2. Aire et périmètre de polygones

A. Périmètres des polygones usuels

a. Tracer un carré de 2 cm de côté et mesurer son périmètre.
b. Tracer un carré de 5 cm de côté et mesurer son périmètre.
c. Que remarque-t-on ?

Découvrir

► Un carré (ou un losange) possède quatre côtés de longueurs égales.

▸ On « déroule » le carré.

► Si un carré ou un losange a des côtés de longueur

c

, son périmètre vaut c + c + c + c = 4 × c.

▸ Un carré de côté 3,2 cm a un périmètre de longueur 4

\times

3,2 cm = 12,8 cm.

Retenir

Quel est le périmètre du carré suivant ?

▸ On mesure un côté : il vaut 2 cm.

▸ Les quatre côtés sont de longueur égale.

► Le périmètre vaut donc 4

\times

2 cm = 8 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un carré.

► Les côtés opposés d’un rectangle sont de même longueur.

▸ On « déroule » le rectangle.

► Si un rectangle a un côté de longueur

l

et un autre côté de longueur

L

, alors son périmètre sera

l + L + l + L = 2 × (l + L)

.

► On peut aussi le calculer différemment :

l + l + L + L = (2 × l) + (2 × L)

▸ Un rectangle dont le petit côté mesure 3 cm et le grand côté mesure 5 cm a un périmètre qui mesure :

- 3 + 5 + 3 + 5 cm = 2 × (3 + 5) cm = 2 × 8 cm = 16 cm
- 3 + 3 + 5 + 5 cm = (2 × 3) + (2 × 5) cm = 6 + 10 cm = 16 cm

Retenir

Quel est le périmètre du rectangle ?

▸ On mesure le petit côté : 1,3 cm.

▸ On mesure le grand côté : 2 cm.

► On calcule le périmètre : 2

\times

(1,3 cm + 2 cm) = 6,6 cm.

Refaire : Mesurer le périmètre d’un rectangle.

Périmètre d'un quadrilatère.

Donner leur périmètre.

Périmètre d'un rectangle.

Donner leur périmètre.

B. Aire d'un carré et d'un rectangle

a. Construire un carré de 5 cm de côté. On fixe ici l’unité d’aire (u.a.) à l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
b. Paver le carré construit par des carrés d’aire 1 u.a.
c. En déduire l’aire du carré de 5 cm de côté.

Remarque ▸ Ici, 1 u.a. = 1 cm

^2

Découvrir

► L’aire d’un carré est le produit de la longueur d’un côté par elle-même.
► Si un carré a un côté de longueur

c

, l’aire A vaut donc :

▸

A = c \times c

▸ Aire = côté

\times

côté

Remarque ▸ Il faut bien utiliser les mêmes unités dans le calcul ! On utilise ainsi les règles suivantes :

> cm

\times

cm = cm

^2

> m

\times

m = m

^2

> km

\times

km = km

^2

Exemple ▸ L’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 cm $\times$ 3 cm = 3 $\times$ 3 cm $^2$ = 9 cm $^2$ .

Retenir

Quelle est l’aire de ce carré ?

▸ On mesure la longueur d’un côté : 2 cm.

▸ On multiplie cette longueur par elle-même : 2 cm

\times

2 cm = 4 cm

^2

► L’aire vaut donc 4 cm

^2

Refaire : Calculer l’aire d’un carré.

► Tracer un rectangle de dimensions 4 carreaux par 7 carreaux. Compter le nombre de carreaux à l’intérieur. Pouvait-on s’y attendre ?

Découvrir

► L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur.

▸ A = longueur

\times

largeur

Remarques ▸ Dans le cas d’un carré, longueur et largeur ont la même dimension.
▸ Si un rectangle est de longueur

l

et de largeur

L

, alors l’aire du rectangle A vaut : A =

l \times L

.

Exemple ▸ Si un rectangle a une longueur de 3 cm et une largeur de 5 cm, alors son aire vaut 3 cm $\times$ 5 cm = 3 $\times$ 5 cm $^2$ = 15 cm $^2$ .

Retenir

Quelle est l’aire de ce rectangle ?

▸ La longueur mesure 2,2 cm.

▸ La largeur mesure 1,5 cm.

▸ On multiplie ces deux dimensions : 2,2 cm

\times

1,5 cm = 3,3 cm

^2

► L’aire vaut donc 3,3 cm

^2

Refaire : Calculer l’aire d’un rectangle.

Aire d'un carré.

Donner leur aire.

Aire d'un rectangle.

Donner leur aire.

Donner l'aire d'un rectangle.

De dimensions 4 km par 7,6 km.

De dimensions 2,3 m par 4,2 m.

De dimensions 58,2 mm par 7,9 mm.

C. Aire d'un triangle

a. Tracer un rectangle de dimensions quelconques sur une feuille.
b. Quelle est son aire ?
c. Tracer une diagonale du rectangle et identifier deux triangles rectangles.
d. Comment calculer l’aire d’un des triangles rectangles à partir de celle du rectangle ?

Découvrir

► L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés adjacents à l’angle droit, divisé par deux.

► Si l’on appelle la longueur de l’un des côtés adjacents

a

et celle de l’autre côté adjacent

b

, l’aire A du triangle rectangle vaut donc :

▸ A =

( a \times b ) \div 2

▸ A =

\dfrac{ a \times b}{2}

Exemple ▸ Un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l’angle droit mesurent 3 cm et 7 cm a donc une aire de :
(3 cm $\times$ 7 cm) $\div$ 2 = ((3 $\times$ 7) $\div$ 2) cm $^2$ = 21 $\div$ 2 cm $^2$ = 10,5 cm $^2$ .

Retenir

Quelle est l’aire de ce triangle rectangle ?

▸ On mesure un côté adjacent : 1,1 cm.

▸ On mesure l’autre côté adjacent : 2,3 cm.

▸ On calcule : (1,1 cm

\times

2,3 cm)

\div

2 = 1,265 cm

^2

► L’aire du triangle rectangle vaut donc 1,265 cm

^2

Refaire : Mesurer l’aire d’un triangle rectangle.

a. Repérer deux triangles rectangles dans la figure suivante.
b. Donner l’aire de chaque triangle rectangle.
c. En déduire l’aire du grand triangle.

Découvrir

► Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté qui relie ce côté à un sommet.

▸ Le segment [CH] est une hauteur du triangle ABC.

► On peut obtenir l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur d’une hauteur. Si le triangle a une hauteur de longueur h et que le côté supportant la hauteur a une longueur s, alors l’aire du triangle vaut :

▸ Aire = (support

\times

hauteur)

\div

▸ A =

\dfrac{s \times h}{2}

Exemple ▸ Dans le triangle ABC, CH est une hauteur. Si CH = 7 cm et AB = 10 cm, alors l’aire du triangle vaut (7 cm $\times$ 10 cm) $\div$ 2 = (7 $\times$ 10) $\div$ 2 cm $^2$ = 35 cm $^2$ .

Remarques ▸ La hauteur peut parfois être située hors du triangle, comme dans l’exemple ci-contre :
▸ Le calcul de l’aire se fait de la même manière : (hauteur