Introduction à la logique et aux paradoxes
mathématiques et philosophiques
Introduction
Parmi les nombreux paradoxes auxquels les logiciens se sont
intéressés, le paradoxe du menteur revêt une importance
particulière. Ce paradoxe provient des réflexions de l'école
de Mégare, fondée au Vè siècle av. J.-C., sur les limites de la
logique. Son énoncé est simple : « je mens » (ou plus précisément : « ce que je dis est faux »). Cette phrase ne peut être
ni vraie ni fausse : si je mens, c'est que ce que je dis est faux,
donc que je ne mens pas.
Le philosophe Jaakko Hintikka a démontré que la contradiction
de la proposition « je mens » n'est pas logique, à la différence
de la proposition « je mens et je ne mens pas » qui, elle,
serait contradictoire. « Je mens » est une contradiction pragmatique,
c'est-à-dire que cet énoncé devient contradictoire
à partir du moment où il est prononcé. Hintikka démontre
en outre que le cogito cartésien repose sur un mécanisme
similaire : s'il est évident que « je suis, j'existe », c'est que
la proposition « je n'existe pas » enferme une contradiction
pragmatique.
Le logicien Bertrand Russell a développé une nouvelle forme
de logique pour répondre à ce paradoxe. Il s'agit de la logique
des types qui distingue différents niveaux logiques : celui par
exemple de la proposition « je mens », et celui du fait que je
sois en train de mentir. Séparer ces niveaux permet d'éliminer
le paradoxe du menteur. En effet, lorsque le menteur ment,
c'est un fait, et lorsque je juge si c'est vrai, je juge une proposition.
Les deux événements ne relèvent pas du même type
logique, donc il n'y a pas de contradiction.
Texte
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Crédits : Schütze/Rodemann/AKG
Les paradoxes intéressent aussi bien les mathématiciens que les philosophes.
Un paradoxe est une contradiction logique : il demande d'admettre deux thèses
qui sont contradictoires, c'est-à-dire qui ne peuvent pas être toutes les deux
vraies. Pour résoudre un paradoxe, il est possible, par exemple, de clarifier la
situation de départ, pour se rendre compte qu'elle comportait un détail inexact
ou mal formulé, ou de montrer que les deux thèses supposées contradictoires
ne le sont pas, si elles sont réinterprétées dans deux champs différents (voir la
troisième antinomie de la raison pure de Kant).
La photographie ci-contre montre une céramique réalisée à partir d'une œuvre
de Vasarely, fondateur de l'art optique, qui construisait, entre autres, des géométries
impossibles.
Petit précis de logique
Cette image représente une architecture troublante pour l'œil.
Quels problèmes logiques cette représentation vous semble-t-elle poser ?
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Crédits : Peter Hermes Furian/Alamy
Un syllogisme est une forme de raisonnement comportant deux prémisses –
une majeure et une mineure – qui, si elles sont valides, permettent d'arriver à
une conclusion. Par exemple, « tous les hommes sont mortels, or Socrate est un
homme, donc Socrate est mortel » est différent de « Tous les chats sont mortels,
or Socrate est mortel, donc Socrate est un chat » (Eugène Ionesco). Dans cette
dernière citation, remplacez les termes par des lettres pour clarifier le problème.
Vous pouvez également dessiner un schéma pour montrer que les ensembles
« chats » et « mortels » ne sont pas de même extension.
Pourquoi ce raisonnement n'est-il pas un syllogisme valide ?
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Crédits : Halle an der Saale/Kunst Museum/AKG
Franz Marc, Le chat blanc, aquarelle, 1912
(musée d'art d'Halle-sur-la-Saale).
Le sophisme est une proposition qui mime la logique, mais qui s'appuie en réalité
sur des arguments fallacieux, c'est-à-dire visant à tromper l'interlocuteur.
Par exemple, « s'il pleut, le sol est mouillé, donc si le sol est mouillé, alors il
pleut » est un sophisme. Si A implique B, cela ne signifie pas que B implique A. Un
sophisme n'est pas, au sens strict, un paradoxe, car son apparente contradiction
n'est que le résultat d'une faute dans le raisonnement.
Construisez un sophisme et expliquez en quoi l'argument sur lequel il
repose est fallacieux.
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Crédits : lelivrescolaire.fr
Le paradoxe d'Achille et de la tortue a été formulé par Zénon d'Élée. Si Achille et
une tortue font une course, et qu'Achille laisse à la tortue une longueur d'avance, il
ne pourra jamais la rattraper, car le temps qu'Achille arrive à la position de la tortue,
celle-ci aura atteint une nouvelle position qu'il devra lui-même atteindre, etc.
Pourquoi chercher à résoudre un paradoxe théoriquement, si l'expérience
permet de montrer que, malgré l'apparente contradiction, la
conclusion est possible ? En quoi ce paradoxe montre-t-il que la pure
déduction – c'est-à-dire l'application de la seule logique – peut être
vaine, en tant qu'elle est dissociée du réel ?
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Crédits : lelivrescolaire.fr
Au XXè siècle, certains scientifiques et philosophes ont conçu un nouveau langage
qui ne contiendrait aucune ambiguïté, afin que celui-ci serve de support au raisonnement
logique. Dans ce langage, les propositions, par exemple « il pleut », sont
désignées par une lettre. Ici, on peut définir p comme la proposition « il pleut »,
q comme la proposition « il fait beau », et r comme la proposition « je reste chez
moi ». À partir de ces propositions de départ, on peut ajouter d'autres signes.
Quelle(s) difficulté(s) du langage ordinaire prétend-on éviter par le langage
de la logique ?
pνq
Ou bien il pleut, ou
bien il fait beau.
τp
Il ne pleut pas.
p → r
S'il pleut, alors je
reste chez moi.
La logique est une discipline ancienne qui trouve dans sa forme symbolique
moderne des applications et des correspondances variées, tant dans le domaine de
l'informatique, de l'économie, de la philosophie, que dans les sciences classiques.
Dans son manuel d'introduction à la logique, Logique et philosophie, le professeur
Pierre Wagner permet de comprendre cette diversité en posant des questions
philosophiques, parmi lesquelles se trouvent les deux questions qui suivent.
Peut-on penser illogiquement ? Combien de grains faut-il pour faire un
tas ou de brins de blé pour faire une meule (voir ci-contre) ?
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Crédits : Chicago Art Institute/AKG
Claude Monet, Meules, effet de neige,
1890‑1891, huile sur toile, 60 × 100 cm
(institut d'art de Chicago).
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