Mathématiques 3e - 2021
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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Calcul numérique
Ouverturep. 30-31
Activités
Activitép. 32-33
Cours et méthodes
Coursp. 34-37
Révision
Fiche méthodep. 38
Outils numériques
Outils numériquesp. 39
Automatismes
Exercicesp. 40-41
Entraînement
Exercicesp. 42-45
Approfondissement
Exercicesp. 46-47
Préparer le brevet
Entraînement brevetp. 48
Travailler autrement
Travailler autrementp. 49
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Nos dossiers d'actualité
Dossier d'actualité
Chapitre 2
Cours et méthodes

Calcul numérique

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1
Règles de calcul

A
Nombres relatifs

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Propriétés

1. Pour additionner deux nombres relatifs :
  • s'ils sont de même signe, on garde le signe commun et on ajoute leur distance à 0 ;
  • sinon, le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à 0 et on calcule la différence des deux distances à 0.
2. Soustraire un nombre b revient à ajouter son opposé : {a-b=a+(-b)}.
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Exemples

  • {(-7)+(+5)=-(7-5)=-2}
  • (+4)-(-7)=(+4)+(+7)=+(4+7)=+11
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Propriété

Pour multiplier (ou diviser) deux nombres relatifs, on multiplie (ou divise) leur distance à 0 et on applique la règle des signes suivante :
  • si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif ;
  • si le nombre de facteurs négatifs est impair, le résultat est négatif.
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Exemples

  • (+2) \times(-5) \times(+3)=-(2 \times 5 \times 3)=-30
  • (-4) \times(+7) \times(-2)=+(4 \times 7 \times 2)=+56
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B
Nombres en écriture fractionnaire

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Propriété

Pour additionner (respectivement soustraire) des nombres en écriture fractionnaire, on les ramène au même dénominateur puis on ajoute (respectivement soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
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Exemples

  • {\frac{1}{7}-\frac{3}{7}=\frac{1-3}{7}=\frac{-2}{7}}

  • \frac{2}{5}+\frac{2}{15}=\frac{2 \times 3}{5 \times 3}+\frac{2}{15}=\frac{6}{15}+\frac{2}{15}=\frac{6+2}{15}=\frac{8}{15}
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Propriétés

1. Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : {\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}}.

2. Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par l'inverse de cette écriture fractionnaire : \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}.
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Exemples

  • {\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{1\times3}{5\times4}=\frac{3}{20}}

  • \frac{1}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{5}\times\frac{4}{3}=\frac{1\times 4}{5\times 3}=\frac{4}{15}
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Méthodes

Calculer avec des nombres relatifs

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Énoncé
Calculer le nombre suivant : {\text{A}=\frac{-5-3 \times 5}{4}}.
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Méthode

Lors d'un enchaînement de plusieurs opérations, on respecte la règle des priorités dans les calculs à effectuer :
  • parenthèses ;
  • puissances ;
  • multiplications et divisions ;
  • additions et soustractions.
Lorsqu'il y a plusieurs opérations avec le même niveau de priorité, on effectue les calculs dans le sens de lecture (de gauche à droite). Le trait de fraction tient lieu de parenthèses.
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Solution
\text{A}=\frac{-5-3 \times 5}{4}

\text{A}=\frac{-5-15}{4}

\text{A}=\frac{-20}{4}

\text{A}=-5

Pour s'entraîner
Exercices 
52
 et
53
 p. 42
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Additionner et soustraire des fractions

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Énoncé
Calculer la différence et la somme suivantes.

1. \frac{5}{7}-\frac{3}{7}

2. \frac{1}{3}+\frac{1}{2}
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Méthode

  • On identifie les dénominateurs. S'ils sont égaux, on passe directement à l'étape suivante, sinon on ramène les fractions au même dénominateur en cherchant un multiple commun.
  • On ajoute (ou soustrait) les numérateurs.
  • On garde le dénominateur commun.
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Solution
1. \frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{5-3}{7}=\frac{2}{7}

2. \frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1 \times 2}{3 \times 2}+\frac{1 \times 3}{2 \times 3}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}

Pour s'entraîner
Exercices 
26
 et
27
 p. 40
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Multiplier et diviser des fractions

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Énoncé
Calculer le produit et le quotient suivants.

1. \frac{2}{70} \times \frac{40}{5}

2. \frac{14}{25} \div \frac{21}{40}
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Méthode

  • On cherche si les nombres des numérateurs et ceux des dénominateurs ont des diviseurs communs.
  • On fait apparaître les décompositions des nombres pour simplifier au maximum.
  • On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
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Solution
1. \frac{2}{70} \times \frac{40}{5}=\frac{2 \times 40}{70 \times 5}=\frac{2 \times 4 \times \color{red}\bcancel{\color{black}10}\color{black}}{7 \times \color{red}\bcancel{\color{black}10} \color{black} \times 5}=\frac{8}{35}

2. \frac{14}{25} \div \frac{21}{40}=\frac{14 \times 40}{25 \times 21}=\frac{2 \times \color{red}\bcancel{\color{black}7} \color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}5} \color{black} \times 8}{5 \times \color{red}\bcancel{\color{black}5} \color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}7} \color{black} \times 3}=\frac{2 \times 8}{5 \times 3}=\frac{16}{15}

Pour s'entraîner
Exercices 
28
 et
29
 p. 40
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2
Puissances

A
Généralités

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Définitions

Soient a un nombre et n un entier positif. Le produit \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text { fois }} est la puissance n‑ième de a.
On le note a^n. n est alors appelé l'exposant et cette écriture se lit « a exposant n ».
Par convention, si a \ne 0, a^0=1.
Si a \ne 0, on note a^{-n} l'inverse de a^n : a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}. Ainsi, a^{-1}=\frac{1}{a}.
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Exemples

  • {2^{3}=2 \times 2 \times 2=8}
  • {2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}}
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Définition

Un carré parfait est un nombre qui est le carré d'un entier.
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Remarque

Les carrés parfaits à connaître sont : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144.
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Définition

Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On le note \sqrt{a}. On a donc (\sqrt{a})^{2}=a.
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B
Notation scientifique et préfixes

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Définition

La notation scientifique d'un nombre est l'unique écriture de ce nombre sous la forme a \times 10^{n} où 1 \leqslant a \lt 10 et n est un nombre entier.
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Exemples

  • {123\:456=1,234\:56 \times 10^{5}}
  • {0,009\:87=9,87 \times 10^{-3}}
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Définitions

Préfixegigamégakilohectodécaunitédécicentimillimicronano
SymboleGMkhdadcm\mun
Puissance10^910^610^310^210^110^010^{-1}10^{-2}10^{-3}10^{-6}10^{-9}
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Méthodes

Calculer avec les puissances

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Énoncé
Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme 3^n où n est un nombre entier.

1. 3^{6} \times 3^{4}

2. \frac{3^{5}}{3^{3}}

3. \left(3^{2}\right)^{4}
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Méthode

On décompose chaque écriture de puissance en faisant apparaître les produits et on simplifie ou on regroupe les facteurs.
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Solution
1. 3^{6} \times 3^{4}=\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}_{6 \text { fois }} \times \underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3}_{4 \text { fois }}=3^{10}

2. \frac{3^{5}}{3^{3}}=\frac{3 \times 3 \times \color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black}}{\color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black} \times \color{red}\bcancel{\color{black}3}\color{black}}=\underbrace{3 \times 3}_{2 \text { fois }}=3^{2}

3. \left(3^{2}\right)^{4}=\underbrace{3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2} \times 3^{2}}_{4 \text { fois }}=\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}_{8 \text { fois }}=3^{8}

Pour s'entraîner
Exercices
36
 et
37
 p. 41
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Déterminer si un nombre est un carré parfait ou non

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Énoncé
Déterminer si les nombres 1~000 et 625 sont des carrés parfaits.
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Méthode

On calcule, à l'aide de la calculatrice, la racine carrée du nombre donné. Si on obtient un nombre entier, alors c'est un carré parfait ; sinon, ce n'est pas un carré parfait.
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Solution
À l'aide de la calculatrice, on obtient \sqrt{1\:000} \approx 31,6.
Donc 1\:000 n'est pas un carré parfait.
À l'aide de la calculatrice, on obtient \sqrt{625}=25.
Donc 625 est un carré parfait.

Pour s'entraîner
Exercices 
38
 et
39
 p. 41
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Déterminer la notation scientifique d'un nombre décimal

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Énoncé
Déterminer la notation scientifique des nombres 124,91 et 0,000~136.
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Méthode

On écrit le nombre comme un produit d'un nombre décimal ne comportant qu'un chiffre non nul dans la partie entière par une puissance de dix.
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Solution
124,91=1,249\:1 \times 100=1,249\:1 \times 10^{2}
0,000\:136=1,36 \times 0,000\:1=1,36 \times 10^{-4}

Pour s'entraîner
Exercices 
44
,
45
 et
46
 p. 41

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