Raisonner/Analyser : Unités de mesures et analyse dimensionnelle

❯ Sont présentés dans ces tableaux les préfixes les plus courants. Ils doivent être parfaitement connus.



Des unités de volume importantes : 1 L = 1 dm³ = 10² cL.

❯ Étape 1

• Vérifier que la valeur à convertir est exprimée en écriture scientifique (voir la
  Fiche méthode 5, p. 326
  )
• Si ce n'est pas le cas, il est fortement conseillé de l'écrire au préalable dans ce format d'écriture.

❯ Étape 2

• Pour convertir, il faut multiplier par la puissance de $10$ appropriée.
• La valeur de l'exposant de la puissance pour la conversion est égale à la différence entre l'exposant de l'unité de départ et l'exposant de l'unité d'arrivée.
• Si l'on passe d'une unité plus petite à une unité plus grande, l'exposant de conversion sera négatif. Dans le cas inverse, l'exposant sera positif.

Exemples :
$7,38\times 10^4$ μm = ... m : la différence entre les exposants des unités est :$-6-0=-6$.
d'où : $7,38\times 10^4$ μm $=7,38\times 10^4\times 10^{-6}$ m $=7,38\times 10^{-2}$ m.

$9,012\times 10^{-6}$ mg = ... ng : la différence entre les exposants des unités est : $-3-(-9)=6$.
d'où : $9,012\times 10^{-6}$ mg $=9,012\times 10^{-6}\times 10^6$ ng $=9,012\times 10^0$ ng $=9,012$ ng.

❯ Le système international repose sur 7 grandeurs physiques fondamentales indépendantes.



Toute autre grandeur utilisée en sciences physiques a une unité qui peut également s'exprimer à partir des unités fondamentales ci-dessus. C'est l'objectif recherché par une analyse dimensionnelle.

❯ Notion de dimension. La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. Elle se note avec des crochets [ ].

Exemple 1 :
La vitesse moyenne peut être calculée grâce à la formule : $v_{moy}=\frac{d}{\Delta t}$.

On en déduit la dimension de $vmy:[v_{moy}]=\frac{L}{T}$. On dit que la vitesse est homogène à une longueur $L$ divisée par un temps $T$.
Une grandeur peut être sans dimension (ou de dimension 1). Le radian (rad) en est un exemple.

Exemple 2 :

Déterminer la dimension d'une énergie puis celle d'une force.

• Par définition de l'énergie cinétique (
  voir manuel p. 301
  ) :
  $E_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$. Donc $[E]=[m]\cdot \left[v^2\right]=M\cdot \frac{L^2}{T^2}$.
  Une énergie s'exprime en joule, unité équivalente à kg⋅m ²⋅s ⁻².


• D'après la définition du travail d'une force (
  voir manuel p. 301
  ) :
  $W_{AB}(\overrightarrow{F})=F\cdot AB\cdot \cos (\alpha )$.
  Le travail $W_{AB}$ s'exprime en joule (J), $\text{AB}$ en mètre (m) et $\cos (\alpha )$ étant sans dimension, on déduit qu'une force F s'exprime en J⋅m⁻¹ ou en (kg⋅m²⋅s⁻²)⋅m⁻¹=kg⋅m⋅s⁻².
  Cette unité équivalente au newton (N) : 1N = 1kg⋅m⋅s⁻².

❯ L'équation aux dimensions. L'analyse dimensionnelle d'une relation permet de vérifier si une formule ou une relation entre grandeurs physiques est homogène. Dans le cas contraire la relation est fausse.

Exemple :

La période $T$ d'oscillation d'un pendule de longueur $l$ est donnée par la relation : $T_{\mathrm{ot}}\sqrt{\frac{I}{g}}p=2\Pi |cd$.
Vérifier l'homogénéité de cette relation par une analyse dimensionnelle (g en N⋅kg⁻¹). g s'exprime en N⋅kg^-1, unité équivalente à (kg⋅m⋅s^-2)⋅kg^-1 = m⋅s^-2 d'après l'exemple précédent. D'ou :

$\left[2\Pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\right]=\left[l^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot g^{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right]=L^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot {\left(L\cdot T^{-2}\right)}^{\left(-\frac{1}{2}\right)}=T$

L'expression de Tp est homogène à un temps, l'équation aux dimensions est donc bien vérifiée pour cette relation.