Le coin des experts

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Modèle de Malthus et réalité

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La production de riz aux États-Unis

Exclusivité numérique

Exercice 12 en version expert : Une croissance exponentielle

Exclusivité numérique

Exercice 15 en version expert : Doublement de la population

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Porte de Brandebourg, Berlin.

Questions

1. En estimant que les taux de mortalité et de natalité restent inchangés par rapport à 2013, établir le modèle de Malthus de l’évolution de la population allemande à partir de la population de 2019. En déduire l’évolution à long terme selon ce modèle.


2. Les données indiquent un taux de croissance annuel positif. Établir le nouveau modèle avec ce taux.


3. Proposer une explication aux différences entre les deux modèles.


4. Les modèles utilisés par les démographes prévoient une population de 79 098 669 habitants en 2100. Comparer cette prévision aux résultats précédents.

Formule

Pour calculer le taux moyen $t$ par rapport au taux global $T$ pour $n$ variations successives :
$1 + t = (1 + T)^{\dfrac{1}{n}}.$

Questions

1. Calculer le taux d’accroissement $T$ entre 2006 et 2018, puis le taux moyen annuel $t$ (voir formule).


2. Dans un même repère, représenter les données et la suite géométrique $u$ de premier terme $u(0) = 194\,585$ et de raison $q = (1 + t)$. L’année 2006 sera prise pour année $n = 0$.

3. Décrire a priori la progression de la production réelle entre 2006 et 2010. Faire les calculs pour confirmer ou infirmer cette progression.


4. La suite géométrique $u$ est-elle une bonne estimation de la réalité de la production ?


5. En prenant le point moyen 1 entre 2009 et 2010 et le point moyen 2 entre 2014 et 2015, déterminer un modèle linéaire passant par ces deux points.


6. Ce modèle est-il plus fiable que le précédent ?


7. Proposer un modèle permettant de prévoir, à partir des données présentées, une production de riz en 2025 de 240 133 cwt (prévision de l’USDA). On pourra se servir des modèles de régression (tableur, calculatrice, etc.).

Questions

1. Calculer le taux d’accroissement moyen entre 1990 et 1999.


2. En notant $v$ la suite géométrique associée à cette évolution, écrire alors le terme général de $v$.


3. En réalité, en 2008, sa population était de 5 419 946. Calculer l’estimation en 2008 et la comparer avec la vraie valeur.

Libreville, Gabon.

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Prévision de la population du Gabon.

Questions

1. Établir le modèle de Malthus pour la population du Gabon en prenant 2014 pour l’année $n = 0$.


2. Programmer en Python une fonction de $n$ qui retourne la valeur de la suite géométrique du modèle de Malthus après $n$ années.


3. Programmer en Python une fonction qui retourne le nombre minimum d’années au bout desquelles la population aura doublée selon Malthus.