Fonctions exponentielles et logarithme décimal

L'objectif de ce chapitre est d'apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes modélisables par la fonction logarithme décimal ou par une fonction exponentielle.

Vers la fin du XVI^e siècle, le développement de l'astronomie et de la navigation implique l'utilisation de nombres toujours plus grands et de calculs de plus en plus compliqués. Afin de simplifier ces calculs, on cherche des méthodes pour transformer des multiplications en additions. Les logarithmes, que John Napier et Henry Briggs contribuèrent à développer, ont permis d'atteindre ces objectifs.

Puissance d'un nombre

Propriétés : Si $a$ est un nombre réel non nul et $n$ est un entier naturel alors :

• 1. $a^n=\underset{n\text{ fois }}{\underbrace{a\times a\times \dots \times a}}$


• 2. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$


• 3. Si $n=0$, on a $a^0=1$.

Exemples  :

• 1. $2^3=2\times 2\times 2=8$
• 2. $(-7{)}^{-2}=\frac{1}{(-7{)}^2}=\frac{1}{49}$
• 3. $(-3{)}^0=1$

Produit de puissances

Propriété : Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ est un entier naturel, alors $a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$.
Exemple : $3^2\times 2^2=(3\times 2{)}^2=6^2=36$

Propriété : Si $a$ est un nombre réel et $n$ et $m$ sont des entiers naturels, alors $a^n\times a^m=a^{n+m}$.
Exemple : $4^2\times 4^5=4^{2+5}=4^7=16384$

Quotient de puissances

Propriété : Si $a$ et $b$ sont des nombres réels avec $b\ne 0$ et $n$ est un entier naturel, alors ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.
Exemple : ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Propriété : Si $a$ est un nombre réel non nul et $n$ et $m$ sont des entiers naturels, alors $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.
Exemple : $\frac{5^4}{5^3}=5^{4-3}=5^1=5$

Puissance de puissance

Propriété : Si $a$ est un nombre réel et $n$ et $m$ sont des entiers naturels, alors ${\left(a^n\right)}^m=a^{n\times m}$.
Exemple : ${\left(7^3\right)}^2=7^{3\times 2}=7^6=117649$