Mathématiques Terminale Bac Pro - Cahier

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Partie 1 : Statistique et probabilités
Ch. 1
Statistiques à deux variables
Ch. 2
Probabilités
Partie 2 : Algèbre - Analyse
Ch. 3
Suites numériques
Ch. 4
Fonctions polynômes de degré 3
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Vecteurs
Ch. 8
Trigonométrie
Annexes
Révisions Genially
Consolidation
Poursuite d'études
Annexes
Programmation
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Exercices

Fonctions exponentielles et logarithme décimal

18 professeurs ont participé à cette page
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Fonctions exponentielles de base q

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Exercice 1
Soit f la fonction définie par f(x) = 2,5^{x} sur l'intervalle [-4 ; 4]. Répondre aux questions suivantes à l'aide d'un outil numérique.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

x-4-3-2-101234
f(x)


2. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l᾽intervalle [-2 ; 2].

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Exercice 2
Outil numérique
À l'aide d'un outil numérique, tracer la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes sur l᾽intervalle [-1 ; 5] puis donner leur tableau de variations.

1. f(x) = 2^{x}

2. g(x) = 5^{-x}

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Exercice 3
Sans utiliser de calculatrice, classer ces listes de nombres dans l'ordre croissant.

1. 6,1^{1,1} ; 6,1^{1,4} ; 6,1^{1,2}.

2. 0,49^{0,7} ; 0,49^{2} ; 0,49^{-1,7}.

3. 3,14^{-9} ; 1 ; 3,14^{-5}.
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Exercice 4
Dire si chacune des fonctions suivantes est croissante ou décroissante.

1. f(x)=7^{x}

2. g(x)=(\sqrt{2})^{x}

3. h(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

4. i(x)=\left(\frac{5}{4}\right)^{x}

5. j(x)=1,1^{x}

6. k(x)=0,9^{x}
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Exercice 5
Le prix d'un article, dont le prix initial est de 100 euros, diminue de 7 % par an.
Modéliser le prix de cet article par une fonction exponentielle de base q.

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Propriétés opératoires des fonctions exponentielles

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Exercice 6
Écrire les nombres suivants sous la forme d'une seule puissance de 3.

1. 3^{4} \times 9

2. \left(3^{0,5}\right)^{2}

3. \left(3^{1,5}\right)^{6} \times 3^{-3}

4. \left(3 \times 3^{3,5}\right)^{5}
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Exercice 7
Soit q un nombre réel strictement positif et différent de 1. Simplifier les expressions suivantes.

1. \left(q^{6} \times q^{7}\right)^{2}

2. \left(q^{2}\right)^{-4}

3. q^{3} \times\left(q^{4}\right)^{5}

4. \frac{q^{8}}{q^{6}}

5. \frac{q^{8}}{\left(q^{2}\right)^{3}}

6. \frac{q^{5}}{q^{-4}}

7. \frac{\left(q^{3}\right)^{7}}{q^{-5}}

8. \frac{q^{5} \times q^{-3}}{q^{2}}
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La fonction logarithme décimal

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Exercice 8
Outil numérique
Soit f la fonction définie par f(x)=\log (4 x) sur l'intervalle [0,001 ; 10].

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

x0,0010,010,112310
f(x)


2. Tracer la courbe représentative de la fonction f.

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3. Donner son tableau de variations sur [0,001 ; 10].
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Exercice 9
Donner l'expression d'une fonction du type f(x)=\log (x)+a telle que f(1)=-1.
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Exercice 10
Laquelle de ces courbes représente la fonction logarithme décimal ? Justifier.

1.
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2.
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3.
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4.
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Propriétés opératoires du logarithme

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Exercice 11
Sans calculatrice, déterminer les valeurs de log(1), \log(10), \log(10^{-5}), \log(10\,000) et \log(0,000001).
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Exercice 12
Exprimer en fonction de \log(x) et de \log(y) les expressions suivantes, avec x et y des réels strictement positifs.

1. \log \left(x^{4}\right)

2. \log \left(x^{-2}\right)

3. \log \left(x y^{3}\right)

4. \log \left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)
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Exercice 13
Écrire les nombres suivants en fonction de \log(3).

1. \log(9)

2. \log(27)

3. \log(\frac{1}{3})

4. \log(30)

5. \log(300)

6. \log(0,003)
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Exercice 14
Lesquelles de ces valeurs sont négatives : log(0,1), \log(1,001), \log(\frac{5}{4}) et \log(\frac{4}{5}) ?
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Résolution d'équations et d'inéquations

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Exercice 15
Résoudre les équations suivantes en détaillant chaque étape. Donner la solution à 10^{-3} près.

1. 10^{x} = 2

2. 9^{x} = 5

3. 5^{x-2} = 12

4. (\frac{1}{2})^{x} = 8

5. 4 \times 10^{x} - 18 = 0
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Exercice 16
Sans calculatrice, résoudre sur ] 0 ;+\infty[ les équations suivantes.

1. \log(x) = 0

2. \log(x) = 1

3. \log(5x) = 0

4. \log(6x) = 1

5. \log(4x) -1 = 0

6. -7 \log(x) + 1 = 0
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Exercice 17
Résoudre les inéquations suivantes sur \R.

1. 10^{x} \leqslant 1

2. 2^{x} \geqslant 2

3. 2^{x} \leqslant 5

4. \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geqslant 5

5. \left(\frac{2}{3}\right)^{x} \leqslant-1

6. 3^{x}+7 \geqslant 8
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Exercice 18
Résoudre les inéquations suivantes sur ] 0 ;+\infty[.

1. \log (x) \leqslant 2

2. \log (x) \geqslant-2

3. 6+\log (x) \leqslant 3

4. 3 \log (x) \geqslant 15
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Exercice 19
Résoudre les inéquations suivantes sur ] 0 ;+\infty[.

1. 8 \log (x)>16+5 \log (x)

2. 5 \log \left(x^{2}\right)+3 \log (x) \lt 7
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Exercice 20
Inversé
Donner une équation du type \log(x) = a admettant 100 pour solution.
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Bilan

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Exercice 21
Une onde sonore produit une pression acoustique x exprimée en pascal (Pa). Le niveau sonore correspondant, mesuré en décibel (dB), est donné par la fonction f définie par f(x)=20 \log \left(\frac{x}{p_{0}}\right), où p_{0} est une pression de référence correspondant à la plus petite intensité audible.

1. On donne p_{0}=10^{-4,7} Pa.
Montrer que f(x)=20 \log (x)+94.

2. La pression acoustique correspondant à une conversation humaine est de 0,07 Pa. Quel est, à l᾽unité près, le niveau sonore correspondant ?

3. Le seuil de douleur pour l'oreille humaine est de 120 dB. Calculer, à l᾽unité près, la pression acoustique correspondante.

4. Au-delà de 140 dB, les sons ne sont plus audibles par l'oreille humaine. Résoudre l'inéquation f(x) > 140 afin de déterminer à partir de quelle pression acoustique les sons ne sont plus audibles.
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Exercice 22
On étudie le nombre d'habitants d'un petit village situé à moins de 100 km de Paris et isolé des transports. Ce nombre est modélisé par la fonction f définie sur l᾽intervalle [0 ; 11] par f(n)=400 \times 1,22^{n}, où n est le nombre d᾽années après 2020. Ainsi, le nombre d᾽habitants en 2020 correspond à f(0).

Partie A  : Étude de la fonction f

1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l᾽intervalle [0 ; 11].

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l᾽intervalle [0 ; 11].

Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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3. Compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront arrondis à l'unité).

n024681011
f(n)


4. Tracer la courbe C représentative de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 11].
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Partie B  : Application

5. Calculer, à l᾽unité près, le nombre d'habitants du village en 2025.

6. En utilisant le graphique de la Partie A, déterminer au bout de combien de temps la population aura doublé.

7. Résoudre algébriquement l᾽inéquation f(n) \geqslant 800 et retrouver le résultat de la question précédente.
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Exercice 23
L'intensité (ou magnitude) M sur l'échelle de Richter d'un tremblement de terre est liée à l'énergie E (mesurée en joules) dissipée lors du tremblement de terre par la formule \log (\mathrm{E})=4,4+1,5 \times \mathrm{M}.

1. Calculer l'énergie dissipée lors du séisme à Valdivia au Chili en 1960 de magnitude 9,5 (séisme considéré comme le plus fort jamais enregistré). Donner le résultat sous la forme d᾽une écriture scientifique.

2. L᾽énorme explosion au port de Beyrouth au Liban, en 2020, correspond à un séisme de magnitude 4,5 sur l'échelle de Richter. Calculer l᾽énergie dissipée par cette explosion. Donner le résultat sous la forme d᾽une écriture scientifique.

3. Sachant qu'un kilo d'explosif (TNT) dissipe une énergie de 4,2 \times 10^6 joules, quelle est la valeur équivalente sur l'échelle de Richter, à l᾽unité près, d'une bombe H de 15 kilotonnes (bombe similaire à celle lâchée sur Hiroshima le 6 août 1945) ?
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Exercice 24

Avant de pouvoir être utilisés, les outils médicaux doivent être stérilisés. Durant ce processus, ils sont soumis à une très forte chaleur, détruisant la grande majorité des germes présents à leur surface.
On considère qu'un outil est stérilisé quand moins d'un germe se trouve encore à sa surface.

1. On s'intéresse tout d'abord à une stérilisation à 125 °C. Dans ces conditions, le nombre N_{1} de germes présents sur cet outil en fonction du temps est donné, pour tout t > 0 en seconde, par la formule \mathrm{N}_{1}(t)=1000 \times 0,98^{t}.

a. Comment évolue le nombre de germes présents à la surface de l'objet durant ce processus ? Justifier.

b. Justifier que déterminer le temps nécessaire pour stériliser l'outil à l'aide de ce processus équivaut à résoudre l'inéquation 1000 \times 0,98^{t} \leqslant 1.

c. Résoudre cette inéquation en arrondissant le résultat au centième de seconde, puis interpréter ce résultat.

2. On s'intéresse maintenant à une stérilisation à 140 °C. Dans ces conditions, le nombre N_{2} de germes présents sur cet outil en fonction du temps est donné, pour tout t > 0 en seconde, par la formule \mathrm{N}_{2}(t)=1000 \times 0,84^{t}.

a. Au bout de combien de temps cet outil pourra‑t‑il être considéré comme stérilisé ? On arrondira le résultat au centième.

b. En déduire, entre 125 °C et 140 °C, laquelle de ces deux températures permet une stérilisation plus rapide des outils.
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