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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Applications directes
Vecteurs
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1 Méthode
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Déterminer les coordonnées d'un point dans l'espace.
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Dans un repère (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) le point \text{T} est repéré par ses coordonnées \left(x_{\mathrm{T}} ; y_{\mathrm{T}} ; z_{\mathrm{T}}\right).
- x_{\mathrm{T}} correspond à la valeur sur l'axe des abscisses (\mathrm{O} x) ;
- y_{\mathrm{T}} correspond à la valeur sur l'axe des ordonnées (\mathrm{O} y) ;
- z_{\mathrm{T}} correspond à la valeur sur l'axe des cotes (\mathrm{O} z).
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Identifier des vecteurs égaux, opposés ou colinéaires.
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- Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont égaux si :
- les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont parallèles (même direction) ;
- ils sont de même sens ;
- ils ont la même norme.
- Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont également égaux s'ils ont les mêmes coordonnées.
- Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{EF}} sont opposés s'ils ont la même direction et la même norme mais un sens opposé.
- Deux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} sont colinéaires s'ils ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même norme. On peut alors écrire {\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k \times \overrightarrow{\mathrm{GH}}} avec k un réel.
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Exprimer la somme de deux vecteurs.
Relation de Chasles :
\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Méthode du parallélogramme : \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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Méthode du parallélogramme : \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace et calculer sa norme.
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- Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} est défini par les points \text{A} et \text{B}.
- Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont {\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c} x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}} \\ y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}} \\ z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}} \end{array}\right)}.
- La norme du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} est {\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)^{2}}}.
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2 Mise en pratique
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QCM
Une ou plusieurs bonnes réponses possibles.L'espace est rapporté au repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) d'unité graphique 1 cm.
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1. Les coordonnées de \text{D} sont :
2. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OC}} sont :
3. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AD}} sont :
2. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OC}} sont :
3. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AD}} sont :
4. La norme du vecteur \overrightarrow{\mathrm{BF}} est :
5. Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BG}} et \overrightarrow{\mathrm{OE}} sont :
6. \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\ldots
7. \overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\ldots
5. Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BG}} et \overrightarrow{\mathrm{OE}} sont :
6. \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\ldots
7. \overrightarrow{\mathrm{GF}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\ldots
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Problème
Une barre cylindrique en acier de 4 m de longueur et de 0,20 m de diamètre a une masse de 1 000 kg. Elle est maintenue en équilibre horizontal par deux élingues représentées par les segments [\mathrm{AC}] et [\mathrm{BC}].
On donne les coordonnées, dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), de \mathrm{G}(2 \: ; 2 \: ; 4), le centre de gravité de la barre, ainsi que des points \mathrm{A}(2 \: ; 0,5 \: ; 4,1) et \mathrm{B}(2 \: ; 3,5 \: ; 4,1), les points de fixation des élingues sur la barre. L'unité graphique est le mètre.
On sait, de plus, que le point \text{C} se situe à la verticale du point \text{G} à une distance de 1,50 m.
On donne les coordonnées, dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), de \mathrm{G}(2 \: ; 2 \: ; 4), le centre de gravité de la barre, ainsi que des points \mathrm{A}(2 \: ; 0,5 \: ; 4,1) et \mathrm{B}(2 \: ; 3,5 \: ; 4,1), les points de fixation des élingues sur la barre. L'unité graphique est le mètre.
On sait, de plus, que le point \text{C} se situe à la verticale du point \text{G} à une distance de 1,50 m.
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1. Donner les coordonnées du point \text{C}.
2. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
3. Calculer, à 0,01 m près, la longueur des élingues correspondant aux segments [\mathrm{AC}] et [\mathrm{BC}].
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Réviser les notions de ce chapitre grâce à cette activité interactive.
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Genially
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