2. Aire et périmètre de polygones
A. Périmètres des polygones usuels
► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
► Si un rectangle a un côté de longueur et un autre côté de longueur , alors son périmètre sera .
► On peut aussi le calculer différemment : .
▸ On « déroule » le rectangle.
► Si un rectangle a un côté de longueur et un autre côté de longueur , alors son périmètre sera .
► On peut aussi le calculer différemment : .
▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure :
- 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm
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B. Aire d'un carré et d'un rectangle
► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur , l’aire A vaut donc :
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm 3 cm = 3 3 cm = 9 cm.
► Si un carré a un côté de longueur , l’aire A vaut donc :
▸
▸ Aire = côté côté
Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
> cm cm = cm
> m m = m
> km km = km
Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm 3 cm = 3 3 cm = 9 cm.
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► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur et de largeur , alors l’aire du rectangle A vaut : A = .
Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm 5 cm = 3 5 cm = 15 cm.
▸ A = longueur largeur
Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur et de largeur , alors l’aire du rectangle A vaut : A = .
Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm 5 cm = 3 5 cm = 15 cm.
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C. Aire d'un triangle
► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.
► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents et celle de l’autre côté adjacent , l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm 7 cm) 2 = ((3 7) 2) cm = 21 2 cm = 10,5 cm.
► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents et celle de l’autre côté adjacent , l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
▸ A =
▸ A =
Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm 7 cm) 2 = ((3 7) 2) cm = 21 2 cm = 10,5 cm.
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► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm 10 cm) 2 = (7 10) 2 cm = 35 cm.
Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur support) 2.
▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.
► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
▸ Aire = (support hauteur) 2
▸ A =
Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm 10 cm) 2 = (7 10) 2 cm = 35 cm.
Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur support) 2.
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