; 4[.

Exemple 1

5-5 est un entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un réel.

13\dfrac{1}{3} est un nombre rationnel et un nombre réel.

Exemple 2

π,\pi, 2\sqrt{2} et sin(60)\sin \left(60^{\circ}\right) sont des nombres irrationnels.

Pour s'exercer


2
Exprimer les nombres suivants sans la notation valeur absolue.

1. 35\left|-\dfrac{3}{5}\right|

2. 23|\sqrt{2}-3|

3. 532\left|5-\dfrac{3}{2}\right|

Pour s'exercer


4
Exprimer la distance entre les réels 55 et 132\dfrac{13}{2} sans la notation valeur absolue.


La valeur absolue, d’un nombre réel x,x , notée x,|x|, est la distance entre xx et 0.0.

La distance entre deux réels aa et bb est le nombre ab.|a - b|.
Si x0,x \geqslant 0, alors x=x.|x|= x . Si x0,x \leqslant 0, alors x=x.|x|= -x .

Soient I\text{I} et J\text{J} deux intervalles.
  • L’intersection de I\text{I} et J,\text{J,} notée IJ,\text{I} \cap \text{J}, est l’ensemble des réels qui appartiennent à I\text{ I} et à J.\text{J.}
  • La réunion de I\text{I} et J,\text{J,} notée IJ,\text{I} \cup \text{J}, est l’ensemble des réels qui appartiennent à I\text{I} ou à J.\text{J.}
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