Exercice 49 : Escalier de piscine (Brevet Métropole, 2016)

Afin de faciliter lʼaccès à sa piscine, Monsieur Alfonse décide de construire un escalier constitué de deux pavés droits. La base du pavé du dessus est lʼimage de la base de lʼautre par une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$. Voici les plans :

1

Sachant que lʼescalier est un ouvrage en béton courant, déterminez le nombre de sacs de ciment de 35 kg nécessaires à la réalisation de lʼescalier.

2

Déterminez la quantité dʼeau nécessaire à cet ouvrage.

• Nʼhésitez pas à écrire le tableau de conversion au brouillon.
• Question a. Pensez à décomposer votre solide en dʼautres solides dont on sait calculer le volume.
• Question b. Avant de vous lancer dans les calculs, réécrivez les formules tirées du cours sur votre copie, pour que cela soit pris en compte dans la correction même si vous faites une erreur dans vos calculs.

• Quand un document de ce type vous est donné, il faut lire les questions qui sʼy rapportent avant de commencer à le lire afin dʼavoir une idée de ce que lʼon vous demande. Ensuite, lisez attentivement le titre et/ou la légende pour être surs que vous ne faites pas dʼerreurs de compréhension. Commencez ensuite à lire le document en portant une attention particulière aux unités.

a.

• La marche du dessous est un pavé droit.

Son volume est donc : ${\text{V}}_{\text{m.dessous}}=\text{L}\times \text{l}\times \text{h}$ ${\text{V}}_{\text{m.dessous}}=2\times 4\times 0\text{,}2$ ${\text{V}}_{\text{m.dessous}}=1\text{,}6{\text{m}}^3$

• La marche du dessus est aussi un pavé droit. Sa base est lʼimage de la base de lʼautre marche par une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$. Son aire vaut donc ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ de lʼaire de la base de la marche du bas, soit $2{\text{m}}^2$. Donc le volume de la marche du dessus vaut : 

${\text{V}}_{\text{m.dessous}}=2\times 0\text{,}2$ 
${\text{V}}_{\text{m.dessous}}=0\text{,}4{\text{m}}^3$
Lʼescalier a donc un volume de $1\text{,}6+0\text{,}4=2{\text{m}}^3$.

• On sait que le volume de lʼescalier vaut $2{\text{m}}^3=2000\text{L}$. Or, dʼaprès le tableau, avec un sac de ciment, on a 100 L de ciment. Alors il faut $2000÷100=20$ sacs de ciment.

b. Dʼaprès le tableau, pour un sac de ciment, on a besoin de 17 L dʼeau. Or, pour faire lʼescalier, on a besoin de 20 sacs de ciment. Il faut donc $17\times 20=340\text{L}$ dʼeau.