Une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}$ associe, à chaque réel $x\in \mathcal{D},$ un unique réel $y,$ noté $f(x).$

Il y a trois principaux modes de définition d'une fonction $f:$

• son expression $f(x)$ en fonction de $x;$
• un tableau de valeurs ;
• sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f:$ ensemble des points $\text{M}(x;f(x)).$

Exemple

$g(-1)=0$
$2$ admet pour antécédents $0$ et $10$ par $g.$


$\text{A}(5;3)$ est un point de la courbe ${\mathcal{C}}_g.$

$f$ est dite croissante (resp. décroissante) sur $\mathcal{D}$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $\mathcal{D}$ tels que $a⩽b,$ on a : $f(a)⩽f(b)$ (resp. $f(a)⩾f(b)$ ).

$f$est dite monotone sur $\mathcal{D}$ lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur $\mathcal{D}.$

Exemple

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [.$
On a : $-3⩽-1$ donc $f(-3)⩾f(-1).$
La fonction racine carrée est monotone sur $[0;+\infty [.$

On dit que $f$ admet un minimum (resp. un maximum) $m$ (resp. $\text{M}$) sur $\mathcal{D}$ en $x=\alpha$ lorsque, pour tout $x\in \mathcal{D},$ $f(x)⩾m$ (resp. $f(x)⩽\text{M}$) et $f(\alpha )=m$ (resp. $f(\alpha )=\text{M}$).

Exemple

La fonction carré admet $0$ pour minimum sur $\mathbb{R},$ atteint pour $x=0.$
Pour tout réel $x,$ $x^2⩾0.$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un ensemble $\mathcal{D}.$ $k$ est un réel. Graphiquement, les solutions de :

• $f(x)⩾k$ sont les abscisses des points de ${\mathcal{C}}_f$ dont l'ordonnée est supérieure ou égale à $k;$
• $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g;$
• $f(x)⩾g(x)$ sont les abscisses des points de ${\mathcal{C}}_f$ situés au-dessus ou sur ${\mathcal{C}}_g.$

11

On considère le tableau de variations d'une fonction $f.$


1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f.$

2. Décrire les variations de cette fonction sur $\mathcal{D}.$

12

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par leur expression $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x.$

À l'aide de la calculatrice, résoudre $f(x)=g(x)$ et $f(x)⩾g(x).$

14

En utilisant le graphique de l'exercice 13, résoudre $f(x)=0$ et $f(x)>0.$

13

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.


Décrire les variations de $f$ sur son ensemble de définition et préciser son minimum et son maximum.

Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p,$ où $m$ et $p$ sont des nombres réels.
Soient $a$ et $b$ deux réels distincts et $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right)$ deux points distincts de ${\mathcal{C}}_f.$

Alors : $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$

Exemple

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x-1$ est une fonction affine.
Son coefficient directeur est $m=5$ et son ordonnée à l'origine est $p=-1.$

Si $m>0$ (resp. $m<0$ ), alors $f$ est une fonction strictement croissante (resp. décroissante) sur $\mathbb{R}.$

Exemple

$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3-5x$ est une fonction affine avec $m=-5<0.$
$f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}.$

Le tableau de signes de $f,$ lorsque $m\ne 0,$ est le suivant :


Pour étudier le signe d'un produit ou quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l'aide de la propriété des signes d'un produit ou d'un quotient.

Exemple

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=6x-2.$ Voici son tableau de signes :

17

Dresser le tableau de signes de la fonction affine $f$ définie par $f(x)=4-7x.$

18

Étudier le signe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x-5)(4-x).$

La fonction inverse est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)=\frac{1}{x}.$
Sa courbe représentative est une hyperbole.
Voici son tableau de variations :

Exemple

L'inverse de $3$ est $\frac{1}{3}.$
L'inverse de $-\frac{1}{5}$ est $-5.$
On a : $2⩽6$ donc $\frac{1}{2}⩾\frac{1}{6}.$

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3.$

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$

Exemple

Le cube de $-3$ est $(-3{)}^3=-27.$
On a : $-1⩽2$ donc $(-1{)}^3⩽2^3.$
$x^3=64$ admet comme unique solution $4$ car $4^3=64.$

Les fonctions inverse et cube sont impaires, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition de $f,$ $f(-x)=-f(x).$

Leur courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemple

$\frac{1}{-7}=-\frac{1}{7};$

$(-5{)}^3=-\left(5^3\right)$

19

Comparer les réels $-\frac{1}{5}$ et $-\frac{1}{7}$ puis les réels $3^3$ et ${\pi }^3.$

20

Résoudre $\frac{1}{x}=-3$ et $x^3=125.$

21

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^3+\frac{2}{x}.$
Montrer que $f$ est une fonction impaire.

22

Résoudre $\frac{1}{x}⩾5$ et $x^3<27.$

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2.$
Sa courbe représentative est une parabole.
$f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [.$

Exemple

Le carré de $2$ est $2^2=4.$
Le carré de $-3$ est $(-3{)}^2=9.$
On a : $-4⩽-3$ donc $(-4{)}^2⩾(-3{)}^2.$

La fonction carré est paire : pour tout réel $x,$ $f(-x)=f(x).$
Sa courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple

$(-5{)}^2=5^2$

Pour tout réel positif $x,$ la racine carrée de $x$ est le nombre positif, noté $\sqrt{x},$ tel que $(\sqrt{x}{)}^2=x.$
La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x}.$
$f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [.$

Exemple

La racine carrée de $9$ est $3.$
La racine carrée de $-3$ n'existe pas.
On a : $2<7$ donc $\sqrt{2}<\sqrt{7}.$

Soit $a$ un nombre réel.

On considère l'équation $x^2=a.$ Alors :

• si $a<0,$ l'équation n'a pas de solution ;
• si $a=0,$ l'équation a pour unique solution $x=0$ ;
• si $a>0,$ l'équation a deux solutions : $x=-\sqrt{a}$ et $x=\sqrt{a}.$

On considère l'équation $x^2⩽a.$ Alors :

• si $a<0,$ l'inéquation n'a pas de solution ;
• si $a=0,$ l'inéquation a pour unique solution $x=0$ ;
• si $a>0,$ l'ensemble des solutions est l'intervalle $[-\sqrt{a};\sqrt{a}].$

Exemple

$x^2=16$ admet deux solutions $-4$ et $4.$
$x^2=-2$ n'admet pas de solution réelle.
$x^2=0$ admet comme unique solution $0.$
$x^2<16\iff x\in ]-4;4[.$
$x^2⩽-1$ n'admet pas de solution réelle.
$x^2⩾3\iff x\in ]-\infty ;-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3};+\infty [.$
$x^2⩾-2\iff x\in \mathbb{R}.$

23

Comparer.
1. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ et $2^2.$

2. $\sqrt{5}$ et $\sqrt{\pi }.$

24

Résoudre dans $\mathbb{R}.$

1. $\sqrt{x}=-2$

2. $\sqrt{x}=4$

3. $x^2=7$

25

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4-3x^2.$ Montrer que $f$ est une fonction paire.

26

Résoudre dans $\mathbb{R}.$

1. $\sqrt{x}>-2$

2. $x^2⩽5$

3. $x^2>25$