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p. 1-9

Partie 1 : Nombres et calculs

Ch. 1
Nombres entiers

Ch. 2
Calcul numérique

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Ch. 3
Calcul littéral

Ch. 4
Équations

Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions

Ch. 5
Notion de fonction

Ch. 6
Fonctions affines

Ch. 7
Situations de proportionnalité

Ch. 8
Statistiques

Ch. 9
Probabilités

Partie 3 : Espace et géométrie

Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables

Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle

Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets

Ch. 13
Géométrie dans l'espace

Partie 4 : Mesures et grandeurs

Ch. 14
Mesures et grandeurs

Annexes

Scratch

Dossier brevet

Rappels, Index, Compétences

Révisions Genially

Calcul littéral
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Chapitre 2

Cours et méthodes

Calcul numérique

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1
Règles de calcul

A
Nombres relatifs

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Propriétés

1. Pour additionner deux nombres relatifs :

s'ils sont de même signe, on garde le signe commun et on ajoute leur distance à 0 ;
sinon, le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à 0 et on calcule la différence des deux distances à 0.

2. Soustraire un nombre

b

revient à ajouter son opposé :

a - b = a + (- b)

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Exemples

$(- 7) + (+ 5) = - (7 - 5) = - 2$
$(+ 4) - (- 7) = (+ 4) + (+ 7) = + (4 + 7) = + 11$

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Propriété

Pour multiplier (ou diviser) deux nombres relatifs, on multiplie (ou divise) leur distance à 0 et on applique la règle des signes suivante :

si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif ;
si le nombre de facteurs négatifs est impair, le résultat est négatif.

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Exemples

$(+ 2) \times (- 5) \times (+ 3) = - (2 \times 5 \times 3) = - 30$
$(- 4) \times (+ 7) \times (- 2) = + (4 \times 7 \times 2) = + 56$

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B
Nombres en écriture fractionnaire

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Propriété

Pour additionner (respectivement soustraire) des nombres en écriture fractionnaire, on les ramène au même dénominateur puis on ajoute (respectivement soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

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Exemples

$\frac{1}{7} - \frac{3}{7} = \frac{1 - 3}{7} = \frac{- 2}{7}$

$\frac{2}{5} + \frac{2}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} + \frac{2}{15} = \frac{6}{15} + \frac{2}{15} = \frac{6 + 2}{15} = \frac{8}{15}$

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Propriétés

1. Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

2. Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par l'inverse de cette écriture fractionnaire :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

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Exemples

$\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{5 \times 4} = \frac{3}{20}$

$\frac{1}{5} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$

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Méthodes

Calculer avec des nombres relatifs

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Énoncé

Calculer le nombre suivant :

A = \frac{- 5 - 3 \times 5}{4} .

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Méthode

Lors d'un enchaînement de plusieurs opérations, on respecte la règle des priorités dans les calculs à effectuer :

parenthèses ;
puissances ;
multiplications et divisions ;
additions et soustractions.

Lorsqu'il y a plusieurs opérations avec le même niveau de priorité, on effectue les calculs dans le sens de lecture (de gauche à droite). Le trait de fraction tient lieu de parenthèses.

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Solution

A = \frac{- 5 - 3 \times 5}{4}

A = \frac{- 5 - 15}{4}

A = \frac{- 20}{4}

A = - 5

Pour s'entraîner

Exercices

p. 42

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Additionner et soustraire des fractions

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Énoncé

Calculer la différence et la somme suivantes.

1.

\frac{5}{7} - \frac{3}{7}

\frac{1}{3} + \frac{1}{2}

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Méthode

On identifie les dénominateurs. S'ils sont égaux, on passe directement à l'étape suivante, sinon on ramène les fractions au même dénominateur en cherchant un multiple commun.
On ajoute (ou soustrait) les numérateurs.
On garde le dénominateur commun.

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Solution

\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{5 - 3}{7} = \frac{2}{7}

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 40

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Multiplier et diviser des fractions

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Énoncé

Calculer le produit et le quotient suivants.

1.

\frac{2}{70} \times \frac{40}{5}

\frac{14}{25} \div \frac{21}{40}

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Méthode

On cherche si les nombres des numérateurs et ceux des dénominateurs ont des diviseurs communs.
On fait apparaître les décompositions des nombres pour simplifier au maximum.
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

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Solution

\frac{2}{70} \times \frac{40}{5} = \frac{2 \times 40}{70 \times 5} = \frac{2 \times 4 \times 10}{7 \times 10 \times 5} = \frac{8}{35}

\frac{14}{25} \div \frac{21}{40} = \frac{14 \times 40}{25 \times 21} = \frac{2 \times 7 \times 5 \times 8}{5 \times 5 \times 7 \times 3} = \frac{2 \times 8}{5 \times 3} = \frac{16}{15}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 40

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2
Puissances

A
Généralités

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Définitions

Soient

a

un nombre et

n

un entier positif. Le produit

n fois a \times a \times \dots \times a

est la puissance

n

‑ième de

a

.
On le note

a^{n}

n

est alors appelé l'exposant et cette écriture se lit «

a

exposant

n

».
Par convention, si

a \neq = 0

a^{0} = 1

.
Si

a \neq = 0

, on note

a^{- n}

l'inverse de

a^{n}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

. Ainsi,

a^{- 1} = \frac{1}{a}

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Exemples

$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$

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Définition

Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier.

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Remarque

Les carrés parfaits à connaître sont : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144.

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Définition

Soit

a

un nombre positif. La racine carrée de

a

est le nombre positif dont le carré est égal à

a

. On le note

a

. On a donc

(a)^{2} = a

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B
Notation scientifique et préfixes

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Définition

La notation scientifique d'un nombre est l'unique écriture de ce nombre sous la forme

a \times 1 0^{n}

où

1 ⩽ a < 10

n

est un nombre entier.

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Exemples

$123456 = 1, 23456 \times 1 0^{5}$
$0, 00987 = 9, 87 \times 1 0^{- 3}$

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Définitions

Préfixe	giga	méga	kilo	hecto	déca	unité	déci	centi	milli	micro	nano
Symbole	G	M	k	h	da		d	c	m	$μ$	n
Puissance	$1 0^{9}$	$1 0^{6}$	$1 0^{3}$	$1 0^{2}$	$1 0^{1}$	$1 0^{0}$	$1 0^{- 1}$	$1 0^{- 2}$	$1 0^{- 3}$	$1 0^{- 6}$	$1 0^{- 9}$

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Méthodes

Calculer avec les puissances

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Énoncé

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme

3^{n}

où

n

est un nombre entier.

1.

3^{6} \times 3^{4}

\frac{3 ^{5}}{3 ^{3}}

(3^{2})^{4}

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Méthode

On décompose chaque écriture de puissance en faisant apparaître les produits et on simplifie ou on regroupe les facteurs.

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Solution

3^{6} \times 3^{4} = 6 fois 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 fois 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{10}

\frac{3 ^{5}}{3 ^{3}} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3} = 2 fois 3 \times 3 = 3^{2}

(3^{2})^{4} = 4 fois 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} = 8 fois 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{8}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 41

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Déterminer si un nombre est un carré parfait ou non

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Énoncé

Déterminer si les nombres

1000

625

sont des carrés parfaits.

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Méthode

On calcule, à l'aide de la calculatrice, la racine carrée du nombre donné. Si on obtient un nombre entier, alors c'est un carré parfait ; sinon, ce n'est pas un carré parfait.

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Solution

À l'aide de la calculatrice, on obtient

1000 \approx 31, 6

.
Donc

1000

n'est pas un carré parfait.
À l'aide de la calculatrice, on obtient

625 = 25

.
Donc

625

est un carré parfait.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 41

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Déterminer la notation scientifique d'un nombre décimal

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Énoncé

Déterminer la notation scientifique des nombres

124, 91

0, 000136

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Méthode

On écrit le nombre comme un produit d'un nombre décimal ne comportant qu'un chiffre non nul dans la partie entière par une puissance de dix.

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Solution

124, 91 = 1, 2491 \times 100 = 1, 2491 \times 1 0^{2}

0, 000136 = 1, 36 \times 0, 0001 = 1, 36 \times 1 0^{- 4}

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Exercices

p. 41

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Ch. 5Notion de fonction

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Ch. 9Probabilités

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Ch. 11Trigonométrie dans le triangle rectangle

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Calcul numérique

1Règles de calcul

ANombres relatifs

Propriétés

Exemples

Propriété

Exemples

BNombres en écriture fractionnaire

Propriété

Exemples

Propriétés

Exemples

Calculer avec des nombres relatifs

Méthode

Additionner et soustraire des fractions

Méthode

Multiplier et diviser des fractions

Méthode

2 Puissances

AGénéralités

Définitions

Exemples

Définition

Remarque

Définition

BNotation scientifique et préfixes

Définition

Exemples

Définitions

Calculer avec les puissances

Méthode

Déterminer si un nombre est un carré parfait ou non

Méthode

Déterminer la notation scientifique d'un nombre décimal

Méthode

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