Chapitre 12
Exercices
L'atelier des apprentis
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11Une croissance linéaire
✔ Exprimer u(n) en fonction de u(0) et n pour une suite arithmétique
Le nombre d'habitants de la population des Hauts-de-France a augmenté d'environ 9420 par an de 1990 à 1999. En 1990, il était de 5 770 671 habitants.
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Le nombre d'habitants de la population des Hauts-de-France a augmenté d'environ 9420 par an de 1990 à 1999. En 1990, il était de 5 770 671 habitants.
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Doc.
Place du Général-de-Gaulle, Lille.
1. En prenant comme année n = 0 l'année 1990, écrire le terme général de la suite arithmétique décrivant la population des Hauts-de-France, en précisant son premier terme et sa raison. (On suppose que l'augmentation reste constante.)
2. Calculer alors la population de cette région en 1999.
3. En réalité, en 2008, sa population était de 5 931 091. Calculer l'estimation en 2008 et la comparer avec le nombre réel.
2. Calculer alors la population de cette région en 1999.
3. En réalité, en 2008, sa population était de 5 931 091. Calculer l'estimation en 2008 et la comparer avec le nombre réel.
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12
Une croissance exponentielle
✔ Exprimer u(n) en fonction de u(0) et n pour une suite géométrique
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En Occitanie, la population a été multipliée par 1,007 1 chaque année entre 1990 et 1999. En 1990, la population était de 4 546 249 habitants.
1. En prenant comme année n = 0 l'année 1990, écrire le terme général de la suite géométrique décrivant la population en Occitanie, en précisant son premier terme et sa raison.
2. Calculer alors la population de cette région en 1999.
3. En réalité, en 2008, sa population était de 5 419 946. Calculer l'estimation en 2008 en supposant le taux de croissance constant et la comparer avec le vrai nombre.
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En Occitanie, la population a été multipliée par 1,007 1 chaque année entre 1990 et 1999. En 1990, la population était de 4 546 249 habitants.
1. En prenant comme année n = 0 l'année 1990, écrire le terme général de la suite géométrique décrivant la population en Occitanie, en précisant son premier terme et sa raison.
2. Calculer alors la population de cette région en 1999.
3. En réalité, en 2008, sa population était de 5 419 946. Calculer l'estimation en 2008 en supposant le taux de croissance constant et la comparer avec le vrai nombre.
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13Représentation statistique et ajustement
✔ Produire et interpréter des graphiques statistiques
Dans la région Sud, la population recensée par l'Insee est donnée dans le tableau ci-dessous :
Doc.
Dans la région Sud, la population recensée par l'Insee est donnée dans le tableau ci-dessous :
| Année | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
| Rang | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Population | 4 502 385 | 4 538 012 | 4 578 658 | 4 623 181 | 4 668 983 | 4 713 095 | 4 750 947 | 4 815 232 | 4 864 015 |
1. Représenter cette série statistique dans un repère, avec le rang en abscisse et le nombre d'habitants en ordonnée.
GeoGebra
2. À l'aide de la calculatrice, trouver l'équation de la droite modélisant l'évolution de cette population.
3. Grâce à cette équation de droite, estimer la population de la région Sud en 2016. Comparer avec la population réelle qui était alors de 5 021 928 habitants.
Voir livret maths, régression linéaire,
3. Grâce à cette équation de droite, estimer la population de la région Sud en 2016. Comparer avec la population réelle qui était alors de 5 021 928 habitants.
Voir livret maths, régression linéaire,
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AMalthus et la croissance francilienne
✔ Utiliser le taux de variation pour prédire l'effectif d'une population
En 2014, le taux de natalité francilien est de 1,52 %, alors que le taux de mortalité est de 0,6 %. L'Île-de-France compte 12 027 565 habitants au 1er janvier 2014 (données Insee).
En 2014, le taux de natalité francilien est de 1,52 %, alors que le taux de mortalité est de 0,6 %. L'Île-de-France compte 12 027 565 habitants au 1er janvier 2014 (données Insee).
Formule
Pour un taux d'accroissement t, la population suit une suite géométrique de raison q = 1 + t.
Doc.
Avenue des Champs-Élysées, Paris.
1. Écrire le terme général de la suite géométrique u donnant la population francilienne au bout de n années, en prenant l'année 2015 pour le rang 0, donc u(0) = 12 027 565, selon ce modèle de croissance de Malthus.
2. Estimer alors la population francilienne en 2016, soit pour n = 2.
3. Comparer cette estimation avec le chiffre de l'Insee de 12 117 131 habitants.
2. Estimer alors la population francilienne en 2016, soit pour n = 2.
3. Comparer cette estimation avec le chiffre de l'Insee de 12 117 131 habitants.
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B
La production de riz aux États-Unis
✔ Comparer les valeurs fournies par un modèle à des données réelles afin de tester sa validité
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Formule
Pour calculer le taux moyen t par rapport au taux global T pour n variations successives :
1 + t = (1 + T)^{\dfrac{1}{n}}.
Doc.
Voici les données de production de riz aux États-Unis, en quintal d'Amérique du Nord, d'après le site gouvernemental USDA (1 quintal américain, cwt = 45,359 236 96 kg).
| Année | Production (cwt) |
|---|---|
| 2006 | 194 585 |
| 2007 | 198 388 |
| 2008 | 203 733 |
| 2009 | 219 850 |
| 2010 | 243 104 |
| 2011 | 184 941 |
| 2012 | 199 939 |
| 2013 | 189 500 |
| 2014 | 222 215 |
| 2015 | 193 080 |
| 2016 | 224 145 |
| 2017 | 178 228 |
| 2018 | 224 211 |
1. Vérifier que le taux d'accroissement moyen annuel entre 2006 et 2018 vaut environ 1,188 %. Soit q = 1,011 88.
2. Écrire le terme général de la suite géométrique u de premier terme u(0) = 194 585 et de raison q.
3. Comparer u(5) et la production en 2006 + 5 = 2011. Faire de même pour l'année 2016 et le terme correspondant de u.
4. La croissance exponentielle peut-elle servir de modèle dans ce cas ? Justifier en s'aidant de la question 3.
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