Approfondissement

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Environnement et développement durable

[Ch.1 - Mod.1 - Mod.8 - Cal.4.]

La géothermie, énergie renouvelable et non polluante, permet la production d'énergie électrique grâce à la chaleur des nappes d'eau souterraines. La centrale géothermique de Rittershoffen (Bas-Rhin) a été inaugurée le 7 juin 2016. On y a creusé un puits qui a la forme du tronc de cône représenté.


On calcule le volume d'un tronc de cône grâce à la formule suivante : $\mathrm{V}=\frac{\pi }{3}\times h\times \left({\mathrm{R}}^2+\mathrm{R}\times r+r^2\right)$, où $h$ désigne la hauteur du tronc de cône, $\text{R}$ le rayon de la grande base et $r$ le rayon de la petite base. Calculer le volume du puits en $m^3$.

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[Ch.1 - Mod.1 - Mod.8 - Cal.4]

Ryan souhaite comparer la masse d'alcool de deux boissons. Il dispose des informations suivantes.



Quelle boisson a la masse d'alcool la plus élevée ? Justifier.

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[Mod.8 - Rais.4 - Cal.4]

On considère le programme de calcul suivant.

$\boxed{\begin{array}{rl}1& \text{Choisir un nombre entier neˊgatif}\\ 2& \text{Le multiplier par 2}\\ 3& \text{Ajouter 3}\\ 4& \text{Multiplier le reˊsultat par –4}\\ 5& \text{Ajouter 4}\end{array}}$

1. Qu'obtient-on en choisissant $-3$ au départ ?

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2. Soit $x$, le nombre de départ. Exprimer, en fonction de $x$, le résultat du programme.

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3. Eva souhaite montrer que, quel que soit le nombre de départ, on obtient toujours un multiple de $8$.

a. Développer et réduire l'expression obtenue à la question 2. .

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b. À l'aide d'une factorisation, démontrer que l'on obtient toujours un multiple de $8$.

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[Ch.2 - Mod.8 - Rais.5 - Cal.4]

Paul construit une suite de maisons avec des allumettes comme représenté ci-après.



1. Combien d'allumettes faut-il pour construire quatre maisons (étape 4) ?

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2. Soit $n$, le numéro de l'étape. Proposer une expression qui donne le nombre d'allumettes, en fonction de $n$, nécessaires à la construction de l'étape $n$.

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3. Combien faut-il d'allumettes pour construire cette suite de maisons à l'étape 2020 ?

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[Mod.8 - Rais.4 - Cal.4]

On considère le programme de calcul suivant.

$\boxed{\begin{array}{rl}1& \text{Choisir un nombre entier}\\ 2& \text{Le multiplier par 3}\\ 3& \text{Soustraire 6}\\ 4& \text{Eˊlever le reˊsultat au carreˊ}\end{array}}$

1. Qu'obtient-on en choisissant $-2$ au départ ?

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2. Soit $x$, le nombre de départ. Exprimer, en fonction de $x$, le résultat du programme.

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3. Démontrer que, quel que soit le nombre de départ, on obtient toujours un multiple de $9$.

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[Mod.8 - Cal.4]

On considère l'expression $\mathrm{C}=(2x-3)(-x+1)+3$.

1. Développer et réduire $\text{C}$.

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2. Factoriser $\text{C}$ à partir du résultat de la question 1. .

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3. En utilisant la forme la plus adaptée, calculer $\text{C}$ pour :

a. $x=0$

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b. $x=\frac{3}{2}$

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c. $x=\frac{5}{2}$

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Énigme

Un magicien affirme qu'il peut deviner l'âge des spectateurs. Pour cela, il fait monter une personne sur la scène puis il lui demande de réaliser en silence les calculs suivants :
« Ajoutez 3 à votre âge, multipliez par 10, divisez ensuite par 5 puis retranchez 5.»
Enfin, le magicien demande d'annoncer le nombre ainsi obtenu. Emma, la première volontaire à se prêter à ce tour de magie, annonce : « 47 ». Le magicien lui annonce immédiatement : « Tu as 23 ans ! ». Emma approuve.
Expliquer comment le magicien peut trouver l'âge du spectateur très rapidement une fois le résultat du calcul connu.

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Casse-tête

Mia a un certain nombre de bonbons, plus grand que $6$, que l'on note $n$, Sofia en a $15$ de plus que Mia et Élise en a $3$ de plus que Sofia. Dans la journée, Mia mange $5$ bonbons, Sofia en mange $6$ et Élise en mange $7$. À la fin de la journée, elles mettent ce qui leur reste en commun et se les partagent équitablement. Exprimer, en fonction de $n$, le nombre de bonbons que reçoit chacune des filles à la fin de la journée.

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Casse-tête

Sarah choisit un nombre entier. À la somme des carrés des deux entiers qui lui succèdent, elle retranche la somme des carrés des deux entiers qui le précèdent. Sarah prétend pouvoir trouver rapidement le résultat.
Expliquer son raisonnement.

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Défi

Pour calculer rapidement le carré d'un nombre compris entre $26$ et $100$, on suit les étapes suivantes :

• Étape 1 : soustraire $25$ au nombre, puis le multiplier par $100$ ;
• Étape 2 : reprendre le nombre de départ, le soustraire à $50$, puis élever le résultat au carré ;
• Étape 3 : ajouter les résultats des étapes 1 et 2.

1. Démontrer que ce programme de calcul permet bien de calculer le carré d'un nombre.

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2. Calculer mentalement $38^2$.

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