Une fonction f définie sur \mathcal{D} associe, à chaque réel x \in \mathcal{D}, un unique réel y , noté f(x).

Il y a trois principaux modes de définition d'une fonction f :

• son expression f(x) en fonction de x\: ;
• un tableau de valeurs ;
• sa courbe représentative \mathcal{C}_f : ensemble des points \text{M}(x \:; f(x)).

Exemple

g(-1) = 0
2 admet pour antécédents 0 et 10 par g .


\text{A}(5\: ; 3) est un point de la courbe \mathcal{C}_g .

f est dite croissante (resp. décroissante) sur \mathcal{D} lorsque, pour tous réels a et b de \mathcal{D} tels que a \leqslant b , on a : f(a) \leqslant f(b) (resp. f(a) \geqslant f(b) ).

f est dite monotone sur \mathcal{D} lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur \mathcal{D}.

Exemple

La fonction carré est décroissante sur ]-\infty\: ; 0] et croissante sur [0 \:;+\infty[.
On a : -3 \leqslant -1 donc f(-3) \geqslant f(-1).
La fonction racine carrée est monotone sur [0 \:;+\infty[.

On dit que f admet un minimum (resp. un maximum) m (resp. \text{M}) sur \mathcal{D} en x = \alpha lorsque, pour tout x \in \mathcal{D}, f(x) \geqslant m (resp. f(x) \leqslant \text{M}) et f(\alpha) = m (resp. f(\alpha) = \text{M}).

Exemple

La fonction carré admet 0 pour minimum sur \R , atteint pour x = 0 .
Pour tout réel x , x^{2} \geqslant 0.

Soient f et g deux fonctions définies sur un ensemble \mathcal{D}. k est un réel. Graphiquement, les solutions de :

• f(x) \geqslant k sont les abscisses des points de \mathcal{C}_f dont l'ordonnée est supérieure ou égale à k \:;
• f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection de \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g \:;
• f(x) \geqslant g(x) sont les abscisses des points de \mathcal{C}_f situés au-dessus ou sur \mathcal{C}_g.

11

On considère le tableau de variations d'une fonction f .


1. Déterminer l'ensemble de définition \mathcal{D} de f .

2. Décrire les variations de cette fonction sur \mathcal{D}.

12

Soient f et g deux fonctions définies sur \R par leur expression f(x) = x^2 et g(x) = 2x .

À l'aide de la calculatrice, résoudre f(x) = g(x) et f(x) \geqslant g(x).

13

On considère une fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.


Décrire les variations de f sur son ensemble de définition et préciser son minimum et son maximum.

14

En utilisant le graphique de l'exercice 13, résoudre f(x) = 0 et f(x) \gt 0 .

Une fonction affine f est une fonction définie sur \R par f(x) = mx + p , où m et p sont des nombres réels.
Soient a et b deux réels distincts et \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right) deux points distincts de \mathcal{C}_f .

Alors : m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} et m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.

Exemple

La fonction f définie sur \R par f(x) = 5x - 1 est une fonction affine.
Son coefficient directeur est m = 5 et son ordonnée à l'origine est p = -1 .

Si m \gt 0 (resp. m \lt 0 ), alors f est une fonction strictement croissante (resp. décroissante) sur \R .

Exemple

f définie sur \R par f(x) = 3 - 5x est une fonction affine avec m = -5 \lt 0 .
f est donc strictement décroissante sur \R .

Le tableau de signes de f , lorsque m \neq 0, est le suivant :


Pour étudier le signe d'un produit ou quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l'aide de la propriété des signes d'un produit ou d'un quotient.

Exemple

f est définie sur \R par f(x) = 6x - 2 . Voici son tableau de signes :

17

Dresser le tableau de signes de la fonction affine f définie par f(x) = 4 - 7x .

18

Étudier le signe de la fonction f définie sur \R par : f(x) = (2x - 5)(4 - x).

La fonction inverse est définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\dfrac{1}{x}.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
Voici son tableau de variations :

Exemple

L'inverse de 3 est \dfrac{1}{3}.
L'inverse de -\dfrac{1}{5} est -5 .
On a : 2 \leqslant 6 donc \dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{1}{6}.

La fonction cube est définie sur \R par f(x) = x^3 .

f est strictement croissante sur \R.

Exemple

Le cube de -3 est (-3)^3 = -27.
On a : -1 \leqslant 2 donc (-1)^{3} \leqslant 2^{3}.
x^3 = 64 admet comme unique solution 4 car 4^3 = 64 .

Les fonctions inverse et cube sont impaires, c'est-à-dire que, pour tout réel x de l'ensemble de définition de f , f(-x) = -f(x).

Leur courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemple

\dfrac{1}{-7}=-\dfrac{1}{7} \:;

(-5)^{3}=-\left(5^{3}\right)

19

Comparer les réels -\dfrac{1}{5} et -\dfrac{1}{7} puis les réels 3^3 et \pi^3 .

20

Résoudre \dfrac{1}{x}=-3 et x^3= 125.

21

f est définie sur \R par f(x) = -2x^3 +\dfrac{2}{x} .
Montrer que f est une fonction impaire.

22

Résoudre \dfrac{1}{x} \geqslant 5 et x^{3}\lt27.

La fonction carré est définie sur \R par f(x) = x^2 .
Sa courbe représentative est une parabole.
f est décroissante sur ]-\infty \: ; 0] et croissante sur [0 \: ;+\infty[.

Exemple

Le carré de 2 est 2^2 = 4 .
Le carré de -3 est (-3)^2 = 9 .
On a : -4 \leqslant -3 donc (-4)^{2} \geqslant(-3)^{2}.

La fonction carré est paire : pour tout réel x , f(-x) = f(x).
Sa courbe représentative dans un repère orthonormé est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple

(-5)^2 = 5^2

Pour tout réel positif x , la racine carrée de x est le nombre positif, noté \sqrt{x}, tel que (\sqrt{x})^{2}=x.
La fonction racine carrée est définie sur [0 \: ;+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}.
f est strictement croissante sur [0 \: ;+\infty[.

Exemple

La racine carrée de 9 est 3 .
La racine carrée de -3 n'existe pas.
On a : 2 \lt 7 donc \sqrt{2}\lt\sqrt{7}.

Soit a un nombre réel.

On considère l'équation x^2 = a . Alors :

• si a \lt 0 , l'équation n'a pas de solution ;
• si a = 0 , l'équation a pour unique solution x = 0 ;
• si a \gt 0 , l'équation a deux solutions : x =-\sqrt{a} et x = \sqrt{a} .

On considère l'équation x^{2} \leqslant a. Alors :

• si a \lt 0 , l'inéquation n'a pas de solution ;
• si a = 0 , l'inéquation a pour unique solution x = 0 ;
• si a \gt 0 , l'ensemble des solutions est l'intervalle [-\sqrt{a}\: ; \sqrt{a}] .

Exemple

x^2 = 16 admet deux solutions -4 et 4 .
x^2 = -2 n'admet pas de solution réelle.
x^2 = 0 admet comme unique solution 0 .
\left.x^{2}\lt16 \Leftrightarrow x \in\right]-4\: ; 4[.
x^{2} \leqslant-1 n'admet pas de solution réelle.
\left.\left.x^{2} \geqslant 3 \Leftrightarrow x \in\right]-\infty \: ;-\sqrt{3}\right] \cup[\sqrt{3} \: ;+\infty[.
x^{2} \geqslant-2 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.

23

Comparer.
1. \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} et 2^{2}.

2. \sqrt{5} et \sqrt{\pi}.

24

Résoudre dans \R .

1. \sqrt{x}=-2

2. \sqrt{x}=4

3. x^{2}=7

25

f est définie sur \R par f(x) = 4 - 3x^2 . Montrer que f est une fonction paire.

26

Résoudre dans \R .

1. \sqrt{x}\gt-2

2. x^{2} \leqslant 5

3. x^{2}>25