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Probabilités et statistiques

Rappels de seconde



Informations chiffrées



Une évolution de tt % correspond au coefficient multiplicateur CM=1+t100\mathrm{CM}=1+\dfrac{t}{100} qui permet de passer de la valeur de départ VD0\text{V}_{\text{D}} \neq 0 à la valeur d’arrivée VA:VA=(1+t100)VD.\text{V}_{\text{A}} : \text{V}_{\text{A}} =\left(1+\dfrac{t}{100}\right) \mathrm{V}_{\mathrm{D}}.
Ainsi : t=VAVDVD×100.t=\dfrac{\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{D}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{D}}} \times 100.

Exemple

Une chemise coûtant 40 € subit une baisse de 15 %.
Elle coûte maintenant (115100)×40=0,85×40=34\left(1-\dfrac{15}{100}\right) \times 40=0{,}85 \times 40=34 €.

Le coefficient multiplicateur global CM\text{CM} de deux évolutions successives t1t_1 et t2t_2 de coefficients multiplicateurs respectifs CM1\text{CM}_1 et CM2\text{CM}_2 est : CM=CM1×CM2.\mathrm{CM}=\mathrm{CM}_{1} \times \mathrm{CM}_{2}.

Exemple

Cette même chemise subit ensuite une hausse de 20 %.
Le coefficient multiplicateur global est : 0,85(1+20100)=0,85×1,2=1,02=1+0,02,0{,}85\left(1+\dfrac{20}{100}\right)=0{,}85 \times 1{,}2=1{,}02=1+0{,}02, soit une hausse globale de 2 %.

Pour s'exercer


32
Un salaire de 1 500 € a augmenté de 20 % puis a baissé de 5 %.

1. Quelle est l’évolution globale ?

2. Quel est le montant du salaire final ?

Pour s'exercer


33
Les effectifs d’un lycée sont passés de 900 à 990 élèves.

1. Quelle évolution ont-ils subie ?

2. Quelle évolution permettrait ensuite de résorber cette hausse ? (Exprimer la réponse en % arrondi au dixième.)

Indicateurs statistiques



Les indicateurs statistiques se calculent rapidement avec la calculatrice en entrant les valeurs dans des listes.

Toutefois, la moyenne d’une série statistique {x1;x2;;xp},\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{p}\right\}, de pp valeurs pondérées par les effectifs {n1;n2;;np},\left\{n_{1} ; n_{2} ; \ldots ; n_{p}\right\}, se calcule à partir de la formule : x=n1x1+n2x2++npxpn1+n2++np.\overline{x}=\dfrac{n_{1} x_{1}+n_{2} x_{2}+\ldots+n_{p} x_{p}}{n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{p}}.

Exemple
 xix_i 0 2 5 10
 nin_i 8 5 4 3

La moyenne de la série est : x=8×0+5×2+4×5+3×108+5+4+3=3.\overline{x}=\dfrac{8 \times 0+5 \times 2+4 \times 5+3 \times 10}{8+5+4+3}=3.

L’écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne, il se calcule avec la formule :
σ=n1(x1x)2+n2(x2x)2++np(xpx)2n1+n2++np.\sigma=\sqrt{\dfrac{n_{1}\left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+n_{2}\left(x_{2}-\overline{x}\right)^{2}+\ldots+n_{p}\left(x_{p}-\overline{x}\right)^{2}}{n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{p}}}.

Exemple

Dans l’exemple précédent, l’écart-type est :
σ=8(03)2+5(23)2+4(53)2+3(103)28+5+4+33,5.\sigma=\sqrt{\dfrac{8(0-3)^{2}+5(2-3)^{2}+4(5-3)^{2}+3(10-3)^{2}}{8+5+4+3}}\approx 3{,}5.

Pour s'exercer


34
 Valeur 1 3 4 5 10 13
 Effectif 2 3 1 4 5 5

Déterminer la moyenne, l’écart-type, la médiane et l’écart interquartile de la série ci-dessus.

Probabilités



L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues possibles.
On associe à celles-ci des probabilités dont la somme vaut 1.1.
Toute probabilité est un nombre compris dans l’intervalle [0;1].[0 \:; 1].
On parle d’équiprobabilité quand toutes les probabilités des issues sont égales.

Exemple

On lance un dé cubique et on lit le numéro de la face supérieure.
L’univers est donc {1;2;3;4;5;6}.\{1\: ; 2\: ; 3\: ; 4\: ; 5\: ; 6\}.
Les probabilités de ces six issues sont toutes égales à 16.\dfrac{1}{6}.

Un événement est un ensemble d’issues.
Sa probabilité est la somme des probabilités des issues le composant.
L’événement impossible a pour probabilité 0.0 .
L’événement certain a pour probabilité 1.1 .

Exemple

Dans l’expérience ci-dessus, la probabilité de l’événement « obtenir un nombre pair » vaut 3×16=0,5.3 \times \dfrac{1}{6}=0,5.
« Obtenir un nombre supérieur à 77 » est un événement impossible. « Obtenir un nombre inférieur à 77 » est un événement certain.

L’événement complémentaire A\overline{\mathrm{A}} est l’ensemble des issues que ne réalise pas l’événement A.\text{A.}
Sa probabilité est P(A)=1P(A).\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\text{P(A)}.

Exemple

L’événement complémentaire de « obtenir un nombre pair » est l’événement « obtenir un nombre impair ».
Sa probabilité est 10,5=0,5.1 - 0{,}5 = 0{,}5 .

AB\mathrm{A} \cap \mathrm{B} est l’ensemble des issues qui réalisent les événements A\text{A} et B\text{B} à la fois. On l’appelle intersection de A\text{A} et B.\text{B.} Si P(AB)=0,\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0 , on dit que les événements A\text{A} et B\text{B} sont incompatibles. Dans ce cas, AB=.\text{A} \cap \text{B}=\emptyset.

AB\mathrm{A} \cup \mathrm{B} est l’ensemble des issues qui réalisent \text{A }ou B\text{B} (au moins l’un des deux). On l’appelle union de A\text{A} et B.\text{B.} On a la formule P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).\text{P}(\text{A} \cup \text{B})=\text{P(A)}+\text{P(B)}-\text{P}(\text{A} \cap \text{B}).

Exemple

Dans une classe de 3434 élèves, 1616 sont en option sport, 1212 en option latin dont 44 qui sont inscrits aux deux. La probabilité de choisir au hasard un élève inscrit en option latin (événement L\text{L} ) ou en option sport ( S\text{S} ) est :
P(LS)=P(L)+P(S)P(LS)=1234+1634434=2434.\text{P}(\text{L} \cup \text{S})=\text{P(L)}+\text{P(S)}-\text{P}(\text{L} \cap \text{S})=\dfrac{12}{34}+\dfrac{16}{34}-\dfrac{4}{34}=\dfrac{24}{34}.

Pour s'exercer


35
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes et on s’intéresse à sa valeur.

1. Donner l’univers associé à cette expérience aléatoire.

2. Est-ce une situation d’équiprobabilité ?

3. Quelle est la probabilité de tirer un as ?

4. Quelle est la probabilité de tirer une figure ?

Pour s'exercer


36
On fait tourner une roue partagée en cinq secteurs de même section angulaire.
Trois d’entre eux sont blancs numérotés de 1 à 3. Les deux autres sont rouges numérotés de 1 à 2. On s’intéresse à leur couleur et au numéro sur lequel on tombe lorsqu’on fait tourner cette roue.

1. Donner un exemple d’événement impossible.

2. Donner un exemple d’événement certain.

3. Donner un exemple d’événements incompatibles.

Pour s'exercer


37
Sur une classe de terminale de 32 élèves, quatre d’entre eux n’ont pas obtenu le bac. Six élèves ont reçu un avis défavorable du conseil de classe et, parmi eux, deux n’ont pas obtenu le bac. On tire au sort un élève de cette classe. Calculer la probabilité :

1. qu’il ait échoué au bac ou reçu un avis défavorable ;

2. qu’il ait obtenu le bac sans avoir reçu d’avis défavorable.

Pour s'exercer


38
On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 100.
On considère les événements suivants :
A\text{A} : « le nombre choisi est le carré d’un entier » ;
B\text{B} : « le nombre choisi est le cube d’un entier ».

1. Les événements A\text{A} et B\text{B} sont-ils incompatibles ?

2. Calculer P(A),\mathrm{P}(\mathrm{A}), P(B),\mathrm{P}(\mathrm{B}), P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) et enfin P(AB).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
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