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Modélisation quadratique

Nouvelle épreuve Bac

Exercices rituels et automatismes

Exercices rituels

Automatismes

Partie 1 - Information chiffrée

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée

Partie 2 - Probabilités

Ch. 2
De la statistique aux probabilités

Partie 3 - Phénomènes d’évolution

Ch. 3
Croissance linéaire

Ch. 4
Croissance exponentielle

Partie 4 - Dérivation

Ch. 5
Variations instantanées

Ch. 6
Variations globales

GeoGebra

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Chapitre 4

Méthodes

Méthodes et automatismes

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Méthode 1
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique

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Énoncé

1. Déterminer les trois premiers termes de la suite géométrique

u

définie par son premier terme

u (0) = 7

et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel

n

u (n + 1) = 0, 5 \times u (n) .

2. Calculer les trois premiers termes de la suite géométrique

v

définie, pour tout

n \in N

, par sa forme explicite

v (n) = 3 \times 2^{n} .

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Méthode

1. Si la suite est définie par récurrence :

on applique la relation de récurrence à $u (0)$ pour déterminer $u (1)$ ;
on applique la relation de récurrence à $u (1)$ pour déterminer $u (2)$ , et ainsi de suite.

2. Si la suite est définie explicitement, on remplace directement

n

par le rang du terme que l'on souhaite calculer.

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Solution

u

est une suite géométrique de raison

0, 5

dont les premiers termes sont :

u (0) = 7

u (1) = 0, 5 \times u (0) = 3, 5

u (2) = 0, 5 \times u (1) = 0, 5 \times 3, 5 = 1, 75

.

2.

v (0) = 3 \times 2^{0} = 3

v (1) = 3 \times 2^{1} = 6

v (2) = 3 \times 2^{2} = 12

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Automatismes

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6

À l'oral

Soit

u

la suite géométrique de premier terme

u (0) = 3

et de raison

q = 2

. Donner les quatre premiers termes de cette suite.

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7

À l'oral

Dans la feuille de calcul ci-dessous, on cherche à calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison

0, 7

Capture d'écran d'un tableur: suite numérique à compléter. Colonne 'n' : 0 à 5. Colonne 'u(n)' : à remplir, 20 en première ligne.

1. Quel est le premier terme de cette suite ?

2. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 puis étirer vers le bas pour que le tableur calcule automatiquement les termes de cette suite ?

3. Quelle valeur sera affichée dans la cellule B6 ?

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8

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique

u

de premier terme

u (0) = 0, 5

et de raison

q = 2

2. Déterminer les quatre premiers termes de la suite géométrique

v

de premier terme

v (0) = 6

et de raison

q = 2, 5

3. Calculer les six premiers termes de la suite

w

définie, pour tout

n \in N

, par

w (n) = 2 \times 0, 5^{n}

4. Calculer les quatre premiers termes de la suite

z

définie, pour tout

n \in N

, par

z (n) = 1, 5 \times 3^{n}

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9

On considère la suite géométrique définie par

u (1) = 10

et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel

n

u (n + 1) = 0, 5 \times u (n)

.

1. Calculer

u (2)

, puis déterminer

u (3)

2. Pour calculer

u (7)

, quels sont les calculs nécessaires ?

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10

On considère la suite géométrique

v

dont la raison est

q = 3

.

1. Sachant que

v (6) = 243

, calculer la valeur de

v (7)

et celle de

v (5)

2. Calculer ensuite

v (8)

v (4)

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Méthode 2
Représenter le nuage de points associé à une suite géométrique

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Énoncé

Après avoir déterminé les quatre premiers termes de la suite géométrique de premier terme

u (0) = 0, 5

et de raison

2

, représenter graphiquement le nuage de points

(n; u (n))

pour

0 ⩽ n ⩽ 3

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Méthode

On détermine les premiers termes de la suite.

On associe au terme de rang $n$ de la suite le point du plan de coordonnées $(n; u (n))$ .

Onplacechacundespointsdéfinisàl'étape précédente dans le repère pour obtenir le nuage de points associé à la suite.

En abscisse, on lit les valeurs de $n$ (qui sont des nombres entiers).

En ordonnée, on lit les valeurs de $u (n)$ (qui sont des nombres réels pas nécessairement entiers).

Attention, il ne faut pas relier les points entre eux.

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Solution

Comme dans la méthode précédente, on calcule les premiers termes

u (0) = 0, 5

u (1) = 2 \times 0, 5 = 1

u (2) = 2 \times 1 = 2

u (3) = 2 \times 2 = 4

.

On place alors dans un repère les points de coordonnées

(0; 0, 5)

(1; 1)

(2; 2)

(3; 4)

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Automatismes

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11

À l'oral

Associer à chacun des nuages de points suivants la suite géométrique

u

v

w

qu'il représente.

u (0) = 10

u (n + 1) = 0, 5 u (n)

v (n) = 2 \times 1, 5^{n}

w (n) = 10 \times 0, 2^{n}

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12

À l'oral

Justifier pourquoi les affirmations suivantes sont vraies.

1. Si un nuage de points représente une suite géométrique de raison

q = 1

, alors les points sont alignés.

2. Pour toute suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison

q > 1

, il existe un terme supérieur à

10000

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13

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique

u

telle que

u (0) = 8

q = 0, 5

2. Représenter graphiquement le nuage de points

(n; u (n))

pour

0 ⩽ n ⩽ 5

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14

Dans un repère orthonormé, représenter les trois premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique

u

de premier terme

u (0) = 3

et de raison

q = 0, 8

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15

Pour chacun des trois nuages de points suivants, donner l'expression de la suite géométrique qu'il représente.

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Méthode 3
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle

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Énoncé

1. Donner le sens de variation de la suite

u

définie par

u (0) = 3

et la relation de récurrence

u (n + 1) = 2 \times u (n)

valable pour tout entier naturel

n

.

2. Donner le sens de variation des fonctions exponentielles suivantes.
a.

f

définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = 1, 1 7^{x}

.
b.

g

définie sur

[0; + \infty [

par

g (x) = 0, 99 7^{x}

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Méthode

1. On vérifie que

u (0) > 0

, puis on regarde la raison de la suite :

si $q > 1$ , la suite géométrique est croissante ;
si $q = 1$ , la suite géométrique est constante ;
si $0 < q < 1$ , la suite géométrique est décroissante.

2. On regarde la valeur de

a

si $a > 1$ , la fonction exponentielle est croissante sur $[0; + \infty [$ ;
si $a = 1$ , la fonction exponentielle est constante sur $[0; + \infty [$ ;
si $0 < a < 1$ ,la fonction exponentielle est décroissante sur $[0; + \infty [$ .

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Solution

1. La suite

u

est géométrique et

u (0) = 3 > 0

, on peut donc utiliser le critère du cours.
De plus,

q = 2 > 1

donc la suite

u

est strictement croissante.

2. a.

f (x)

est de la forme

a^{x}

avec

a = 1, 17

. Or,

1, 17 > 1

donc

f

est croissante sur

[0; + \infty [

.
b.

g (x)

est de la forme

a^{x}

avec

a = 0, 997

. Or,

0, 997 < 1

donc

g

est décroissante sur

[0; + \infty [

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Automatismes

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16
À l'oral

Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation des suites géométriques de premier terme strictement positif dont la raison

q

est donnée.

1.

q = 2

q = 0, 1

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17
À l'oral

Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. La fonction

f

définie par

f (x) = 1, 5^{x}

est croissante sur

[0; + \infty [

2. La suite géométrique de premier terme

0, 1

et de raison

2

est décroissante.

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18

Quel est le sens de variation des suites géométriques suivantes définies pour tout entier naturel

n

? Justifier.

1.

u

définie par

u (n + 1) = 2 \times u (n)

u (0) = 3

v

définie par

v (n + 1) = 0, 3 \times v (n)

v (0) = 7

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19

On considère les fonctions

f

g

h

k

définies sur

[0; + \infty [

. Déterminer le sens de variation de chacune d'entre elles.

1.

f (x) = 0, 3^{x}

g (x) = 2^{x}

h (x) = (\frac{3}{4})^{x}

k (x) = (\frac{16}{5})^{x}

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20

On considère les fonctions

f

g

définies sur

[0; + \infty [

par

f (x) = 1, 5^{x}

g (x) = 2 \times 0, 5^{x}

. En justifiant, associer chacune de ces fonctions à sa représentation graphique.

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Méthode 4
Calculer un taux d'évolution moyen

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Énoncé

D'après le ministère de la Transition énergétique, le prix moyen TTC du gazole a bondi de

1, 5367

€ en décembre 2021 à

2, 029

€ en mars 2022, ce qui représente une augmentation d'environ

32

%.

À quel taux mensuel moyen cette évolution correspond-elle ?

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Méthode

On commence par compter le nombre $n$ de périodes sur lesquelles le taux moyen doit être calculé.

On utilise l'égalité des coefficients multiplicateurs liés aux évolutions successives.

On détermine ensuite $t_{moyen}$ en utilisant la puissance $\frac{1}{n}$ .

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Solution

On travaille sur les données de décembre 2021 à mars 2022, soit une durée de trois mois.

On compte donc trois évolutions mensuelles.

On doit donc avoir

(1 + t_{moyen})^{3} = 1 + \frac{32}{100} = 1, 32

.

Ainsi,

1 + t_{moyen} = 1, 3 2^{\frac{1}{3}}

.

Par conséquent,

t_{moyen} = 1, 3 2^{\frac{1}{3}} - 1

.

Avec la calculatrice, on trouve

t_{moyen} \approx 9, 696

%.

En moyenne, le prix TTC du gazole a augmenté d'environ

9, 696

% chaque mois entre décembre 2021 et mars 2022.

On peut aussi utiliser directement la formule :

t_{moyen} = (1 + \frac{32}{100})^{\frac{1}{3}} - 1

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Automatismes

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21
À l'oral

Un prix subit, en un an, une augmentation de

12

%. Anatole affirme qu'en moyenne, le prix a augmenté de

1

% chaque mois. A-t-il raison ? Justifier.

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22
À l'oral

Les ventes d'un album ont augmenté de

40

% lors d'une semaine par rapport à la précédente, puis de

10

% la semaine suivante. Antoine affirme qu'en moyenne, sur ces deux semaines, les ventes de l'album ont augmenté de

25

% par semaine. A-t-il raison ? Justifier.

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23

Un saule pleureur mesure

2

mètres. On s'attend à ce que, en un an, sa hauteur augmente de

50

%. Quel sera le taux moyen de croissance par mois durant cette année-là ?

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24

D'après l'Insee, le nombre de naissances en France métropolitaine est passé de

802224

en 2010 à

696800

en 2020, ce qui correspond à une baisse d'environ

13

% en dix ans.

Calculer l'évolution annuelle moyenne arrondie à

0, 01

% du nombre de naissances en France métropolitaine entre 2010 et 2020.

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25

D'après l'Insee, le nombre de mariages en France est passé de

252000

en 2010 à

155000

en 2020, ce qui correspond à une baisse d'environ

38, 5

%. Déterminer l'évolution annuelle moyenne arrondie à

0, 1

% du nombre de mariages en France entre 2010 et 2020.

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26

Pendant une semaine, Joceline a noté chaque jour le nombre de pas qu'elle a effectués dans la feuille de calcul suivante.

Tableau: jours semaine et chiffres associés

1. Quelle a été l'évolution globale arrondie à

0, 01

% du nombre de pas entre lundi et dimanche ?

2. Calculer, à

0, 1

% près, le taux d'évolution moyen du nombre de pas par jour entre lundi et dimanche.

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Modélisation quadratique

Nouvelle épreuve Bac

Exercices rituels

Automatismes

Ch. 1Analyse de l'information chiffrée

Ch. 2De la statistique aux probabilités

Ch. 3Croissance linéaire

Ch. 4Croissance exponentielle

Ch. 5Variations instantanées

Ch. 6Variations globales

GeoGebra

Méthodes et automatismes

Méthode 1Calculer les premiers termes d'une suite géométrique

Méthode

Automatismes

6 À l'oral

7 À l'oral

8

9

10

Méthode 2Représenter le nuage de points associé à une suite géométrique

Méthode

Automatismes

11 À l'oral

12 À l'oral

13

14

15

Méthode 3Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle

Méthode

Automatismes

16À l'oral

17À l'oral

18

19

20

Méthode 4Calculer un taux d'évolution moyen

Méthode

Automatismes

21À l'oral

22À l'oral

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25

26

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Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée

Ch. 2
De la statistique aux probabilités

Ch. 3
Croissance linéaire

Ch. 4
Croissance exponentielle

Ch. 5
Variations instantanées

Ch. 6
Variations globales

Méthode 1
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique

6

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7

À l'oral

Méthode 2
Représenter le nuage de points associé à une suite géométrique

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À l'oral

12

À l'oral

Méthode 3
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle

16
À l'oral

17
À l'oral

Méthode 4
Calculer un taux d'évolution moyen

21
À l'oral

22
À l'oral