Dans un repère $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J}),$ on considère les points $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right).$

Les coordonnées du milieu $\text{I}$ du segment $\text{[AB]}$ sont $\left(\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2};\frac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right).$

Exemple

On considère les points $\text{A}(1;-3)$ et $\text{B}(-2;5).$
Les coordonnées de $\text{I,}$ milieu de $\text{[AB],}$ sont alors $\left(\frac{1-2}{2};\frac{-3+5}{2}\right)$ soit $(-0,5;1).$

Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points $\text{A}$ et $\text{B}$ du plan, de coordonnées respectives $\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right),$ est donnée par : $\mathrm{AB}=\sqrt{{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)}^2}.$

Exemple

On considère les points $\text{A}(1;-3)$ et $\text{B}(-2;5).$
La distance $\text{AB}$ est égale à : $\sqrt{(1-(-2){)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{3^2+(-8{)}^2}=\sqrt{73}.$

Trois points distincts du plan $\text{A,}$ $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés dans cet ordre si et seulement si $\text{AC = AB + BC.}$

Exemple

Les points $\text{A}(-2;-2),$ $\text{B}(3;1)$ et $\text{C}(8;4)$ sont alignés dans cet ordre car :

$\text{AC}=\sqrt{(8-(-2){)}^2+(4-(-2){)}^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$

$\text{AB}=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(1-(-2){)}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$

$\mathrm{BC}=\sqrt{(8-3{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.$

Donc $\text{AC = AB + BC.}$

Le projeté orthogonal du point $\text{M}$ sur une droite $d$ est le point de la droite $d$ le plus proche du point $\text{M.}$

Ce point $\text{H}$ est tel que $d$ est perpendiculaire à $\text{(MH).}$

On appelle hauteur issue de $\text{B}$ d'un triangle $\text{ABC,}$ la droite passant par $\text{B}$ et ${\text{H}}_{\text{B}},$ le projeté orthogonal de $\text{B}$ sur $\text{(AC).}$

Exemple

28

On considère les points $\text{A}(6;5),$ $\text{B}(2;-3)$ et $\text{C}(-4;0)$ dans un repère orthonormé $\text{(O ; I , J)}$ du plan.

1. Calculer les nombres ${\text{AB}}^2,$ ${\text{BC}}^2$ et ${\text{AC}}^2.$

2. En déduire la nature du triangle $\text{ABC.}$

3. En déduire le pied de la hauteur issue de $\text{A}$ dans $\text{ABC.}$

4. Calculer le périmètre et l'aire du triangle $\text{ABC.}$

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par une direction (celle de la droite $\text{(AB)}$), un sens (de $\text{A}$ vers $\text{B}$) et une norme (la longueur $\text{AB}$).

La translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ associe à tout point $\text{C}$ du plan l'unique point $\text{D}$ tel que $\text{ABDC}$ est un parallélogramme.

Le vecteur $-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est le vecteur opposé à $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ : on le note aussi $\overrightarrow{\mathrm{BA}}.$

Exemple

Pour tous points $\text{A,}$ $\text{B,}$ $\text{C}$ et $\text{D}$ du plan, on a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ (relation de Chasles) et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\iff \mathrm{ABDC}$ est un parallélogramme.

Exemple

On considère les points $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right).$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont $\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\\ y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\end{array}\right).$

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right).$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u+w}$ sont $\left(\begin{array}{c}x+x^{\prime }\\ y+y^{\prime }\end{array}\right).$

Exemple

On considère les points $\text{A}(-2;0)$ et $\text{B}(1;4)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right).$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont $\left(\begin{array}{c}1-(-2)\\ 4-0\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right),$ donc celles de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{u}$ sont $\left(\begin{array}{c}3-2\\ 4+2\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right).$

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{w}.$

Ces vecteurs ont alors la même direction.
De plus, ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y$ est nul.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Exemple

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}-6\\ 9\end{array}\right)$ sont colinéaires car $\overrightarrow{w}=-3\overrightarrow{u}.$

Leur déterminant est bien égal à $0$ car $2\times 9-(-3)\times (-6)=18-18=0.$

Les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires.

Exemple

Les points $\text{A,}$ $\text{B}$ et $\text{C,}$ distincts deux à deux, sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ sont colinéaires.

Exemple

29

1. Construire un triangle $\text{ABC}$ quelconque.

2. Placer le point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$

3. Simplifier l'expression vectorielle $\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}.$

4. Construire un vecteur $\overrightarrow{u}$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

30

Soient $\text{A}(2;6),$ $\text{B}(8;2),$ $\text{C}(3;2),$ $\text{D}(6;0)$ et $\text{E}(18;-8)$ cinq points dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que les droites $\text{(AB)}$ et $\text{(CD)}$ sont parallèles.

2. Les points $\text{C,}$ $\text{D}$ et $\text{E}$ sont-ils alignés ? Justifier.

3. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}.$

Une droite $d$ peut être définie par :

• un de ses vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ où $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux points distincts de $d$ ;
• une équation cartésienne $ax+by+c=0$ où $a,$ $b$ et $c$ sont des réels.

Exemple

Le vecteur $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $ax+by+c=0.$

Exemple

La droite d'équation $3x-y+2=0$ admet pour vecteur directeur le vecteur $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).$

Toute droite d non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$ où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.

Le coefficient directeur d'une droite $\text{(AB)}$ non parallèle à l'axe des ordonnées, avec $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right),$ est $m=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.$

Exemple

Deux droites d'équations respectives$ax+by+c=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$ sont sécantes si et seulement si $a{b}^{\prime }-a^{\prime }b\ne 0.$

Sinon elles sont strictement parallèles ou confondues.

Exemple

Les droites d'équations respectives $3x-y=0$ et $-8x+3y+5=0$ sont sécantes car $3\times 3-(-1)\times (-8)=1\ne 0.$

Si deux droites d'équations respectives $ax+by+c=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$ sont sécantes, alors leur point d'intersection a pour coordonnées le couple solution du système formé par les deux équations.

Exemple

Le point d'intersection des droites de l'exemple précédent a pour coordonnées le couple solution du système $\{\begin{array}{l}3x-y=0\\ -8x+3y+5=0\end{array}$ soit $(-5;-15).$