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Notions générales





1
Définir une liste ☆☆

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes


Le programme ci-après définit trois listes. Pour chacune d’elle :

1. Énumérer tous les éléments de la liste à la fin de l’exécution du programme.
2. Modifier la définition pour qu’elle contienne la liste des nombres pairs de 00 à 20.20.

liste1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13, 15, 46, 11]
liste2 = [7*i for i in range(12)]
liste3 = []

for i in range(20):
  liste3.append(i*i)

print(liste1)
print(liste2)
print(liste3)

2
Liste et chaîne de caractères
☆☆

Compétence : Utiliser des variables de type Liste et de type Chaîne de caractères
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes


1. Compléter le programme suivant pour qu’il affiche la chaîne de caractère "BIEN".
2. Modifier le programme pour qu’il affiche "OLEY".

l1 = ["B", "O", "N"]
l2 = ["B", "I", "L", "L"]
l3 = ["B", "E", "N"]
l4 = ["B", "U", "N", "N", "Y"]

a1 = l1#A compléter
a2 = l2#A compléter
a3 = l3#A compléter
a4 = l4#A compléter


print(a1 + a2 + a3 + a4)

3
Supprimer des doublons
☆☆

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser une fonction
Compétence : Utiliser une instruction conditionnelle
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Écrire une fonction supprime_doublons() qui prend une liste de nombres en argument et qui renvoie une liste contenant tous les éléments de la liste de départ une et une seule fois.

serie_statistique = [2, 3, 7, 9, 2, 2, 4, 5, 3]

def supprime_doublons(liste):
  #A compléter

print(supprime_doublons(serie_statistique))


4
Calcul approché de π\pi
☆☆

Compétence : Utiliser une instruction conditionnelle
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


On se place dans un repère orthonormé (O;I,J).(\text{O} ; \text{I}, \text{J}). L’une des méthodes pour obtenir une approximation de π\pi consiste à choisir au hasard un grand nombre de points ayant une abscisse et une ordonnée dans l’intervalle [0;1].[0 \: ;1]. La proportion de ceux qui sont à l’intérieur du quart de cercle de centre O\text{O} et de rayon 11 est une approximation de π4.\dfrac{\pi}{4}.

1. Compléter le programme ci-après.
2. Tester le programme à plusieurs reprises. L’approximation obtenue est-elle fiable ?


from random import*

compte = 0

for i in range (100000):
  x = random()
  y = random()
  distance = #A compléter
  if #A compléter
    compte = compte + 1

proportion = compte/100000
pi = 4*proportion
print(pi)

5
Factorielle
☆☆

Compétence : Utiliser une variable de type Liste
Compétence : Utiliser une fonction
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


La factorielle d’une nombre entier positif, notée n!n! est définie par : 0!=10!=1 et n!=(n1)!×n.n! = (n-1)! \times n.

1. Écrire une fonction factorielle() qui prend en argument un nombre entier positif nn et qui renvoie n!.n!.
2. Écrire une fonction liste_factorielle() qui prend en argument un nombre entier positif nn et qui renvoie une liste contenant la factorielle de tous les nombres entiers positifs strictement plus petits que n.n.

def factorielle(n):
  #A compléter

def liste_factorielle(n):
  #A compléter

print(liste_factorielle(6))

6
Chaîne de caractères et liste
☆☆

Compétence : Utiliser des variables de type Liste et de type Chaîne de caractères
Compétence : Utiliser une instruction conditionnelle
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


On considère la chaîne de caractères "monprinceviendra".

1. Écrire un programme qui affiche deux listes : voyelles et consonnes dans lesquelles on retrouvera respectivement les voyelles et les consonnes de la chaîne de caractères.
2. Écrire un programme qui détermine le nombre de voyelles contenues dans la chaîne de caractères "alea jacta est".




7
Aire sous une parabole
★★

Compétence : Utiliser des instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


On se place dans un repère orthonormé (O;I,J).(\text{O} ; \text{I}, \text{J}).
À l’aide d’une méthode de Monte Carlos comme dans l’exercice numéro 4, écrire un programme permettant de calculer une approximation de l’aire située entre la parabole d’équation y=x2,y=x^2, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0x=0 et x=1.x=1.



8
Triangles rectangles presque isocèles
★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser des instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


On dit qu’un triangle rectangle est presque isocèle lorsque la longueur de ses côtés est un nombre entier et que les longueurs des deux côtés de l’angle droit sont des nombres entiers consécutifs.

1. Montrer qu’un triangle dont les côtés mesurent 33 ; 44 et 55 est presque isocèle.

2. Compléter le programme ci-après pour trouver tous les triangles rectangles presque isocèles dont le plus petit côté est inférieur ou égal à 1000000.1\,000\,000. Stocker les réponses dans la liste presque_rectangle.
3. Pour chacun des éléments de la liste (sauf le dernier), afficher le quotient de cet élément par le suivant. Que remarque-t-on ?


from math import sqrt

presque_rectangle = []

for i in #A compléter
  carre_hypothenuse = i*i + (i + 1)*(i + 1)
  if #A compléter
    presque_rectangle.append(i)

print(presque_rectangle)

9
Manipuler des listes, première partie
★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


La fonction ci-après crée et renvoie automatiquement une liste de 20 nombres entiers entre 00 et 100.100.

1. Tester le programme.
2. Compléter le programme pour qu’il affiche deux listes : l’une contenant les nombres impairs de la liste créée et l’autre contenant les nombres pairs.

from random import randint

def liste_reference():
  liste = []
  for i in range(20):
    liste.append(randint(0, 100))
  return liste

#A compléter

print(liste_reference())

10
Manipuler des listes, deuxième partie
★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


En utilisant le même programme que l’exercice précédent, créer cette fois-ci deux listes pour trier les nombres inférieurs ou égaux à 5050 et ceux strictement supérieur à 50.50.



11
Résolution d’une équation de degré 3
★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


Soient a,a, b,b, cc et dd quatre réels tels que a0.a \neq 0. Pour résoudre une équation de degré 3 de la forme ax3+bx2+cx+d=0,ax^3+bx^2+cx+d=0, on utilise le discriminant Δ=18abcd4b3d+b2c24ac327a2d2.\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2.
  • Si Δ>0\Delta>0 l’équation admet trois solutions réelles distinctes.
  • Si Δ=0\Delta=0 l’équation admet une racine double ou triple.
  • Si Δ<0\Delta\lt0 l’équation admet 11 solution réelle.
Écrire un programme qui donne le nombre de solutions d’une équation de degré 3 lorsque les coefficients a,a, b,b, cc et dd sont connus. On pourra prendre exemple sur l’exercice 1 de la partie Algèbre.



12
Théorème des quatre carrés
★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


Le théorème des quatre carrés affirme que tout nombre entier peut s’écrire comme la somme de quatre carrés de nombres entiers. Ainsi 20=12+32+32+12.20=1^2+3^2+3^2+1^2. On constate qu’on ne demande pas à ce que les quatre nombres soient tous distincts.

1. Soit nN.n \in \mathbb{N}.
Compléter le programme ci-après pour qu’il affiche une liste de quatre nombres entiers positifs dont la somme des carrés est égale à n.n.
2. Ce programme présente un défaut : il affiche plusieurs fois la même réponse. Modifier le programme pour résoudre ce défaut.

nombre = 50

for i in range(nombre):
  for j in range(nombre):
    for k in range(nombre):
      for h in range(nombre):
        if #A compléter


13
Sommes, cubes et carrés
★★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Martin a lu dans un livre de mathématiques que, pour tout nombres entiers naturel n,n, la somme des cubes des nn premiers nombres entiers naturel est égal au carré de la somme de ces nn premiers nombres entiers naturels.

1. Compléter les fonctions cube() et carre() ci-après qui renvoient respectivement le cube et le carré du nombre qui leur est donné en paramètre.
2. Compléter la fonction somme() qui renvoie la somme de la liste donnée en paramètre.
3. En utilisant les fonctions cube(), carre() et somme(), écrire un programme qui permet de tester, pour une valeur de nn donnée, l’affirmation du livre de Martin.

def cube(k):
	#A compléter

def carre(l):
	#A compléter

def somme(liste):
	#A compléter


n = 10

#A compléter

14
Puissances
★★★

Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Au lycée, Elena a constaté que 52=42+32.5^2 = 4^2 + 3^2. Mais il constate également que 53>43+335^3>4^3+3^3 et que 54>44+34.5^4>4^4+3^4. Elena se demande alors si cette propriété est générale. Elena se pose donc la question de savoir si 5n>4n+3n5^n>4^n+3^n pour tout n>2.n>2.
Aider Elena à tester sa conjecture ?



15
Nombres parfaits
★★★

Compétence : Utiliser des variables de type Liste
Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser des instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser une boucle bornée
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées


Soit nN.n \in \mathbb{N}.
On dit que nn est un nombre parfait lorsqu’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts (en excluant nn).

1. a. Faire la liste des diviseurs de 6.6.

b. En déduire que 66 est un nombre parfait.

Compléter le programme ci-après pour qu’il affiche une liste de quatre nombres entiers positifs dont la somme des carrés est égale à n.n.
2. Montrer que 2828 est un nombre parfait.

3. Compléter la fonction diviseurs() ci-après qui prend un nombre entier positif et renvoie la liste de ses diviseurs stricts.
4. Compléter la fonction parfait() qui prend un nombre entier positif en argument et renvoie 1 s’il est parfait et 0 sinon.
5. Compléter le programme pour qu’il fasse la liste des nombres parfaits inférieurs à 1000.1\,000.

def diviseur(n):
  # A compléter


def parfait(n):
  # A compléter

# A compléter

16
Convergence d’une suite
★★★

Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser des boucles
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par un=4×(1)n2n+1.u_n=\dfrac{4\times (-1)^n}{2n+1}.

1. Écrire une fonction terme() qui prend en argument un nombre entier naturel nn et qui renvoie un.u_n.
2. Compléter le programme pour qu’il calcule la somme des 20002\,000 premiers termes de cette suite. Vers quelle valeur remarquable cette somme semble-t-elle converger ?
3. À l’aide de l’instruction pi du module math, trouver la plus petite valeur de NNN \in \mathbb{N} telle que uNπ<0,001.\vert u_N - \pi \vert \lt 0{,}001.



17
Théorème des quatre carrés
★★★

Compétence : Utiliser des fonctions
Compétence : Utiliser des instructions conditionnelles
Compétence : Utiliser des boucles
Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 5 : Les boucles bornées
Voir fiche n° 6 : Les boucles non bornées


Une puce est placée à l’origine d’une droite graduée. Elle se déplace, à chaque saut, d’une longueur de 11 vers la droite ou vers la gauche. La probabilité d’aller vers la gauche est p[0;1].p \in [0\, ; 1]. On cherche à savoir au bout de combien de sauts la puce atteint 4-4 ou 4.4.

1. Compléter la fonction marche() ci-après qui renvoie le nombre de sauts nécessaires à la puce pour atteindre 4-4 ou 4,4, pp étant donné en paramètre de la fonction.
2. Répéter 1000010\,000 fois l’expérience et stocker dans une liste le nombre de sauts de chacune des expériences.
3. Afficher le nombre de saut moyen.
4. Représenter dans un diagramme en bâtons ces nombres de sauts.

from random import random
from matplotlib.pyplot import *


def marche(probabilite):
  #A compléter
  return temps


#A compléter

hist(durees, bins = 60)
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