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Géométrie
P.350-351

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Géométrie

Rappels de seconde



Repérage dans le plan



Dans un repère (O;I,J),(\mathrm{O}\: ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), on considère les points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB).\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right).

Les coordonnées du milieu I\text{I} du segment [AB]\text{[AB]} sont (xA+xB2;yA+yB2).\left(\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2}\: ; \dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}\right).

Exemple

On considère les points A(1;3)\text{A}(1\: ; - 3) et B(2;5).\text{B}(-2\: ; 5).
Les coordonnées de I,\text{I,} milieu de [AB],\text{[AB],} sont alors (122;3+52)\left(\dfrac{1-2}{2} \:; \dfrac{-3+5}{2}\right) soit (0,5;1).(-0{,}5\: ; 1).

Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points A\text{A} et B\text{B} du plan, de coordonnées respectives (xA;yA)\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et (xB;yB),\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right), est donnée par : AB=(xBxA)2+(yByA)2.\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.

Exemple

On considère les points A(1;3)\text{A}(1\: ; - 3) et B(2;5).\text{B}(-2\: ; 5).
La distance AB\text{AB} est égale à : (1(2))2+(35)2=32+(8)2=73.\sqrt{(1-(-2))^{2}+(-3-5)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{73}.

Trois points distincts du plan A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} sont alignés dans cet ordre si et seulement si AC = AB + BC.\text{AC = AB + BC.}

Exemple

Les points A(2;2),\text{A}(-2\: ; - 2), B(3;1)\text{B}(3 \:; 1) et C(8;4)\text{C}(8\: ; 4) sont alignés dans cet ordre car :

AC=(8(2))2+(4(2))2=100+36=136=234\text{AC}=\sqrt{(8-(-2))^{2}+(4-(-2))^{2}}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2 \sqrt{34}

AB=(3(2))2+(1(2))2=25+9=34\text{AB}=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(1-(-2))^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}

BC=(83)2+(41)2=25+9=34.\mathrm{BC}=\sqrt{(8-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.

Donc AC = AB + BC.\text{AC = AB + BC.}

Le projeté orthogonal du point M\text{M} sur une droite dd est le point de la droite dd le plus proche du point M.\text{M.}

Ce point H\text{H} est tel que dd est perpendiculaire à (MH).\text{(MH).}

On appelle hauteur issue de B\text{B} d’un triangle ABC,\text{ABC,} la droite passant par B\text{B} et HB,\text{H}_\text{B}, le projeté orthogonal de B\text{B} sur (AC).\text{(AC).}

Exemple

Rappels Seconde - Repérage dans le plan

Pour s'exercer


27

1. Placer les points A(2;2)\text{A}(-2\: ; - 2) et B(4;0)\text{B}(4\: ; 0) dans un repère orthonormé (O ; I , J)\text{(O ; I , J)} du plan.

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2. Calculer les coordonnées de I,\text{I,} milieu de [AB].\text{[AB].}

3. Vérifier, par lecture graphique, ce résultat.

4. Vérifier, par le calcul, que les points A,\text{A,} I\text{ I} et B\text{B} sont alignés dans cet ordre.
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Pour s'exercer


28
On considère les points A(6;5),\text{A}(6\: ; 5), B(2;3)\text{B}(2 \:; - 3) et C(4;0)\text{C}(-4\: ; 0) dans un repère orthonormé (O ; I , J)\text{(O ; I , J)} du plan.

1. Calculer les nombres AB2,\text{AB}^2, BC2\text{BC}^2 et AC2.\text{AC}^2 .

2. En déduire la nature du triangle ABC.\text{ABC.}

3. En déduire le pied de la hauteur issue de A\text{A} dans ABC.\text{ABC.}

4. Calculer le périmètre et l’aire du triangle ABC.\text{ABC.}
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Vecteurs dans le plan



Le vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} est défini par une direction (celle de la droite (AB)\text{(AB)}), un sens (de A\text{A} vers B\text{B}) et une norme (la longueur AB\text{AB}).

La translation de vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} associe à tout point C\text{C} du plan l’unique point D\text{D} tel que ABDC\text{ABDC} est un parallélogramme.

Le vecteur AB-\overrightarrow{\mathrm{AB}} est le vecteur opposé à AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} : on le note aussi BA.\overrightarrow{\mathrm{BA}}.

Exemple
Rappels de Seconde

Pour tous points A,\text{A,} B,\text{B,} C\text{C} et D\text{D} du plan, on a AB+BC=AC\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} (relation de Chasles) et AB+AC=ADABDC\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} \Leftrightarrow \mathrm{ABDC} est un parallélogramme.

Exemple
Rappels Seconde

On considère les points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB).\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right).

Les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} sont (xBxAyByA).\begin{pmatrix}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}} \\ {y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}\end{pmatrix}.

On considère les vecteurs u(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et w(xy).\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Les coordonnées du vecteur u+w\overrightarrow{u+w} sont (x+xy+y).\begin{pmatrix}{x+x^{\prime}} \\ {y+y^{\prime}}\end{pmatrix}.

Exemple

On considère les points A(2;0)\text{A}(-2\: ; 0) et B(1;4)\text{B}(1\: ; 4) et le vecteur u(22).\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{-2} \\ {2}\end{pmatrix}.

Les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} sont (1(2)40)\begin{pmatrix}{1-(-2)} \\ {4-0}\end{pmatrix} soit (34),\begin{pmatrix}{3} \\ {4}\end{pmatrix}, donc celles de AB+u\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{u} sont (324+2) \begin{pmatrix}{3-2} \\ {4+2}\end{pmatrix} soit (16).\begin{pmatrix}{1} \\ {6}\end{pmatrix}.

Deux vecteurs u(xy)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et w(xy)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix} sont colinéaires lorsqu’il existe un réel λ\lambda tel que u=λw.\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{w}.

Ces vecteurs ont alors la même direction.
De plus, ils sont colinéaires si et seulement si leur déterminant xyxyx y^{\prime}-x^{\prime} y est nul.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Exemple

u(23)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix} et w(69)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}{-6} \\ {9}\end{pmatrix} sont colinéaires car w=3u.\overrightarrow{w}=-3 \overrightarrow{u}.

Leur déterminant est bien égal à 00 car 2×9(3)×(6)=1818=0.2 \times 9-(-3) \times(-6)=18-18=0.

Les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)} sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et CD\overrightarrow{\mathrm{CD}} sont colinéaires.

Exemple
 Rappels de Seconde

Les points A,\text{A,} B\text{B} et C,\text{C,} distincts deux à deux, sont alignés si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et BC\overrightarrow{\mathrm{BC}} sont colinéaires.

Exemple
Rappels de Seconde

Pour s'exercer


29

1. Construire un triangle ABC\text{ABC} quelconque.

2. Placer le point D\text{D} tel que AB=CD.\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}.

3. Simplifier l’expression vectorielle ABCD.\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}.

4. Construire un vecteur u\overrightarrow{u} tel que u=BA+CA\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}
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Pour s'exercer


30
Soient A(2;6),\text{A}(2\: ; 6), B(8;2),\text{B}(8\: ; 2), C(3;2),\text{C}(3\: ; 2), D(6;0)\text{D}(6\: ; 0) et E(18;8)\text{E}(18 \:; - 8) cinq points dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)} sont parallèles.

2. Les points C,\text{C,} D\text{D} et E\text{E} sont-ils alignés ? Justifier.

3. Calculer les coordonnées du vecteur u=CD+BE.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}.
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Équations de droite



Une droite dd peut être définie par :
  • un de ses vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} tel que u=AB\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}A\text{A} et B\text{B} sont deux points distincts de dd ;
  • une équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0a,a , bb et cc sont des réels.

Exemple
Rappels de Seconde

Le vecteur (ba)\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite d’équation ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .

Exemple

La droite d’équation 3xy+2=03x - y + 2 = 0 admet pour vecteur directeur le vecteur (13).\begin{pmatrix}{1} \\ {3}\end{pmatrix}.

Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme y=mx+py = mx + pmm est le coefficient directeur et pp l’ordonnée à l’origine.

Le coefficient directeur d’une droite (AB)\text{(AB)} non parallèle à l’axe des ordonnées, avec A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} \:; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB),\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right), est m=yByAxBxA.m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.

Exemple
Rappels de Seconde

Deux droites d’équations respectivesax+by+c=0 ax + by + c = 0 et ax+by+c=0a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0 sont sécantes si et seulement si abab0.a b^{\prime}-a^{\prime} b \neq 0.

Sinon elles sont strictement parallèles ou confondues.

Exemple

Les droites d’équations respectives 3xy=03x - y = 0 et 8x+3y+5=0-8x + 3y + 5 = 0 sont sécantes car 3×3(1)×(8)=10.3 \times 3-(-1) \times(-8)=1 \neq 0.

Si deux droites d’équations respectives ax+by+c=0ax + by + c = 0 et ax+by+c=0a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime}=0 sont sécantes, alors leur point d’intersection a pour coordonnées le couple solution du système formé par les deux équations.

Exemple

Le point d’intersection des droites de l’exemple précédent a pour coordonnées le couple solution du système {3xy=08x+3y+5=0\begin{cases}{3 x-y=0} \\ {-8 x+3 y+5=0}\end{cases} soit (5;15).(-5\: ; - 15).

Pour s'exercer


31
On considère les points A(4;3),\text{A}(4\: ; 3), B(2;0),\text{B}(-2\: ; 0), C(0;2)\text{C}(0\: ; 2) et D(1;2).\text{D}(1 \:; - 2).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)\text{(AB)} et l’équation réduite de la droite (CD).\text{(CD)}.

2. Montrer que les droites (AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)} sont sécantes.

3. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
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