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1
Vecteur variation de vitesse


  • Lors d’un mouvement, le vecteur vitesse instantanée peut varier en direction, en sens et en norme. On définit alors le vecteur variation de vitesse instantanée entre deux instants tt et tt’ infiniment proches tel que : Δv=vv.\Delta \vec{v}=\vec{v}^{\prime}-\vec{v}.

  • En pratique, on ne peut pas mesurer la vitesse d’un point à deux instants infiniment proches, séparés d’une durée Δt\Delta t infiniment petite.
    Pour mesurer la vitesse moyenne entre deux points M3\text{M}_3 et M4\text{M}_4, on définit le vecteur variation de vitesse moyenne tel qu'au point M3\text{M}_3 : Δv3=v4v3\Delta \vec{v}_3 = \vec{v}_4 - \vec{v}_3 avec v3\vec{v}_3 et v4\vec{v}_4 les vitesses instantanées aux point M3\text{M}_3 et M4\text{M}_4

  • Remarque : Pour des valeurs de Δt\Delta t importantes, le calcul de la vitesse donne des résultats plus précis en prenant les points Mi1\text{M}_{i-1} et Mi+1\text{M}_{i+1} plutôt que les points Mi+1\text{M}_{i+1} et Mi.\text{M}_{i}.

2
Effet d’une force sur le mouvement


A
Résultante des forces

  • Le vecteur résultante des forces Fresultante\overrightarrow{F}_{resultante} est égal à la somme des forces extérieures qui s’appliquent sur le système.

  • Ecriture simplifiée : F.\sum{\overrightarrow{F}}.

B
Effet d’une force sur un mouvement

  • On modélise le système étudié par un point matériel situé en son centre de gravité.

  • Système en mouvement rectiligne uniforme : le système est immobile car les forces se compensent ou il y a absence de force.

  • C’est la première loi de Newton, appelée aussi principe d’inertie : Si F=0\sum{\overrightarrow{F}} = \vec{0} alors Δv=0.\Delta \vec{v} = \vec{0}.

  • Au contraire, si la résultante des forces agissant sur un système F\sum{\overrightarrow{F}} est non nulle, elle est responsable de la variation du vecteur vitesse v\vec{v} du système :
  • F0\sum{\overrightarrow{F}} \ne \vec{0} alors Δv0.\Delta \vec{v} \ne \vec{0}.

C
Référentiel galiléen

  • Le référentiel galiléen est un référentiel pour lequel le principe d’inertie y est vérifié.

  • Les lois de Newton s’appliquent uniquement dans des référentiels dits galiléens.

  • Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des études de mouvements de faibles durées par rapport à la durée de rotation complète de la Terre (24 h).

3
Approche de la deuxième loi de Newton


A
Variation de vitesse et résultante des forces

  • Soit un point matériel M\text{M} animé d’une vitesse v\vec{v}, soumis à un ensemble de forces dont la somme vaut F\sum{\overrightarrow{F}} à un instant t.t. Les forces appliquées au point matériel induisent un changement de vitesse.

  • La variation de vitesse instantanée d’un système par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces qui s’appliquent sur lui : ΔvΔt=kF\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=k \cdot \sum \vec{F}kk est un réel positif normal.

  • En pratique, pour obtenir la résultante des forces qui s’exercent sur le point matériel à la date t2t_2, on mesure la variation de vitesse entre deux dates proches t2t_2 et t3.t_3.

B
Rôle de la masse

  • L’inertie = tendance d’un corps à conserver sa vitesse. Plus la masse d’un objet est importante, plus son inertie est grande.

  • La force qu’il faut fournir à un objet pour le porter d’une vitesse v1\vec{v}_1 à une vitesse v2\vec{v}_2 est, en un intervalle de temps Δt\Delta t donné, proportionnelle à la masse mm de l’objet.

C
Relation approchée de la deuxième loi de Newton

  • Selon les considérations précédentes : mΔvΔt=Fm \cdot \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta \vec{t}}=\sum{ \vec{F}} avec F\sum F en N, Δv\Delta v en m·s-1, Δt\Delta t en s et mm en kg

  • En connaissant la masse et le vecteur variation de vitesse d’un système à un instant t donné, cette relation permet de connaître à propos de la résultante des forces qui s'impliquent à cet instant :
  •   - sa direction
      - son sens
      - son intensité.

D
Cas d’une chute libre

  • On dit qu’un objet est en chute libre s’il est soumis uniquement à son poids P.\overrightarrow{P}.

  • Comme P=mg\overrightarrow{P} = m \cdot \vec{g}, alors la relation approchée de la deuxième loi de Newton s’écrit : mΔvΔt=mgm \cdot \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=m \cdot \vec{g} soit ΔvΔt=g.\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\vec{g}.

  • Dans le cas d’une chute libre, la variation du vecteur vitesse par rapport au temps est égale à l'intensité du champ de pensanteur.

  • Le vecteur variation de vitesse Δv\Delta \vec{v} d’un système en chute libre est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur ne dépend pas de sa masse.

Les éléments essentiels de la modélisation

  • Le point matériel : modélisé par un point contenant toute sa masse et situé en son centre de gravité.

  • La dynamique du point matériel permet d’expliquer le mouvement du centre de gravité de l’objet.

  • La connaissance du vecteur variation de vitesse Δv\Delta \vec{v} d’un système pendant un intervalle de temps Δt\Delta t ainsi que sa masse permettent de connaître la direction, le sens et la valeur de la résultante des forces F\sum{\overrightarrow{F}} appliquées.

  • La chute libre permet de simplifier l’étude du mouvement d’un système car les forces de frottement de l’air sont négligées par rapport au poids.

Les limites de la modélisation


    Le modèle du point matériel ne permet pas

    • d’expliquer le mouvement des systèmes en rotation sur eux-mêmes (effets sur une balle de tennis, etc.).
    • d'étudier les mouvements dans un référentiel non galiléen, il faut dans ce cas utiliser des pseudo-forces.

    L'étude cinématique ne permet pas

    • de déterminer le détail de chacune des forces exercées sur le système.
    • de connaître la force à l’origine du mouvement rectiligne uniforme d’un système si on n’en connaît que la vitesse.

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