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Fonctions

Rappels de seconde



Fonctions : généralités et variations



Une fonction ff définie sur D\mathcal{D} associe, à chaque réel xD,x \in \mathcal{D}, un unique réel y,y , noté f(x).f(x).

Il y a trois principaux modes de définition d’une fonction f:f :
  • son expression f(x)f(x) en fonction de x;x\: ;
  • un tableau de valeurs ;
  • sa courbe représentative Cf:\mathcal{C}_f : ensemble des points M(x;f(x)).\text{M}(x \:; f(x)).

Exemples

g(1)=0g(-1) = 0
22 admet pour antécédents 00 et 1010 par g.g .

tableau de variation - fonctions : généralités et variations

A(5;3)\text{A}(5\: ; 3) est un point de la courbe Cg.\mathcal{C}_g .

ff est dite croissante (resp. décroissante) sur D\mathcal{D} lorsque, pour tous réels aa et bb de D\mathcal{D} tels que ab,a \leqslant b , on a : f(a)f(b)f(a) \leqslant f(b) (resp. f(a)f(b)f(a) \geqslant f(b) ).

ff est dite monotone sur D\mathcal{D} lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante sur D.\mathcal{D}.

Exemple

La fonction carré est décroissante sur ];0]]-\infty\: ; 0] et croissante sur [0;+[.[0 \:;+\infty[.
On a : 31-3 \leqslant -1 donc f(3)f(1).f(-3) \geqslant f(-1).
La fonction racine carrée est monotone sur [0;+[.[0 \:;+\infty[.

On dit que ff admet un minimum (resp. un maximum) mm (resp. M\text{M}) sur D\mathcal{D} en x=αx = \alpha lorsque, pour tout xD,x \in \mathcal{D}, f(x)mf(x) \geqslant m (resp. f(x)Mf(x) \leqslant \text{M}) et f(α)=mf(\alpha) = m (resp. f(α)=Mf(\alpha) = \text{M}).

Exemple

La fonction carré admet 00 pour minimum sur R,\R , atteint pour x=0.x = 0 .
Pour tout réel x,x , x20.x^{2} \geqslant 0.

Soient ff et gg deux fonctions définies sur un ensemble D.\mathcal{D}. kk est un réel. Graphiquement, les solutions de :
  • f(x)kf(x) \geqslant k sont les abscisses des points de Cf\mathcal{C}_f dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k;k \:;
  • f(x)=g(x)f(x) = g(x) sont les abscisses des points d’intersection de Cf\mathcal{C}_f et Cg;\mathcal{C}_g \:;
  • f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x) sont les abscisses des points de Cf\mathcal{C}_f situés au-dessus ou sur Cg.\mathcal{C}_g.

Exemple

f(x)<2x]2;2[f(x)\lt2 \Leftrightarrow x \in]-2\: ; 2[
f(x)g(x)x];1,5][0;2]f(x) \geqslant g(x) \Leftrightarrow x \in]-\infty \:;-1,5] \cup[0\: ; 2]

Rappels Seconde - Fonctions : généralités et variations

Pour s'exercer


11
On considère le tableau de variations d’une fonction f.f .
Rappels de seconde - tableau de variation fonction


1. Déterminer l’ensemble de définition D\mathcal{D} de f.f .

2. Décrire les variations de cette fonction sur D.\mathcal{D}.

Pour s'exercer


12
Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\R par leur expression f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=2x.g(x) = 2x .

À l’aide de la calculatrice, résoudre f(x)=g(x)f(x) = g(x) et f(x)g(x).f(x) \geqslant g(x).

Pour s'exercer


13
On considère une fonction ff dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

Rappels de seconde

Décrire les variations de ff sur son ensemble de définition et préciser son minimum et son maximum.

Pour s'exercer


14
En utilisant le graphique de l’exercice 13, résoudre f(x)=0f(x) = 0 et f(x)>0.f(x) \gt 0 .


Fonctions affines



Une fonction affine ff est une fonction définie sur R\R par f(x)=mx+p,f(x) = mx + p ,mm et pp sont des nombres réels.
Soient aa et bb deux réels distincts et A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right) deux points distincts de Cf.\mathcal{C}_f .

Alors : m=f(b)f(a)bam=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} et m=yByAxBxA.m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.

Exemple

La fonction ff définie sur R\R par f(x)=5x1f(x) = 5x - 1 est une fonction affine.
Son coefficient directeur est m=5m = 5 et son ordonnée à l’origine est p=1.p = -1 .

Si m>0m \gt 0 (resp. m<0m \lt 0 ), alors ff est une fonction strictement croissante (resp. décroissante) sur R.\R .

Exemple

ff définie sur R\R par f(x)=35xf(x) = 3 - 5x est une fonction affine avec m=5<0.m = -5 \lt 0 .
f f est donc strictement décroissante sur R.\R .

Le tableau de signes de f,f , lorsque m0,m \neq 0, est le suivant :

tableau de variation - fonctions - rappels de seconde

Pour étudier le signe d’un produit ou quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l’aide de la propriété des signes d’un produit ou d’un quotient.

Exemple

ff est définie sur R\R par f(x)=6x2.f(x) = 6x - 2 . Voici son tableau de signes :

tableau de variation - fonctions - rappels de seconde

Pour s'exercer


15
ff est la fonction affine définie sur R\R dont on donne la représentation graphique ci-dessous.

Rappels de Seconde

À l’aide du graphique :
1. déterminer le signe de f;f\: ;

2. déterminer l’expression de f.f .

Pour s'exercer


16
ff est une fonction affine telle que f(2)=4f(-2) = 4 et f(3)=5.f(3) = 5 . Déterminer l’expression de f.f .


Pour s'exercer


17
Dresser le tableau de signes de la fonction affine ff définie par f(x)=47x.f(x) = 4 - 7x .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Pour s'exercer


18
Étudier le signe de la fonction ff définie sur R\R par : f(x)=(2x5)(4x).f(x) = (2x - 5)(4 - x).

Couleurs
Formes
Dessinez ici

Fonctions inverse et cube



La fonction inverse est définie sur R\mathbb{R}^{*} par f(x)=1x.f(x)=\dfrac{1}{x}.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
Voici son tableau de variations :

tableau de variation - fonctions - Rappels de seconde

Exemples

L’inverse de 33 est 13.\dfrac{1}{3}.
L’inverse de 15-\dfrac{1}{5} est 5.-5 .
On a : 262 \leqslant 6 donc 1216.\dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{1}{6}.

La fonction cube est définie sur R\R par f(x)=x3.f(x) = x^3 .

ff est strictement croissante sur R.\R.

Exemples

Le cube de 3-3 est (3)3=27.(-3)^3 = -27.
On a : 12-1 \leqslant 2 donc (1)323.(-1)^{3} \leqslant 2^{3}.
x3=64x^3 = 64 admet comme unique solution 44 car 43=64.4^3 = 64 .

Les fonctions inverse et cube sont impaires, c’est-à-dire que, pour tout réel xx de l’ensemble de définition de f, f , f(x)=f(x).f(-x) = -f(x).

Leur courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemples

17=17;\dfrac{1}{-7}=-\dfrac{1}{7} \:;

(5)3=(53)(-5)^{3}=-\left(5^{3}\right)

Pour s'exercer


19
Comparer les réels 15 -\dfrac{1}{5} et 17-\dfrac{1}{7} puis les réels 333^3 et π3.\pi^3 .


Pour s'exercer


20
Résoudre 1x=3\dfrac{1}{x}=-3 et x3=125.x^3= 125.


Pour s'exercer


21
ff est définie sur R\R par f(x)=2x3+2x.f(x) = -2x^3 +\dfrac{2}{x} .
Montrer que ff est une fonction impaire.

Pour s'exercer


22
Résoudre 1x5 \dfrac{1}{x} \geqslant 5 et x3<27.x^{3}\lt27.

Fonctions carré et racine carrée



La fonction carré est définie sur R\R par f(x)=x2.f(x) = x^2 .
Sa courbe représentative est une parabole.
ff est décroissante sur ];0]]-\infty \: ; 0] et croissante sur [0;+[.[0 \: ;+\infty[.

Exemples

Le carré de 22 est 22=4.2^2 = 4 .
Le carré de 3-3 est (3)2=9.(-3)^2 = 9 .
On a : 43-4 \leqslant -3 donc (4)2(3)2.(-4)^{2} \geqslant(-3)^{2}.

La fonction carré est paire : pour tout réel x,x , f(x)=f(x).f(-x) = f(x).
Sa courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple

(5)2=52(-5)^2 = 5^2

Pour tout réel positif x,x , la racine carrée de xx est le nombre positif, noté x,\sqrt{x}, tel que (x)2=x.(\sqrt{x})^{2}=x.
La fonction racine carrée est définie sur [0;+[[0 \: ;+\infty[ par f(x)=x.f(x)=\sqrt{x}.
ff est strictement croissante sur [0;+[.[0 \: ;+\infty[.

Exemples

La racine carrée de 99 est 3.3 .
La racine carrée de 3-3 n’existe pas.
On a : 2<72 \lt 7 donc 2<7.\sqrt{2}\lt\sqrt{7}.

Soit aa un nombre réel.

On considère l’équation x2=a.x^2 = a . Alors :
  • si a<0,a \lt 0 , l’équation n’a pas de solution ;
  • si a=0,a = 0 , l’équation a pour unique solution x=0x = 0 ;
  • si a>0,a \gt 0 , l’équation a deux solutions : x=ax =-\sqrt{a} et x=a.x = \sqrt{a} .

On considère l’équation x2a.x^{2} \leqslant a. Alors :
  • si a<0,a \lt 0 , l’inéquation n’a pas de solution ;
  • si a=0,a = 0 , l’inéquation a pour unique solution x=0x = 0 ;
  • si a>0,a \gt 0 , l’ensemble des solutions est l’intervalle [a;a].[-\sqrt{a}\: ; \sqrt{a}] .

Exemples

x2=16x^2 = 16 admet deux solutions 4-4 et 4.4 .
x2=2x^2 = -2 n’admet pas de solution réelle.
x2=0x^2 = 0 admet comme unique solution 0.0 .
x2<16x]4;4[.\left.x^{2}\lt16 \Leftrightarrow x \in\right]-4\: ; 4[.
x21x^{2} \leqslant-1 n’admet pas de solution réelle.
x23x];3][3;+[.\left.\left.x^{2} \geqslant 3 \Leftrightarrow x \in\right]-\infty \: ;-\sqrt{3}\right] \cup[\sqrt{3} \: ;+\infty[.
x22xR.x^{2} \geqslant-2 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.

Pour s'exercer


23
Comparer.
1. (12)2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} et 22.2^{2}.


2. 5\sqrt{5} et π.\sqrt{\pi}.

Pour s'exercer


24
Résoudre dans R.\R .

1. x=2\sqrt{x}=-2

2. x=4\sqrt{x}=4

3. x2=7x^{2}=7

Pour s'exercer


25
ff est définie sur R\R par f(x)=43x2.f(x) = 4 - 3x^2 . Montrer que ff est une fonction paire.


Pour s'exercer


26
Résoudre dans R.\R .

1. x>2\sqrt{x}\gt-2

2. x25x^{2} \leqslant 5

3. x2>25x^{2}>25
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