$\mathbb{N}=\{0;1;2;\cdots \}:$ ensemble des entiers naturels.

$\mathbb{Z}=\{\cdots ;-2;-1;0;1;2;\cdots \}:$ ensemble des entiers relatifs.

$\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{10^n},a\in \mathbb{Z}\text{ et }n\in \mathbb{N}\right\}:$ ensemble des nombres décimaux.

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b},a\in \mathbb{Z}\text{ et }b\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}:$ ensemble des nombres rationnels.

$\mathbb{R}:$ ensemble des nombres réels.

On a : $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}.$ Certains nombres réels ne sont pas rationnels.
On dit que ces nombres sont irrationnels.

Exemple 1

$-5$ est un entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un réel.

$\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel et un nombre réel.

Exemple 2

$\pi ,$ $\sqrt{2}$ et $\sin \left(60^{\circ }\right)$ sont des nombres irrationnels.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

$x\in [a;b]\iff a⩽x⩽b$
$x\in ]a;b[\iff a<x<b$

$x\in [a,+\infty ]\iff x⩾a$
$x\in ]-\infty ;a]\iff x⩽a$

On définit de même $[a;b[,$ $]a;b],$ $]-\infty ;a[$ et $]a,+\infty [.$

Exemple

$x\in [-2;6]\iff -2⩽x⩽6$

$x\in ]-\infty ;-2[\iff x<-2$

$x\in [-8;-3]\iff -8⩽x<-3$

Soient $\text{I}$ et $\text{J}$ deux intervalles.

• L'intersection de $\text{I}$ et $\text{J,}$ notée $\text{I}\cap \text{J},$ est l'ensemble des réels qui appartiennent à$\text{ I}$ et à $\text{J.}$
• La réunion de $\text{I}$ et $\text{J,}$ notée $\text{I}\cup \text{J},$ est l'ensemble des réels qui appartiennent à $\text{I}$ ou à $\text{J.}$

Exemple

$\text{I}=[3;8[$ et $\text{ J}=]-\infty ;4[$

On a : $\mathrm{I}\cup \mathrm{J}=]-\infty ;8[$ et $\mathrm{I}\cap \mathrm{J}=[3;4[.$

La valeur absolue, d'un nombre réel $x,$ notée $|x|,$ est la distance entre $x$ et $0.$

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est le nombre $|a-b|.$
Si $x⩾0,$ alors $|x|=x.$ Si $x⩽0,$ alors $|x|=-x.$

Exemple

$|-2|=2$
La distance entre $-3$ et $\pi$ est $|(-3)-\pi |=-(-3-\pi )=\pi +3$ puisque $-3-\pi <0.$

1

Déterminer la nature des nombres suivants.
$\sqrt{5};\frac{5}{4};-\frac{50}{10}$ et $\sqrt{9}.$

2

Exprimer les nombres suivants sans la notation valeur absolue.

1. $\left|-\frac{3}{5}\right|$

2. $|\sqrt{2}-3|$

3. $\left|5-\frac{3}{2}\right|$

3

Déterminer la réunion et l'intersection des intervalles $\text{I}$ et $\text{J}$ suivants.

1. $\mathrm{I}=[-4;7[$ et $\mathrm{J}=[1;+\infty [.$

2. $\mathrm{I}=[-\infty ;2[$ et $\mathrm{J}=[2;+\infty [.$

4

Exprimer la distance entre les réels $5$ et $\frac{13}{2}$ sans la notation valeur absolue.

Pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :
$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;$
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2;$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

Exemple

$(y+3{)}^2=y^2+6y+9$
$(2y-7{)}^2=4y^2-28y+49$
$(x+5)(x-5)=x^2-25$

Pour tout nombre réel positif $a,$ on a : $(\sqrt{a}{)}^2=a.$
Pour tout nombre réel $a,$ on $\sqrt{a^2}=|a|.$
Pour tous réels $a$ et $b$ positifs :

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b};$
• si $b\ne 0:\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}};$
• $\sqrt{a+b}⩽\sqrt{a}+\sqrt{b}.$

Exemple

$(\sqrt{3}{)}^2=3$ et $\sqrt{(-3{)}^2}=|-3|=3.$

Si $x$ est un réel strictement positif alors :
$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\times \sqrt{x}=2\sqrt{x}$ et $\sqrt{4+x}⩽2+\sqrt{x}.$

5

Développer les expressions algébriques suivantes où $x\in \mathbb{R}.$

1. $(3x-7{)}^2$

2. $\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

3. $(x+\sqrt{2}{)}^2$

6

Simplifier les nombres suivants.

1. $\sqrt{\frac{5}{49}}$

2. $\sqrt{5x^2}$ où $x$ est un réel.

7

Factoriser, à l'aide d'identités remarquables, les expressions algébriques suivantes définies sur $\mathbb{R}.$

1. $x^2+14x+49$

2. $9x^2-30x+25$

3. $t^2-\frac{16}{81}$

Il existe deux méthodes pour résoudre des systèmes :
la méthode par combinaisons linéaires et la méthode par substitution.

Exemple

Le système $\{\begin{array}{l}3x+2y=1\\ -2x-y=0\end{array}$ a pour solution le couple $(-1;2).$

8

En utilisant la méthode par combinaisons linéaires, résoudre le système suivant.

$\{\begin{array}{c}5x+3y=4\\ -2x+6y=-3\end{array}$

9

En utilisant la méthode par substitution, résoudre le système suivant.

$\{\begin{array}{c}3y-x=2\\ 4x-5y=4\end{array}$

10

$d$ et $d^{\prime }$ sont deux droites d'équations respectives $2x-4y=0$ et $7y-4x=-5.$

Déterminer le point d'intersection de $d$ et $d^{\prime }.$