Introduction à la logique et aux paradoxes mathématiques et philosophiques

Parmi les nombreux paradoxes auxquels les logiciens se sont intéressés, le paradoxe du menteur revêt une importance particulière. Ce paradoxe provient des réflexions de l'école de Mégare, fondée au V^è siècle av. J.-C., sur les limites de la logique. Son énoncé est simple : « je mens » (ou plus précisément : « ce que je dis est faux »). Cette phrase ne peut être ni vraie ni fausse : si je mens, c'est que ce que je dis est faux, donc que je ne mens pas.

Le philosophe Jaakko Hintikka a démontré que la contradiction de la proposition « je mens » n'est pas logique, à la différence de la proposition « je mens et je ne mens pas » qui, elle, serait contradictoire. « Je mens » est une contradiction pragmatique, c'est-à-dire que cet énoncé devient contradictoire à partir du moment où il est prononcé. Hintikka démontre en outre que le cogito cartésien repose sur un mécanisme similaire : s'il est évident que « je suis, j'existe », c'est que la proposition « je n'existe pas » enferme une contradiction pragmatique.

Le logicien Bertrand Russell a développé une nouvelle forme de logique pour répondre à ce paradoxe. Il s'agit de la logique des types qui distingue différents niveaux logiques : celui par exemple de la proposition « je mens », et celui du fait que je sois en train de mentir. Séparer ces niveaux permet d'éliminer le paradoxe du menteur. En effet, lorsque le menteur ment, c'est un fait, et lorsque je juge si c'est vrai, je juge une proposition. Les deux événements ne relèvent pas du même type logique, donc il n'y a pas de contradiction.