Trigonométrie

L'objectif de ce chapitre est d'apprendre à résoudre certaines équations trigonométriques et de faire découvrir un outil permettant d'ajouter ou de soustraire des tensions ou des intensités sinusoïdales de même fréquence. Son introduction s'appuie sur des exemples concrets issus du domaine professionnel ou de la physique.

Une table de mixage est un instrument permettant de moduler le son afin de créer des sonorités uniques. Les signaux de base sont créés avec des fonctions trigonométriques puis ils peuvent être modifiés (changements de fréquences ou d'amplitudes par exemple) grâce à des algorithmes.

Cercle trigonométrique

On se place dans un repère orthonormé du plan d'origine $\text{O}$. Le cercle trigonométrique $\text{C}$ est le cercle de centre $\text{O}$, de rayon 1 et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Sinus et cosinus d'un nombre réel

Soit $\text{M}$ un point appartenant au cercle trigonométrique.
Le cosinus du nombre réel $x$, noté $\text{cos}(x)$, est l᾽abscisse du point $\text{M}$.
Le sinus du nombre réel $x$, noté $\text{sin}(x)$, est l'ordonnée du point $\text{M}$.

Propriétés : Pour tout réel $x$, on a :
1. $-1⩽\cos (x)⩽1$ et $-1⩽\sin (x)⩽1$
2. $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$ et $\sin (x+2\pi )=\sin (x)$
3. ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$
4. $\cos (x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

Valeurs remarquables de cosinus et de sinus

Pour chaque question, choisir la ou les bonnes réponses.

1. Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, $\text{R}$ est le point image de :

a. $\frac{2\pi }{3}$

b. $\frac{\pi }{3}$

c. $-\frac{\pi }{3}$

d. $-\frac{2\pi }{3}$

2. $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\dots$

a. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

b. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

c. $-\frac{1}{2}$

d. $\frac{1}{2}$

3. $\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\dots$

a. $-1$

b. $1$

c. $0$

d. $\frac{1}{2}$

4. $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\dots$

a. $\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)$

b. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

c. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

d. $\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)$

5. $\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)=\dots$

a. $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$

b. $-\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$

c. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

d. $-\frac{1}{2}$

6. $\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\dots$

a. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

b. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

c. $\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

d. $\sin \left(\frac{\pi }{4}-2\pi \right)$