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Ouverture

p. 1-9

Partie 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Nombres entiers

Ch. 2

Calcul numérique

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 3

Calcul littéral

Ch. 4

Équations

Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions

Ch. 5

Notion de fonction

Ch. 6

Fonctions affines

Ch. 7

Situations de proportionnalité

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Partie 3 : Espace et géométrie

Ch. 10

Théorème de Thalès et triangles semblables

Ch. 11

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Ch. 12

Transformations dans le plan et leurs effets

Ch. 13

Géométrie dans l'espace

Partie 4 : Mesures et grandeurs

Ch. 14

Mesures et grandeurs

Annexes

Scratch

Dossier brevet

Rappels, Index, Compétences

Révisions Genially

Calcul littéral

Plan de travail

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Chapitre 8

Cours et méthodes

Statistiques

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1
Paramètres statistiques

A
Moyenne d'une série statistique

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Définition

La moyenne d'une série de données est le quotient de la somme des valeurs par l'effectif total.

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Remarques

On utilise généralement le calcul direct de la moyenne lorsque chaque valeur est unique et le calcul de la moyenne pondérée lorsque des valeurs reviennent fréquemment dans la série.
La moyenne n'est pas forcément une valeur de la série.
La moyenne est un indicateur de position : elle donne une tendance générale sur la série mais pas sur la répartition des valeurs. Elle est un indicateur sensible aux valeurs extrêmes.

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B
Médiane d'une série statistique

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Définition

Une médiane d'une série statistique est une valeur telle qu'il y a :

au moins la moitié des valeurs de la série inférieures ou égales à cette médiane ;
au moins la moitié des valeurs de la série supérieures ou égales à cette médiane.

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Remarques

Une médiane n'est pas forcément une valeur de la série statistique. Elle partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif et elle n'est pas forcément unique.
Une médiane est un indicateur de position : elle donne une tendance générale sur la série mais pas sur la répartition des valeurs.
Une médiane est un indicateur qui n'est pas sensible aux valeurs extrêmes.
Attention, la moyenne et la médiane ne sont généralement pas égales.

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C
Étendue d'une série statistique

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Définition

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

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Remarques

L'étendue est un indicateur de dispersion : elle mesure à quel point les valeurs sont regroupées ou dispersées. L'étendue est très sensible aux valeurs extrêmes.

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Exemple

Voici les notes de Léo : 13 - 13 - 12 - 10 - 9 - 18 - 12 - 10 - 11.
On a

18 - 9 = 9

. L'étendue des notes de Léo est donc de 9.

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Méthodes

Calculer une moyenne

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Énoncé

Voici les notes obtenues par Léa au premier trimestre : 13 ; 13 ; 10 ; 10 ; 10 ; 19 ; 13 ; 10 ; 10.
Calculer sa moyenne de deux manières différentes.

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Méthode

On additionne toutes les valeurs puis on divise par l'effectif total.
Pour la moyenne pondérée, on regroupe les valeurs apparaissant plusieurs fois grâce à des produits, on les additionne et on divise la somme par l'effectif total.

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Solution

Première méthode, calcul direct :
$\frac{13 + 13 + 10 + 10 + 10 + 19 + 13 + 10 + 10}{9} = 12$
Deuxième méthode, en utilisant la moyenne pondérée :
$\frac{13 \times 3 + 10 \times 5 + 19}{9} = 12$

Donc, la moyenne de Léa est 12.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 158

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Calculer une médiane

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Énoncé

Voici les notes obtenues par Julie au deuxième trimestre : 13 ; 13 ; 12 ; 10 ; 9 ; 18 ; 12 ; 10 ; 11.

1. Déterminer une note médiane de Julie et interpréter le résultat.
2. Lors d'un devoir supplémentaire, Julie obtient 10. Déterminer une nouvelle note médiane.

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Méthode

Pour calculer une médiane :

on range les valeurs dans l'ordre croissant (ou décroissant) ;
on calcule l'effectif total $N$ ;
si $N$ est impair, une médiane s'obtient en prenant la valeur située au rang $\frac{N}{2} + 0, 5$ ;
si $N$ est pair, une médiane s'obtient, par convention, en calculant la moyenne des valeurs situées aux rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .

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Solution

1. On range toutes les valeurs dans l'ordre croissant :

4 valeurs 9; 10; 10; 11; 12; 4 valeurs 12; 13; 13; 18

.

Il y a 9 valeurs. C'est un nombre impair.
On calcule :

9 \div 2 = 4, 5

. Donc, une note médiane est la 5^e valeur de la série ordonnée, c'est‑à‑dire 12.
Cela signifie qu'au moins la moitié des notes de Julie est inférieure ou égale à 12 et qu'au moins la moitié des notes de Julie est supérieure ou égale à 12.

2. On range toutes les valeurs dans l'ordre croissant :

5 valeurs 9; 10; 10; 10; 11; 5 valeurs 12; 12; 13; 13; 18 .

Il y a 10 valeurs. C'est un nombre pair.
On calcule :

10 \div 2 = 5

. Donc, une note médiane se trouve entre la 5^e et la 6^e valeur de la série, c'est‑à‑dire (par convention),

\frac{11 + 12}{2} = 11, 5

Pour s'entraîner

Exercices

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2
Représentations de données

A
Généralités

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Définitions

1. Pour étudier une série statistique contenant un grand nombre de valeurs possibles, on peut découper l'intervalle de ces valeurs en intervalles plus petits appelés des classes.

2. L'amplitude d'une classe correspond à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur que cette classe peut contenir.

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Exemple

Voici les notes obtenues par des élèves à un contrôle :
10 - 8 - 12 - 15 - 8 - 6 - 13 - 7 - 10 - 19 - 7 - 15 - 13 - 12 - 10 - 9 - 8 - 7 - 10 - 12 - 4 - 11 - 15 - 16 - 13 - 11.

17 élèves ont une note appartenant à la classe [10 ; 20]. L'amplitude de cette classe est égale à 10.

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B
Représenter un histogramme

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Définition

Dans un histogramme, chaque classe est représentée par un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif représenté.

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Remarque

Un histogramme ne s'utilise que dans le cas où l'on a regroupé les données par classes.
Pour interpréter un histogramme, il faut définir une unité d'aire qui correspond à un effectif. Étant donné que l'on se limite aux cas où les classes sont d'amplitudes égales, tous les rectangles ont la même largeur et leur hauteur est proportionnelle à l'effectif.

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Exemple

On a demandé à 155 élèves de troisième le temps consacré chaque soir à faire leurs devoirs. Les réponses ont été représentées sous la forme d'un histogramme.
Chaque classe a une amplitude de 15 minutes. Grâce à ce diagramme, on visualise rapidement que la classe la plus importante est [30 ; 45[ et qu'elle représente un effectif de 55 élèves.

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Méthodes

Déterminer l'amplitude d'une classe

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Énoncé

On a regroupé les employés d'une entreprise selon leur taille.

Taille (en cm)	[150 ; 160[	[160 ; 170[	[170 ; 180[	[180 ; 190[	[190 ; 200[
Effectif	10	23	42	41	14

1. Quelle est l'amplitude des classes ?
2. Afin de proposer une tenue à chacun, le directeur souhaiterait avoir une vision plus fine de la taille des employés. Pour cela, il va réaliser une nouvelle étude. L'amplitude des classes doit‑elle être plus grande ou plus petite ?

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Méthode

1. On détermine l'amplitude d'une classe en effectuant la différence entre les bornes de l'intervalle.

2. Plus l'amplitude d'une classe est petite, plus on a de précisions sur les valeurs de la série.

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Solution

1. On calcule

160 - 150 = 10

. En faisant de même pour les autres intervalles, on conclut que l'amplitude des classes est de 10 cm.

2. Le directeur souhaite une vision plus fine, il faut donc plus de précision dans la répartition. Il devra refaire l'enquête avec une amplitude plus petite, par exemple 5 cm. Toutefois, l'amplitude ne doit pas être trop petite afin de garder la pertinence du regroupement par classes.

Pour s'entraîner

Exercice

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Construire un histogramme

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Énoncé

Un vétérinaire a noté la taille (en cm) des chiens qui sont passés dans son cabinet cette semaine. Représenter ces informations sous la forme d'un histogramme avec des classes d'amplitude de 20 cm : 23 ; 42 ; 44 ; 97 ; 34 ; 36 ; 33 ; 42 ; 63 ; 60 ; 88 ; 16 ; 28 ; 24 ; 29 ; 71 ; 55 ; 59 ; 69 ; 22 ; 30 ; 51.

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Méthode

Pour faciliter le tracé de l'histogramme, on peut commencer par regrouper les données dans un tableau.
On trace les deux axes et on les gradue.
On trace les rectangles jusqu'à la bonne hauteur en faisant bien attention à ce que la largeur soit toujours régulière.
On note le titre et la légende des axes.

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Solution

Classe	[0 ; 20[	[20 ; 40[	[40 ; 60[	[60 ; 80[	[80 ; 100[
Effectif	1	9	6	4	2

Pour s'entraîner

Exercice

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1Paramètres statistiques

AMoyenne d'une série statistique

Définition

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BMédiane d'une série statistique

Définition

Remarques

CÉtendue d'une série statistique

Définition

Remarques

Exemple

Calculer une moyenne

Méthode

Calculer une médiane

Méthode

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AGénéralités

Définitions

Exemple

BReprésenter un histogramme

Définition

Remarque

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Méthode

Construire un histogramme

Méthode

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A
Généralités

B
Représenter un histogramme