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Mathématiques 6e 2016

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Du primaire au collège
Ch. 1
Manipuler les nombres entiers
Ch. 2
Les nombres décimaux
Ch. 3
Addition, soustraction
Ch. 4
Multiplication, division décimale
Ch. 5
Fractions
Ch. 6
Proportionnalité
Proportionnalité
Ouverturep. 95
1. Reconnaitre des situations de proportionnalité
Coursp. 96-100
2. Prévoir dans une situation de proportionnalité
Coursp. 101-102
3. Utiliser les pourcentages en proportionnalité
Coursp. 103
4. Agrandissement et réduction de figures
Coursp. 104-106
Proportionnalité
Coursp. 107-108
Exercices
Exercicesp. 109-114
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Fiches de révision - Exclusivité numérique
Ch. 7
Construction de droites
Ch. 8
Distances et cercles
Ch. 9
Angles
Ch. 10
Symétrie axiale
Ch. 11
Triangles, rectangles et losanges
Ch. 12
Aire et périmètre
Ch. 13
Volumes
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Dossier d'actualité
Chapitre 6
Pas à pas

1. Reconnaitre des situations de proportionnalité

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Voici les différents standards d'affichage pour les écrans d'ordinateur.

Placeholder pour Tableau comparant les résolutions d'écran (QVGA, VGA, SVGA, XGA, SXGA, UXGA, QXGA) : largeur et hauteur en pixels.Tableau comparant les résolutions d'écran (QVGA, VGA, SVGA, XGA, SXGA, UXGA, QXGA) : largeur et hauteur en pixels.

a. Le format XGA+ définit une hauteur de 864 pixels. Quel sera le nombre de pixels dans sa largeur ?
b. On dit que ces écrans sont en format « quatre tiers ». Pourquoi ?
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Découvrir

Une piscine municipale propose les tarifs suivants. Une entrée pour 1 personne coûte 2 €. L'entrée pour 5 personnes coûte 8 €. Il y a un tarif de groupe : à partir de 25 personnes, l'entrée coûte 1 € par personne.

a. Le prix payé dépend-il du nombre de personnes ?
b. Un groupe de 6 élèves veut aller à la piscine. Paieront-ils chacun le même prix s'ils sont 5 fois plus ?
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Retenir

  • Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut obtenir toutes les valeurs de l'une en multipliant celles de l'autre par un même nombre non nul. Elles varient toujours dans la même proportion.
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Exercice 1
Vrai ou faux ? Les situations suivantes relèvent de la proportionnalité

1. Le nombre d'enfants d'une femme et l'âge de cette femme.



2. Le prix d'un paquet de pommes et le poids de ce paquet.



3. Le poids d'un pack de lait et le nombre de briques de lait (de 1 L) qui le composent.



4. La vitesse d'une voiture et le nombre de ses passagers.



5. La moyenne de trois notes et la première de ces notes.



6. Le périmètre d'un carré et la longueur de ses côtés.



Exemples :
  • Le prix d'un paquet de fraises est proportionnel à son poids. Si 1 kg de fraises coûte 4,50 €, alors un paquet de 2 kg de fraises coûtera 2 \times 4\text{,}50 = 9 €.
  • La taille d'un individu n'est pas proportionnelle à son âge. Ce n'est pas parce que l'on mesure 1,50 m à 15 ans que l'on mesure 2 \times 1 \text{,} 50 = 3 m à 2 \times 15 = 30 ans !
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  • Le nombre par lequel on passe d'une quantité à l'autre s'appelle le cœfficient de proportionnalité. Il s'exprime donc comme un quotient.
Exemple :
  • Dans le premier
    Découvrir
     :
    • Placeholder pour Schéma: tableau illustrant le facteur multiplicatif 0,75 sur les dimensions (largeur et hauteur) d'écrans. Schéma: tableau illustrant le facteur multiplicatif 0,75 sur les dimensions (largeur et hauteur) d'écrans.

    • 0\text{,}75 = \dfrac{240}{320} = \dfrac{640}{480} = \dfrac{1\:200}{1\:600}.
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  • Une situation de proportionnalité est souvent représentée par un tableau de proportionnalité.
Exemple :

Placeholder pour Tableau indiquant le prix des fraises en fonction du poids : 2,25 € pour 500 g, 4,50 € pour 1 kg, 9 € pour 2 kg et 22,50 € pour 5 kg.Tableau indiquant le prix des fraises en fonction du poids : 2,25 € pour 500 g, 4,50 € pour 1 kg, 9 € pour 2 kg et 22,50 € pour 5 kg.
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Déterminer si un tableau représente une situation de proportionnalité

Le tableau suivant représente-t-il une situation de proportionnalité ? Si c'est le cas, quel est le coefficient de proportionnalité ?

Le bronze est un alliage de métaux obtenu à partir de cuivre et d'étain.

Placeholder pour Tableau comparant la masse de cuivre utilisée (kg) à la masse de bronze obtenue (kg).Tableau comparant la masse de cuivre utilisée (kg) à la masse de bronze obtenue (kg).

  • Pour passer de 2 à 4 : 2 × 2 = 4.
  • Pour passer de 5 à 10 : 2 × 5 = 10.
Placeholder pour Tableau montrant le doublement des quantités de cuivre utilisées (2kg puis 4kg) et de bronze obtenu (5kg puis 10kg).Tableau montrant le doublement des quantités de cuivre utilisées (2kg puis 4kg) et de bronze obtenu (5kg puis 10kg).
  • Pour passer de 8 à 0,8 : 8 ÷ 10 = 0,8.
  • Pour passer de 20 à 2 : 20 ÷ 10 = 2.
Placeholder pour Tableau comparant la masse de cuivre utilisée (8kg et 0,8kg) et la masse de bronze obtenue (20kg et 2kg).Tableau comparant la masse de cuivre utilisée (8kg et 0,8kg) et la masse de bronze obtenue (20kg et 2kg).

Passer directement à 20,8 c'est compliqué. On additionne alors les colonnes.
  • 20 + 0,8 = 20,8
  • 50 + 2 = 52
Placeholder pour Schéma illustrant un calcul de masse : 20 kg de cuivre + 0,8 kg = 20,8 kg et 50 kg de bronze + 2 kg = 52 kg.Schéma illustrant un calcul de masse : 20 kg de cuivre + 0,8 kg = 20,8 kg et 50 kg de bronze + 2 kg = 52 kg.

Passer directement à 7 c'est compliqué. On calcule alors le coefficient de proportionnalité.
  • Pour passer de 2 à 5 : 2 × 2,5 = 5.
  • Pour passer de 7 à 17,5 : 7 × 2,5 = 17,5.
Placeholder pour Schéma illustrant la multiplication par 2,5 de masses de cuivre et de bronze (en kg).Schéma illustrant la multiplication par 2,5 de masses de cuivre et de bronze (en kg).
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Pour les exercices suivants, dire si chaque tableau représente une situation de proportionnalité. Si c'est le cas, donner le coefficient de proportionnalité sous forme de fraction puis de nombre décimal.

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Exercice 2

Placeholder pour Tableau comparant prix/quantités de melons et œufs. Prix melons : 5 à 45, œufs : 4 à 16.Tableau comparant prix/quantités de melons et œufs. Prix melons : 5 à 45, œufs : 4 à 16.

1. Tableau 1
2. Tableau 2
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Exercice 3

Placeholder pour Tableau données : tours de pédale, calories dépensées, nombre de convives, poids gigot, âge et poids d'un chien.Tableau données : tours de pédale, calories dépensées, nombre de convives, poids gigot, âge et poids d'un chien.
1. Tableau 1
2. Tableau 2
3. Tableau 3
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Compléter un tableau de proportionnalité en additionnant ou soustrayant des colonnes

Compléter ce tableau de proportionnalité.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité : nombre de tours de piste et temps en secondes. Calcul à compléter.Tableau de proportionnalité : nombre de tours de piste et temps en secondes. Calcul à compléter.

  • On a 8 = 5 + 3.
  • Pour obtenir le nombre de la case violette, on calcule 255 + 425 = 680.

Placeholder pour Image: calcul addition. 3 tours + 5 tours = 8 tours ; 255 s + 425 s = 680 sImage: calcul addition. 3 tours + 5 tours = 8 tours ; 255 s + 425 s = 680 s

  • On a 170 = 425 – 255.
  • Pour obtenir le nombre de la case bleue, on calcule 5 – 3 = 2.

Placeholder pour Image: tableau illustrant des soustractions. Calcul du nombre de tours de piste (5-3=2) et du temps (425-255=170s).Image: tableau illustrant des soustractions. Calcul du nombre de tours de piste (5-3=2) et du temps (425-255=170s).
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Compléter un tableau de proportionnalité en multipliant ou divisant une colonne par un nombre

Compléter le tableau de proportionnalité suivant.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité : nombre d'œufs et de crêpes. À compléter.Tableau de proportionnalité : nombre d'œufs et de crêpes. À compléter.

  • Pour passer de 2 à 4, on multiplie par 2 car 2 × 2 = 4.
  • Pour obtenir le nombre de la case violette, on calcule 2 × 8 = 16.
Placeholder pour Tableau illustrant une proportionnalité : 2 œufs pour 8 crêpes, 4 œufs pour 16 crêpes.Tableau illustrant une proportionnalité : 2 œufs pour 8 crêpes, 4 œufs pour 16 crêpes.

  • Pour passer de 36 à 12, on divise par 3 car 36 ÷ 3 = 12.
  • Pour obtenir le nombre de la case bleue, on calcule 9 ÷ 3 = 3.
Placeholder pour Tableau illustrant une règle de trois : 9 œufs pour 36 crêpes, 3 œufs pour 12 crêpes.Tableau illustrant une règle de trois : 9 œufs pour 36 crêpes, 3 œufs pour 12 crêpes.
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Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant le coefficient de proportionnalité

Compléter ce tableau de proportionnalité.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité : masse de chocolat et de gâteau (kg). Valeurs : 4kg/7kg, 0,8kg/1,4kg, 12,4kg/?Tableau de proportionnalité : masse de chocolat et de gâteau (kg). Valeurs : 4kg/7kg, 0,8kg/1,4kg, 12,4kg/?

  • Pour passer de 4 à 7 on multiplie par \dfrac{7}{4} car 4 \times \dfrac{7}{4}=7.
  • Pour obtenir le nombre de la case violette, on calcule : 12\text{,}4 \times \dfrac{7}{4}=21\text{,}7.

Placeholder pour Schéma illustrant un calcul de proportionnalité : 4 kg de chocolat pour 7 kg de gâteau. Calcul du poids de chocolat pour 12,4 kg de gâteau.Schéma illustrant un calcul de proportionnalité : 4 kg de chocolat pour 7 kg de gâteau. Calcul du poids de chocolat pour 12,4 kg de gâteau.

  • Pour passer de 7 à 4 on multiplie par \dfrac{4}{7} : 7 \times \dfrac{4}{7} = 4.
  • Pour obtenir le nombre de la case bleue, on calcule 14\text{,}7 \times \dfrac{4}{7} = 8\text{,}4

Placeholder pour Schéma illustrant un calcul de proportionnalité : 4 kg de chocolat pour 7 kg de gâteau. Calcul du poids de chocolat pour 14,7 kg de gâteau.Schéma illustrant un calcul de proportionnalité : 4 kg de chocolat pour 7 kg de gâteau. Calcul du poids de chocolat pour 14,7 kg de gâteau.
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Dans les exercices suivants, compléter les tableaux de proportionnalité suivants, en faisant les calculs de tête.

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Exercice 4

1.
Nombre d'accompagnateurs 2 3 5
Nombres d'élèves 18 27
9

2.
Nombres de chaises 4 2 1
Prix payé (en €) 80 40
60

3.
Nombres de classeurs rangés 22 44 55
Nombres d'étagères 2 4
1
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Exercice 5

1.
Longueur (en in) 3 4
39
Longueur (en cm) 7,62
15,24 99,06

2.
Surface du champs (en m^2) 3,43 5
28,9
Nombre de tulipes plantées 343 500 227

3.
Volume d'eau de mer (en L) 3
9,2 3,4
Masse de sel extraite (en g) 75 125
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Compléter un tableau de proportionnalité

Compléter astucieusement le tableau de proportionnalité suivant.

Placeholder pour Tableau de proportionnalité à compléter : 4/9, 7/15,75, 11/24,75, 21/x, 15/y. Exercice de mathématiques.Tableau de proportionnalité à compléter : 4/9, 7/15,75, 11/24,75, 21/x, 15/y. Exercice de mathématiques.

  • Pour la case violette, on observe que 3 × 7 = 21.
  • Le résultat est donc 47,25 !

Placeholder pour Schéma illustrant une multiplication par 3 : 7 devient 21 et 15,75 devient 47,25.Schéma illustrant une multiplication par 3 : 7 devient 21 et 15,75 devient 47,25.

  • Pour la case bleue, 15 = 11 + 4.
  • Le résultat est donc 33,75 !

Placeholder pour Illustration graphique d'une opération d'addition : 4 + 9 + 11 + 24,75 = 48,75Illustration graphique d'une opération d'addition : 4 + 9 + 11 + 24,75 = 48,75
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Exercice 6
Compléter astucieusement les tableaux de proportionnalité suivants

1.
7 1,4 4,9 2,8 11,9
3 0,6 2,1

2.
5,5 4 3 1,5 7
121 88 66

3.
8,4 16,8 42 15,3 25,2
7 14 35
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