Dans un repère (\mathrm{O}\: ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), on considère les points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right).

Les coordonnées du milieu \text{I} du segment \text{[AB]} sont \left(\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\: ; \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right).

Exemple

On considère les points \text{A}(1\: ; - 3) et \text{B}(-2\: ; 5).
Les coordonnées de \text{I,} milieu de \text{[AB],} sont alors \left(\dfrac{1-2}{2} \:; \dfrac{-3+5}{2}\right) soit (-0{,}5\: ; 1).

Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points \text{A} et \text{B} du plan, de coordonnées respectives \left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et \left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right), est donnée par : \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.

Exemple

On considère les points \text{A}(1\: ; - 3) et \text{B}(-2\: ; 5).
La distance \text{AB} est égale à : \sqrt{(1-(-2))^{2}+(-3-5)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{73}.

Trois points distincts du plan \text{A,} \text{B} et \text{C} sont alignés dans cet ordre si et seulement si \text{AC = AB + BC.}

Exemple

Les points \text{A}(-2\: ; - 2), \text{B}(3 \:; 1) et \text{C}(8\: ; 4) sont alignés dans cet ordre car :

\text{AC}=\sqrt{(8-(-2))^{2}+(4-(-2))^{2}}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2 \sqrt{34}

\text{AB}=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(1-(-2))^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

\mathrm{BC}=\sqrt{(8-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.

Donc \text{AC = AB + BC.}

Le projeté orthogonal du point \text{M} sur une droite d est le point de la droite d le plus proche du point \text{M.}

Ce point \text{H} est tel que d est perpendiculaire à \text{(MH).}

On appelle hauteur issue de \text{B} d'un triangle \text{ABC,} la droite passant par \text{B} et \text{H}_\text{B}, le projeté orthogonal de \text{B} sur \text{(AC).}

Exemple

28

On considère les points \text{A}(6\: ; 5), \text{B}(2 \:; - 3) et \text{C}(-4\: ; 0) dans un repère orthonormé \text{(O ; I , J)} du plan.

1. Calculer les nombres \text{AB}^2, \text{BC}^2 et \text{AC}^2 .

2. En déduire la nature du triangle \text{ABC.}

3. En déduire le pied de la hauteur issue de \text{A} dans \text{ABC.}

4. Calculer le périmètre et l'aire du triangle \text{ABC.}

Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} est défini par une direction (celle de la droite \text{(AB)}), un sens (de \text{A} vers \text{B}) et une norme (la longueur \text{AB}).

La translation de vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} associe à tout point \text{C} du plan l'unique point \text{D} tel que \text{ABDC} est un parallélogramme.

Le vecteur -\overrightarrow{\mathrm{AB}} est le vecteur opposé à \overrightarrow{\mathrm{AB}} : on le note aussi \overrightarrow{\mathrm{BA}}.

Exemple

Pour tous points \text{A,} \text{B,} \text{C} et \text{D} du plan, on a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} (relation de Chasles) et \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} \Leftrightarrow \mathrm{ABDC} est un parallélogramme.

Exemple

On considère les points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right).

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont \begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}} \\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}.

On considère les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u+w} sont \begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Exemple

On considère les points \text{A}(-2\: ; 0) et \text{B}(1\: ; 4) et le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-2} \\ {2}\end{pmatrix}.

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont \begin{pmatrix}{1-(-2)} \\ {4-0}\end{pmatrix} soit \begin{pmatrix}{3} \\ {4}\end{pmatrix}, donc celles de \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{u} sont \begin{pmatrix}{3-2} \\ {4+2}\end{pmatrix} soit \begin{pmatrix}{1} \\ {6}\end{pmatrix}.

Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \lambda tel que \overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{w}.

Ces vecteurs ont alors la même direction.
De plus, ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant x y^{\prime}-x^{\prime} y est nul.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Exemple

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{-6} \\ {9}\end{pmatrix} sont colinéaires car \overrightarrow{w}=-3 \overrightarrow{u}.

Leur déterminant est bien égal à 0 car 2 \times 9-(-3) \times(-6)=18-18=0.

Les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires.

Exemple

Les points \text{A,} \text{B} et \text{C,} distincts deux à deux, sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}} sont colinéaires.

Exemple

29

1. Construire un triangle \text{ABC} quelconque.

2. Placer le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.

3. Simplifier l'expression vectorielle \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}.

4. Construire un vecteur \overrightarrow{u} tel que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}

30

Soient \text{A}(2\: ; 6), \text{B}(8\: ; 2), \text{C}(3\: ; 2), \text{D}(6\: ; 0) et \text{E}(18 \:; - 8) cinq points dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont parallèles.

2. Les points \text{C,} \text{D} et \text{E} sont-ils alignés ? Justifier.

3. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}.

Une droite d peut être définie par :

• un de ses vecteurs directeurs \overrightarrow{u} tel que \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} où \text{A} et \text{B} sont deux points distincts de d ;
• une équation cartésienne ax + by + c = 0 où a , b et c sont des réels.

Exemple

Le vecteur \begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0 .

Exemple

La droite d'équation 3x - y + 2 = 0 admet pour vecteur directeur le vecteur \begin{pmatrix}{1} \\ {3}\end{pmatrix}.

Toute droite d non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme y = mx + p où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.

Le coefficient directeur d'une droite \text{(AB)} non parallèle à l'axe des ordonnées, avec \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right), est m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.

Exemple

Deux droites d'équations respectives ax + by + c = 0 et a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0 sont sécantes si et seulement si a b^{\prime}-a^{\prime} b \neq 0.

Sinon elles sont strictement parallèles ou confondues.

Exemple

Les droites d'équations respectives 3x - y = 0 et -8x + 3y + 5 = 0 sont sécantes car 3 \times 3-(-1) \times(-8)=1 \neq 0.

Si deux droites d'équations respectives ax + by + c = 0 et a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0 sont sécantes, alors leur point d'intersection a pour coordonnées le couple solution du système formé par les deux équations.

Exemple

Le point d'intersection des droites de l'exemple précédent a pour coordonnées le couple solution du système \begin{cases}{3 x-y=0} \\ {-8 x+3 y+5=0}\end{cases} soit (-5\: ; - 15).