✔Calculer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs.
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Énoncé
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Gatien, menuisier, a été embauché pour construire la yourte modélisée ci-dessus.
Pour soutenir le toit de cette yourte, Gatien compte utiliser des planches obliques, indiquées en rouge sur le schéma. Il se demande alors de quelle longueur il doit les couper.
Toutes les planches étant identiques, Gatien décide d'en étudier une : il choisit la planche soutenant les points \mathrm{B}(6,5 \: ; 6,5 \: ; 4), \mathrm{C}(6,5 \: ; 4,5 \: ; 6) et \mathrm{D}(6,5 \: ; 1,5 \: ; 7) dont les coordonnées sont données dans un repère orthonormé. L'unité de mesure du repère est le mètre.
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Problématique
De quelle taille Gatien doit-il couper les planches de support ?
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Questions
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1
a. Réaliser
De combien de mètres se déplace‑t‑on sur l'axe des cotes lorsqu'on passe du point \text{B} au point \text{C} ? Du point \text{C} au point \text{D} ?
b. Réaliser, Analyser /Raisonner
De combien de mètres se déplace‑t‑on sur l'axe des cotes lorsqu'on passe
du point \text{B} au point \text{D} ? Comment aurait‑on pu trouver ce résultat à l'aide des réponses à la question précédente ?
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2
Réaliser, Analyser /Raisonner
De combien de mètres se déplace-t-on sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées lorsqu'on passe du point \text{B} au point \text{C} ? Du point \text{C} au point \text{D} ? Directement du point \text{B} au point \text{D} ?
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3
a. Réaliser
Déterminer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}}.
b. Analyser /Raisonner, Réaliser
Comment pourrait-on déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{BD}} à l'aide des coordonnées obtenues à la question précédente ? Déterminer les coordonnées de ce vecteur.
c. Communiquer, Analyser /Raisonner
Compléter l'égalité entre vecteurs suivante : \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\ldots.
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4
a. Réaliser À l'aide de la réponse à la question 3. b, calculer la norme, au centimètre près, du vecteur \overrightarrow{\mathrm{BD}}.
b. Communiquer, Réaliser
Répondre à la problématique.
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À retenir
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Pour déterminer la somme de deux vecteurs, on peut utiliser la relation de Chasles : \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}
Les coordonnées d'une somme de vecteurs sont obtenues en faisant la somme des coordonnées : {\begin{pmatrix}
x_{\overrightarrow{\mathrm{AC}}} \\
y_{\overrightarrow{\mathrm{AC}}} \\
z_{\overrightarrow{\mathrm{AC}}}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} + x_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}} \\
y_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} + y_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}} \\
z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} + z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}
\end{pmatrix}}.