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2. Aire et périmètre de polygones

A. Périmètres des polygones usuels

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?
Découvrir
► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.
On « déroule » le carré.

► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur cc, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.
Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4 ×\times 3,2 cm = 12,8 cm.
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Quel est le périmètre du carré suivant ?
On mesure un côté : il vaut 2 cm.
Les quatre côtés sont de longueur égale.

Le périmètre vaut donc 4 ×\times 2 cm = 8 cm.
Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.
► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.
▸ On « déroule » le rectangle.

► Si un rectangle a un côté de longueur ll et un autre côté de longueur LL, alors son périmètre sera l+L+l+L=2×(l+L)l + L + l + L = 2 × (l + L).

► On peut aussi le calculer différemment : l+l+L+L=(2×l)+(2×L)l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L).
Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure :
- 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm
Retenir
Quel est le périmètre du rectangle ?
On mesure le petit côté : 1,3 cm.
On mesure le grand côté : 2 cm.

On calcule le périmètre : 2 ×\times (1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.
Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.  
4

Périmètre d'un quadrilatère.

5

Périmètre d'un rectangle.

B. Aire d'un carré et d'un rectangle

a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a.
c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté. 

Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm2^2.
Découvrir
► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur cc, l’aire A vaut donc :
A=c×cA = c \times c
Aire = côté ×\times côté

Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :
> cm ×\times cm = cm2^2
m ×\times m = m2^2
km ×\times km = km2^2

Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm ×\times 3 cm = 3 ×\times 3 cm2^2 = 9 cm2^2.
Retenir
Quelle est l’aire de ce carré ?
On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.
On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm ×\times 2 cm = 4 cm2^2.

L’aire vaut donc 4 cm2^2.
Refaire : Calculer l’aire d’un carré.
Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?
Découvrir
► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.
A = longueur ×\times largeur

Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur ll et de largeur LL, alors l’aire du rectangle A vaut : A = l×Ll \times L.

Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm ×\times 5 cm = 3 ×\times 5 cm2^2 = 15 cm2^2.
Retenir
Quelle est l’aire de ce rectangle ?
La longueur mesure 2,2 cm.
La largeur mesure 1,5 cm.
On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm ×\times 1,5 cm = 3,3 cm2^2.

L’aire vaut donc 3,3 cm2^2.
Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle. 
6

Aire d'un carré.

7

Aire d'un rectangle.

C. Aire d'un triangle

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?
Découvrir
► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.

► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents aa et celle de l’autre côté adjacent bb, l’aire A du triangle rectangle vaut donc :
A = (a×b)÷2( a \times b ) \div 2
A = a×b2\dfrac{ a \times b}{2}

Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm ×\times 7 cm) ÷\div 2 = ((3 ×\times 7) ÷\div 2) cm2^2 = 21 ÷\div 2 cm2^2 = 10,5 cm2^2.
Retenir
Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?
On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.
 On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.
 On calcule : (1,1 cm ×\times 2,3 cm) ÷\div 2 = 1,265 cm2^2.

L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm2^2.
Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.
a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l’aire du grand triangle.
Découvrir
► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.
Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.

► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :
Aire = (support  ×\times  hauteur) ÷\div
A = s×h2\dfrac{s \times h}{2}                     

Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm ×\times 10 cm) ÷\div 2 = (7 ×\times 10) ÷\div 2 cm2^2 = 35 cm2^2.

Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur ×\times support) ÷\div 2.
Retenir
Quelle est l’aire du triangle ci-contre ?
On mesure la hauteur qui est tracée : 1,3 cm.
 On mesure le support de cette hauteur : 2,3 cm.
 On calcule : (1,3 cm ×\times 2,3 cm) ÷\div 2 = 1,495 cm2^2.

L’aire du triangle est donc de 1,495 cm2^2.
Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle.
9

Aire d'un triangle rectangle.

10

Donner l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent...

11

Donné l'aire de chaque triangle.

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