Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Représenter et étudier des fonctions exponentielles de base $\mathbf{q}:\mathbf{x}\mapsto {\mathbf{q}}^{\mathbf{x}}$

Utiliser les propriétés opératoires des exponentielles.
Soient $q$ un réel strictement positif et différent de $1$, $x$ et $y$ deux nombres réels.
On peut simplifier l'écriture de certaines expressions grâce aux propriétés suivantes.

• $q^x\times q^y=q^{x+y}$


• $q^{-x}=\frac{1}{q^x}$


• $\frac{q^x}{q^y}=q^{x-y}$


• ${\left(q^x\right)}^y=q^{x\times y}$

Déterminer si une fonction exponentielle est croissante ou décroissante.

1. Déterminer la valeur de $q$ dans l'expression $f(x)=q^x$.
2. Si $q>1$, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.
Si $q<1$, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Si $q=1$, la fonction est constante sur $\mathbb{R}$ et est égale à $1$.

Représenter et étudier la fonction logarithme décimale : $\mathbf{x}\mapsto \log (\mathbf{x})$

Résoudre des équations ou des inéquations du type ${\mathbf{q}}^{\mathbf{x}}=\mathbf{a},\log (\mathbf{x})=\mathbf{a},{\mathbf{q}}^x⩾\mathbf{a}\text{ ou }\log (\mathbf{x})⩾\mathbf{a}$

1. Suivant la situation, utiliser le fait que $10^{\log (x)}=x\text{ ou que }\log \left(q^x\right)=x\log (q)$.
2. Dans le cas d'une inéquation, attention à bien changer le sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif. En particulier, il faut être vigilant au signe des logarithmes décimaux : $\log (a)$ est positif si $a>1$, mais négatif si $0<a<1$.

Exemples :

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