3. Médiatrice

a. Reproduire la figure suivante, en s’aidant du quadrillage.
b. Colorier d’une couleur toutes les cases qui sont plus proches de A que de B.
c. Colorier d’une autre couleur celles qui sont plus proches de B que de A.
d. Repérer la frontière entre ces deux parties. Que remarque-t-on ?

Découvrir

► Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est à la même distance de chaque extrémité. ▸ AM = BM et M appartient à [AB]

► Définition : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points qui sont à la même distance des extrémités du segment.

► Propriété : La médiatrice d’un segment est la droite qui : ▸ passe par son milieu ; ▸ et lui est perpendiculaire.
► Propriété d’équidistance ▸ Tous les points M qui sont sur la droite perpendiculaire à [AB] et passant par son milieu sont sur la médiatrice de [AB]. ▸ Tous les points M qui sont sur la médiatrice de [AB] sont sur la droite perpendiculaire à [AB] et passant par son milieu de [AB].

Retenir

On peut utiliser la méthode précédente pour tracer la perpendiculaire à une droite $d$ et passant par un point C.

▸ On plante le compas en C et on trace un arc de cercle qui coupe $d$.
▸ On trace la médiatrice du segment ainsi repéré.

Remarque ▸ On a utilisé la propriété d’équidistance ! En effet, les deux points tracés sont situés à la même distance des points A et B. Cette distance est le rayon des deux cercles.

Refaire : Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.

Tracer la médiatrice de [AB] avec une règle graduée et une équerre.

▸ On mesure la longueur du segment avec une règle.
▸ On divise cette longueur par deux. $1\text{,}5\text{cm}÷2=0\text{,}75$ cm.
▸ On trace un point à 0,75 cm d’une extrémité.
Remarque ▸ Cette méthode n’est pas exacte. Par exemple, ici, il est difficile de tracer un point à 0,75 cm d’une extrémité ! Cette méthode est à utiliser quand on n’a pas accès à un compas.

Refaire : Tracer une médiatrice à la règle et au compas.

Tracer la médiatrice du segment [AB] à la règle et au compas.

▸ Fixer le compas à une certaine ouverture.
▸ En conservant cette ouverture, on trace un cercle centré sur chaque extrémité du segment.
▸ On trace la médiatrice.
Attention ! ▸ Il faut bien garder la même ouverture du compas pour tracer les deux cercles.

Refaire : Tracer une médiatrice avec une règle graduée et une équerre.

Exercice 11 : Reproduire cette figure.

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Tracer la médiatrice de [AB].

Exercice 12 : Reproduire cette figure.

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Tracer les médiatrices de [AC] et [BD].