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Petit précis de logique
P.156-157

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L’art du détour


Introduction à la logique et aux paradoxes mathématiques et philosophiques





Parmi les nombreux paradoxes auxquels les logiciens se sont intéressés, le paradoxe du menteur revêt une importance particulière. Ce paradoxe provient des réflexions de l’école de Mégare, fondée au Vè siècle av. J.-C., sur les limites de la logique. Son énoncé est simple : « je mens » (ou plus précisément : « ce que je dis est faux »). Cette phrase ne peut être ni vraie ni fausse : si je mens, c’est que ce que je dis est faux, donc que je ne mens pas.

Le philosophe Jaakko Hintikka a démontré que la contradiction de la proposition « je mens » n’est pas logique, à la différence de la proposition « je mens et je ne mens pas » qui, elle, serait contradictoire. « Je mens » est une contradiction pragmatique, c’est-à-dire que cet énoncé devient contradictoire à partir du moment où il est prononcé. Hintikka démontre en outre que le cogito cartésien repose sur un mécanisme similaire : s’il est évident que « je suis, j’existe », c’est que la proposition « je n’existe pas » enferme une contradiction pragmatique.

Le logicien Bertrand Russell a développé une nouvelle forme de logique pour répondre à ce paradoxe. Il s’agit de la logique des types qui distingue différents niveaux logiques : celui par exemple de la proposition « je mens », et celui du fait que je sois en train de mentir. Séparer ces niveaux permet d’éliminer le paradoxe du menteur. En effet, lorsque le menteur ment, c’est un fait, et lorsque je juge si c’est vrai, je juge une proposition. Les deux événements ne relèvent pas du même type logique, donc il n’y a pas de contradiction.

Petit précis de logique


céramique réalisée à partir d’une oeuvre de Vasarely


Les paradoxes intéressent aussi bien les mathématiciens que les philosophes. Un paradoxe est une contradiction logique : il demande d’admettre deux thèses qui sont contradictoires, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être toutes les deux vraies. Pour résoudre un paradoxe, il est possible, par exemple, de clarifier la situation de départ, pour se rendre compte qu’elle comportait un détail inexact ou mal formulé, ou de montrer que les deux thèses supposées contradictoires ne le sont pas, si elles sont réinterprétées dans deux champs différents (voir la troisième antinomie de la raison pure de Kant).

La photographie ci-contre montre une céramique réalisée à partir d’une œuvre de Vasarely, fondateur de l’art optique, qui construisait, entre autres, des géométries impossibles.

Cube Escher

Cette image représente une architecture troublante pour l’œil.

Quels problèmes logiques cette représentation vous semble-t-elle poser ?
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Franz Marc, Le chat blanc

Un syllogisme est une forme de raisonnement comportant deux prémisses – une majeure et une mineure – qui, si elles sont valides, permettent d’arriver à une conclusion. Par exemple, « tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel » est différent de « Tous les chats sont mortels, or Socrate est mortel, donc Socrate est un chat » (Eugène Ionesco). Dans cette dernière citation, remplacez les termes par des lettres pour clarifier le problème. Vous pouvez également dessiner un schéma pour montrer que les ensembles « chats » et « mortels » ne sont pas de même extension.

Pourquoi ce raisonnement n’est-il pas un syllogisme valide ?
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sophisme

Le sophisme est une proposition qui mime la logique, mais qui s’appuie en réalité sur des arguments fallacieux, c’est-à-dire visant à tromper l’interlocuteur. Par exemple, « s’il pleut, le sol est mouillé, donc si le sol est mouillé, alors il pleut » est un sophisme. Si A implique B, cela ne signifie pas que B implique A. Un sophisme n’est pas, au sens strict, un paradoxe, car son apparente contradiction n’est que le résultat d’une faute dans le raisonnement.

Construisez un sophisme et expliquez en quoi l’argument sur lequel il repose est fallacieux.
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paradoxe d’Achille et de la tortue

Le paradoxe d’Achille et de la tortue a été formulé par Zénon d’Élée. Si Achille et une tortue font une course, et qu’Achille laisse à la tortue une longueur d’avance, il ne pourra jamais la rattraper, car le temps qu’Achille arrive à la position de la tortue, celle-ci aura atteint une nouvelle position qu’il devra lui-même atteindre, etc.

Pourquoi chercher à résoudre un paradoxe théoriquement, si l’expérience permet de montrer que, malgré l’apparente contradiction, la conclusion est possible ? En quoi ce paradoxe montre-t-il que la pure déduction – c’est-à-dire l’application de la seule logique – peut être vaine, en tant qu’elle est dissociée du réel ?
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pν\nuq Ou bien il pleut, ou bien il fait beau.
τ\taup Il ne pleut pas.
p → r S’il pleut, alors je reste chez moi.

Au XXè siècle, certains scientifiques et philosophes ont conçu un nouveau langage qui ne contiendrait aucune ambiguïté, afin que celui-ci serve de support au raisonnement logique. Dans ce langage, les propositions, par exemple « il pleut », sont désignées par une lettre. Ici, on peut définir p comme la proposition « il pleut », q comme la proposition « il fait beau », et r comme la proposition « je reste chez moi ». À partir de ces propositions de départ, on peut ajouter d’autres signes.

Quelle(s) difficulté(s) du langage ordinaire prétend-on éviter par le langage de la logique ?
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Claude Monet, <i>Meules, effet de neige</i>


La logique est une discipline ancienne qui trouve dans sa forme symbolique moderne des applications et des correspondances variées, tant dans le domaine de l’informatique, de l’économie, de la philosophie, que dans les sciences classiques. Dans son manuel d’introduction à la logique, Logique et philosophie, le professeur Pierre Wagner permet de comprendre cette diversité en posant des questions philosophiques, parmi lesquelles se trouvent les deux questions qui suivent.

Peut-on penser illogiquement ? Combien de grains faut-il pour faire un tas ou de brins de blé pour faire une meule (voir ci-contre) ?
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