Mathématiques Terminale Bac Pro

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 5
Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Activité C

Quel intérêt ?

Capacités : Dans le cadre d'un placement à intérêts composés, calculer un taux mensuel équivalent à un taux annuel donné. Déterminer un taux moyen.

17 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé

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Kelly a placé pendant cinq ans une somme de 15 000 € sur un livret à intérêts composés. Les deux premières années, le taux annuel de ce placement était de 1 \%. Les trois années suivantes, pour la remercier de sa fidélité, sa banque a fait passer ce taux annuel à 2 \%.

Problématique
À quel taux annuel unique aurait‑elle dû placer son argent pendant cinq ans pour obtenir le même capital final ?
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Questions

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Partie A
Taux mensuel équivalent à un taux annuel

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On s'intéresse tout d'abord aux deux premières années de ce placement et on se demande à quel taux mensuel, noté t_{\text {mensuel }} , correspond le taux annuel de 1 \%.
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1
Réaliser

Montrer que le capital obtenu par Kelly à la fin des deux premières années de ce placement est de 15 301,50 €.
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2
Analyser/raisonner

À combien de mois correspondent deux années ? Compléter alors la formule suivante : 15 000\times\left(1+t_{\text {mensuel }}\right) \cdots=15301{,}50.
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3
Analyser/raisonner, réaliser

À l'aide des propriétés de la fonction logarithme décimal et du fait que, pour tout x>0 on a 10^{\log (x)}=x , montrer que l'égalité obtenue à la question précédente peut se réécrire
\log \left(1+t_{\text {mensuel }}\right)=\frac{1}{24} \log \left(\frac{15301{,}50}{15000}\right) puis t_{\text {mensuel }}=10^{ \frac{1}{24} \log \left(\frac{15301{,}50}{15000}\right)}-1
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4
Réaliser

En déduire le taux mensuel équivalent au taux annuel de 1 \%.
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Partie B
Taux moyen

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On s'intéresse maintenant à l'intégralité de ce placement et on se demande à quel taux annuel unique, noté t_{\text {moyen }}, Kelly aurait pu placer ses 15 000 € afin d'obtenir un capital final identique.
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5
Analyser/raisonner, réaliser

Compléter le schéma ci‑dessous résumant la situation. On arrondira les valeurs au millième.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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6
Réaliser

En s'inspirant de la méthode de la question 3., montrer que t_{\text {moyen }}=10^{ \frac{1}{5} \log \left(\frac{16238,074}{15000}\right)}-1.
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7
Communiquer

Répondre à la problématique.
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À retenir

  • Dans le cadre d'un placement à intérêts composés, le taux mensuel t_{\text {mensuel }} équivalent à un taux annuel t_{\text {annuel }} correspond au taux tel que \left(1+t_{\text {mensuel }}\right)^{12}=\left(1+t_{\text {annuel }}\right).

  • Si un placement change de taux au cours du temps, le taux moyen est le taux unique auquel le capital aurait dû être placé durant la même période de temps afin d'obtenir le même capital final.
Pour s᾽entraîner :

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