Chapitre 13
Exercices
Entraînement
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Vérifier que les connaissances de base sont acquises.
Développer les connaissances.
Maîtriser les notions de manière approfondie.
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1La sphère
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39
[Rep.3]
Parmi les objets ci‑dessous, lesquels peuvent
être assimilés à une sphère ? À une boule ?
| Sphère | Boule |
|---|---|
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40Copie d'élève[Rep.7]
Représenter en perspective cavalière une sphère de centre \text{O} et de rayon 4 cm.
Voici la réponse de Paul.
Voici la réponse de Corentin.
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41
[Rep.7]
1.
Représenter en perspective cavalière une sphère de centre \text{O} et dont le diamètre [\text{AB}] mesure 6 cm.
2. Placer un point \text{I} sur la sphère.
3. Placer le point \text{J} qui lui est diamétralement opposé.
4. Placer un point \text{K} qui appartient à la boule de diamètre [\text{AB}] mais qui n'appartient pas à la sphère.
GeoGebra
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42
[Rep.7]
1.
Représenter en perspective cavalière une
sphère de centre \text{O} et de rayon \text{OA} = 5\:\text{cm}.
2. Placer un point \text{H} sur la sphère tel que (\text{OH}) soit perpendiculaire à (\text{OA}).
3. Tracer le triangle \text{OHA} en vraie grandeur.
GeoGebra
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43
[Mod.5 - Cal.5]
On considère une boule de rayon 5 cm.
Calculer la valeur exacte puis arrondie à
l'unité du volume de cette boule.
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44
[Mod.4 - Cal.5]
La surface de la Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 371 km.
1. Calculer la surface terrestre. Arrondir à l'unité.
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[Rep.7 - Rais.3]
Sarah souhaite construire un bilboquet, un jouet en bois constitué d'une tige reliée par une cordelette à une boule percée. Pour construire ce bilboquet, Sarah a acheté une boule en bois de 7 cm de diamètre, ainsi qu'un cylindre
de 10 cm de hauteur et de 1 cm de diamètre, qui servira de tige.
Sarah se demande alors à quelle distance de son centre la boule doit être coupée puis percée, de façon à ce que la tige puisse parfaitement s'imbriquer.
1. Tracer une représentation de la situation.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Déterminer la distance, arrondie au centième, entre le centre de la boule et le centre de la section que Sarah doit effectuer.
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46
Inversé
[Com.1]
Proposer une situation où la réponse attendue sera : « La section obtenue est un cercle de rayon 9 cm. »
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48
[Rais.3]
Un parapluie pour enfant a la forme d'une demi‑sphère de rayon 50 cm. Calculer la surface au sol protégée de la pluie grâce à ce parapluie.
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47
[Rais.3 - Com.4]
Un fabricant de bougeoirs en céramique désire indiquer dans sa notice d'utilisation le diamètre maximal des bougies à utiliser pour ses créations.
Les bougeoirs créés sont assimilés à des sphères de rayon de 5 cm, coupées par un plan situé à 4 cm du centre de la sphère. Aider le fabricant dans la rédaction de sa notice en justifiant.
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49
[Rep.7 - Rais.3 - Mod.1]
La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des
films à 360°. Cette salle a la forme d'une sphère de 36 m de diamètre sectionnée à la base. Lorsqu'on se trouve au centre de la Géode, le
plafond se situe à 29 m au‑dessus du sol.
Calculer la surface au sol de la Géode. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
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2La sphère terrestre
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50
[Rais.5]
La surface de la Terre peut être assimilée à une sphère de rayon 6 371 km.
1. Donner la latitude du pôle Nord et du pôle Sud.
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51
Copie d'élève
[Rais.3]
Voici la réponse de Léa à un exercice.
Le rayon de la Terre est d'environ 6 400 km.
2 \times \pi \times 6400 \approx 40212
Le méridien de Greenwich mesure environ 40 212 km.
2 \times \pi \times 6400 \approx 40212
Le méridien de Greenwich mesure environ 40 212 km.
Imaginer l'énoncé de cet exercice et indiquer quelle erreur Léa a commise.
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52
[Com.1]
1.
Lire la latitude du point \text{A}.
2.
Lire la longitude du point \text{B}.
3.
Lire les coordonnées géographiques du point \text{C}.
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53
[Rep.7]
On considère la sphère terrestre ci‑dessous où l'on a représenté en vert le méridien de Greenwich, en rouge l'équateur ainsi que les méridiens et parallèles gradués de 20° en 20°.
2. Placer un point \text{B} de longitude 20° Est.
3. Placer le point \text{C} de coordonnées géographiques (20°\:\text{S}\:; 40°\text{O}).
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54
[Mod.4]
On assimile la surface de la Terre à une sphère de rayon 6 371 km.1. Représenter la sphère terrestre, l'équateur ainsi qu'un parallèle Nord et un parallèle Sud.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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[Mod.4]
On assimile la surface de la Terre à une sphère de rayon 6 371 km.1. Représenter la sphère terrestre, l'équateur ainsi qu'un parallèle Nord et un parallèle Sud.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Calculer la longueur du cercle arctique, le 66e parallèle Nord.
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[Mod.4]
On assimile la surface de la Terre à une sphère de rayon 6 371 km.1. Représenter la sphère terrestre, l'équateur et le méridien de Greenwich.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Quelle est la longueur du méridien de Greenwich ?
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57
[Rep.7]
Les coordonnées géographiques de Rome sont \text{R}(42°\:\text{N}\:; 12°\:\text{E})et celles de Chicago \text{C}(42°\:\text{N}\:; 87°\:\text{O}).
1. Que peut‑on dire de ces deux villes ?
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
3. Si on appelle \text{O} le centre du 42e parallèle Nord, quelle est la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{COR}} ?
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58
[Rep.7]
Les coordonnées géographiques de Sarajevo sont \text{S}(44°\:\text{N}\:; 18°\:\text{E})et celles du Cap \text{C}(34°\:\text{S}\:; 18°\:\text{E}).
1. Que peut‑on dire de ces deux villes ?
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59
Démo
[Mod.3 - Mod.4]
1.
Rappeler la nature d'une section de la sphère par un plan contenant son axe
de rotation.
2.
On pose \text{AD = R}. Donner, en fonction de \text{R}, le périmètre de la section de la sphère précédente par le plan passant par les points \text{A}, \text{D} et \text{C}.
3.
En déduire la longueur de l'arc \overgroup{\text{ED}} en
fonction de l'angle a et du rayon \text{R}.
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3Sections de solides
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60
Copie d'élève
[Rep.7 - Rais.5]
On sectionne un cube de 2 cm d'arête comme sur la figure ci‑dessous. Quelle est la nature de la section obtenue ?
Calculer ses dimensions.
Voici la réponse de Cassandre.
La section obtenue est un carré de côté 2 cm.
Indiquer l'erreur commise par Cassandre et proposer une solution.
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61
Inversé
[Ch.1 ‑ Mod.4]
Proposer un énoncé d'exercice s'appuyant sur la figure suivante.
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62
[Mod.4]
\text{ABCDEFGH} est un pavé droit. Le point \text{I} appartient à [\text{AE}] tel que \text{AI} = 2\:\text{cm}. On sectionne le pavé droit par un plan parallèle à \text{(AB)}, passant par \text{I}, \text{J} et \text{K} comme indiqué sur la figure ci‑dessus et tel que \text{GK} = 3,5\:\text{cm}.
1. Quelle est la nature de la section obtenue ?
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63
[Ch.4 - Com.3]
On sectionne un pavé droit par un plan parallèle à une arête comme sur le schéma ci‑dessous.
On sait de plus que \text{BK} = 16\:\text{cm}.
1. Quelle est la nature de la section ainsi obtenue ?
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[Com.4 - Rep.6]
Une décoration florale a la forme d'un tétraèdre régulier d'arête 10 cm. On la remplit avec du terreau au \frac{4}{5} de sa hauteur.
1. Faire une figure à main levée.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2. Quelle est la nature de la surface du terreau ?
GeoGebra
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65
[Ch.4]
Une lampe torche est constituée d'un cylindre de révolution surmonté d'un cône comme sur le schéma ci‑dessous.
On loge une pile dans la partie du cylindre située sous le cercle bleu. Calculer la hauteur maximale d'une pile.
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66
[Ch.4 - Mod.4]
On sectionne un cylindre de révolution de hauteur 15 cm et de rayon de base 8 cm par un plan perpendiculaire à sa base.
1. Quelle est la nature de la section obtenue ? On sait de plus que la distance entre le centre de la base et le plan est égale à 4 cm.
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67
[Ch.1 - Cal.4]
Une boîte de chocolats a la forme d'une pyramide à base carrée de côté 15,6 cm et de hauteur 12,3 cm. Le couvercle est obtenu en coupant la boîte par un plan parallèle à la base et situé aux deux tiers de sa hauteur.
1. Calculer le volume total de la boîte.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
