Trigonométrie

On a représenté ci‑dessous un signal sinusoïdal représentant la fonction $f$ définie par $f(t)=\mathrm{A}\sin (\omega t+\phi )$ où $t$ représente le temps en seconde.


1. Déterminer graphiquement la valeur maximale $\text{A}$ du signal. Déterminer graphiquement la période $\text{T}$ en seconde.

2. En déduire la pulsation $\omega =\frac{2\pi }{\mathrm{T}}$ en rad/s.

3. Déterminer l'ordonnée exacte du point d'abscisse $t=0$ appartenant à la courbe.

4. En déduire une valeur de la phase à l'origine $\phi$.

5. Écrire une expression algébrique possible de la fonction $f$.

Dans un repère, représenter le vecteur de Fresnel de $u_1(t)=5\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)$, de $u_2(t)=6\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$ puis celui de la grandeur $u_3$ telle que $u_3(t)=u_1(t)+u_2(t)$.

Les figures 1 à 6 représentent des vecteurs de Fresnel associés à des grandeurs sinusoïdales. Pour chacune d'elles, donner la valeur de la phase à l᾽origine $\phi$ en radian. L'axe de référence est l'axe horizontal orienté.

Le vecteur de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale $i$ de pulsation $\omega =341$ rad.s^-1 est représenté ci-dessous.


Déterminer l'expression algébrique $i(t)$ à laquelle il est associé.

Dans un repère, représenter le vecteur de Fresnel associé à la fonction sinusoïdale $f$ définie par $f(t)=3\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{3}\right)$.

On considère les vecteurs de Fresnel associés à deux grandeurs sinusoïdales $u_1$ et $u_2$.


Après avoir reproduit le repère ci‑dessus, tracer le vecteur de Fresnel de la grandeur $u_3$ telle que $u_3(t)=u_1(t)+u_2(t)$.

Représenter les deux fonctions $u$ et $i$ définies par $u(t)=6\sin \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)$ et $i(t)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{4}\right)$ ainsi que leurs vecteurs de Fresnel associés.

Que peut-on conclure sur leur déphasage ?

On considère les trois intensités suivantes.

• $i_1(t)=2\sin (\pi t)$
• $i_2(t)=2,5\sin \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right)$
• $i_3(t)=3\sin \left(\pi t-\frac{\pi }{3}\right)$

1. Représenter le vecteur de Fresnel de chacune de ces intensités.

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2. En déduire l'écriture algébrique de $i(t)=i_1(t)+i_2(t)+i_3(t)$.

2. Vérifier ce résultat en traçant ci-dessus $i(t)$ et $i_1(t)+i_2(t)+i_3(t)$.

Une distribution triphasée est composée de trois tensions simples de même fréquence, de même amplitude et déphasées.

• $u_1(t)=230\sin (100\pi t)$


• $u_2(t)=230\sin \left(100\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)$


• $u_3(t)=230\sin \left(100\pi t-\frac{2\pi }{3}\right)$

1. Associer à chaque courbe la tension correspondante.

2. Tracer les vecteurs de Fresnel de ces trois tensions dans un même repère.

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3. Quelle est la somme de ces trois tensions ?