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Méthode 1
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique
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Énoncé
1. Déterminer les trois premiers termes de la suite géométrique u définie par son premier terme u(0)=7 et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,5 \times u(n).
2. Calculer les trois premiers termes de la suite géométrique v définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par sa forme explicite v(n)=3 \times 2^{n}.
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Méthode
1. Si la suite est définie par récurrence :
on applique la relation de récurrence à u(0) pour
déterminer u(1) ;
on applique la relation de récurrence à u(1) pour
déterminer u(2), et ainsi de suite.
2. Si la suite est définie explicitement, on remplace
directement n par le rang du terme que l'on souhaite calculer.
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Solution
1.u est une suite géométrique de raison 0,5 dont les premiers termes sont : u(0) = 7, u(1)=0,5 \times u(0)=3,5 et u(2)=0,5 \times u(1)=0,5 \times 3,5=1,75.
2.v(0)=3 \times 2^{0}=3, v(1)=3 \times 2^{1}=6 et v(2)=3 \times 2^{2}=12.
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Automatismes
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6
À l'oral
Soit u la suite géométrique de premier terme u(0) = 3 et de raison q = 2. Donner les quatre premiers termes de cette suite.
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7
À l'oral
Dans la feuille de calcul ci-dessous, on cherche à calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,7.
1. Quel est le premier terme de cette suite ?
2. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 puis étirer vers le bas pour que le tableur calcule automatiquement les termes de cette suite ?
3. Quelle valeur sera affichée dans la cellule B6 ?
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8
1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique u de premier terme u(0) = 0,5 et de raison q = 2.
2. Déterminer les quatre premiers termes de la suite géométrique v de premier terme v(0) = 6 et de raison q = 2,5.
3. Calculer les six premiers termes de la suite w définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par w(n)=2 \times 0,5^{n}.
4. Calculer les quatre premiers termes de la suite z définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par z(n)=1,5 \times 3^{n}.
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9
On considère la suite géométrique définie par u(1)=10 et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,5 \times u(n).
1. Calculer u(2), puis déterminer u(3).
2. Pour calculer u(7), quels sont les calculs nécessaires ?
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10
On considère la suite géométrique v dont la raison est q=3.
1. Sachant que v(6)=243, calculer la valeur de v(7) et celle de v(5).
2. Calculer ensuite v(8) et v(4).
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Méthode 2
Représenter le nuage de points associé à une suite géométrique
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Énoncé
Après avoir déterminé les quatre premiers termes de la suite géométrique de premier terme u(0)=0,5 et de raison 2, représenter graphiquement le nuage de points (n ; u(n)) pour 0 \leqslant n \leqslant 3.
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Méthode
On détermine les premiers termes de la suite.
On associe au terme de rang n de la suite le point du plan de coordonnées (n ; u(n)).
Onplacechacundespointsdéfinisàl'étape précédente dans le repère pour obtenir le nuage de points associé à la suite.
En abscisse, on lit les valeurs de n (qui sont des nombres entiers).
En ordonnée, on lit les valeurs de u(n) (qui sont des nombres réels pas nécessairement entiers).
Attention, il ne faut pas relier les points entre eux.
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Solution
Comme dans la méthode précédente, on calcule les premiers termes u(0)=0,5, u(1)=2 \times 0,5=1, u(2)=2 \times 1=2 et u(3)=2 \times 2=4.
On place alors dans un repère les points de coordonnées (0 ; 0,5), (1 ; 1), (2 ; 2) et (3 ; 4).
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Automatismes
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11
À l'oral
Associer à chacun des nuages de points suivants la suite géométrique u, v ou w qu'il représente.
1.u(0)=10 et u(n+1)=0,5 u(n)
2.v(n)=2 \times 1,5^{n}
3.w(n)=10 \times 0,2^{n}
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12
À l'oral
Justifier pourquoi les affirmations suivantes sont vraies.
1. Si un nuage de points représente une suite géométrique de raison q = 1, alors les points sont alignés.
2. Pour toute suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison q > 1, il existe un terme supérieur à 10\:000.
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13
1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique u telle que u(0)=8 et q=0,5.
2. Représenter graphiquement le nuage de points (n ; u(n)) pour 0 \leqslant n \leqslant 5.
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14
Dans un repère orthonormé, représenter les trois premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique u de premier terme u(0)=3 et de raison q=0,8.
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15
Pour chacun des trois nuages de points suivants, donner l'expression de la suite géométrique qu'il représente.
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Méthode 3
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle
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Énoncé
1. Donner le sens de variation de la suite u définie par u(0)=3 et la relation de récurrence u(n+1)=2 \times u(n) valable pour tout entier naturel n.
2. Donner le sens de variation des fonctions exponentielles suivantes.
a.f définie sur [0 ;+\infty[ par f(x)=1,17^{x}.
b.g définie sur [0 ;+\infty[ par g(x)=0,997^{x}.
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Méthode
1. On vérifie que u(0)>0, puis on regarde la raison de la suite :
si q > 1, la suite géométrique est croissante ;
si q = 1, la suite géométrique est constante ;
si 0, la suite géométrique est décroissante.
2. On regarde la valeur de a :
si a > 1, la fonction exponentielle est croissante sur [0 ;+\infty[ ;
si a = 1, la fonction exponentielle est constante sur [0 ;+\infty[ ;
si 0,la fonction exponentielle est décroissante sur [0 ;+\infty[.
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Solution
1. La suite u est géométrique et u(0)=3>0, on peut donc utiliser le critère du cours.
De plus, q=2>1 donc la suite u est strictement croissante.
2.a.f(x) est de la forme a^{x} avec a=1,17. Or, 1,17>1 donc f est croissante sur [0 ;+\infty[.
b.g(x) est de la forme a^{x} avec a = 0,997. Or, 0,997\lt1 donc g est décroissante sur [0 ;+\infty[.
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Automatismes
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16
À l'oral
Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation des suites géométriques de premier terme strictement positif dont la raison q est donnée.
1.q = 2
2.q = 0,1
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17
À l'oral
Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. La fonction f définie par f(x)=1,5^{x} est
croissante sur [0 ;+\infty[.
2. La suite géométrique de premier terme 0,1 et de raison 2 est décroissante.
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18
Quel est le sens de variation des suites géométriques suivantes définies pour tout entier naturel n ? Justifier.
1.u définie par u(n+1)=2 \times u(n) et u(0)=3.
2.v définie par v(n+1)=0,3 \times v(n) et v(0)=7.
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19
On considère les fonctions f, g, h et k définies sur [0 ;+\infty[. Déterminer le sens de variation de chacune d'entre elles.
1.f(x)=0,3^{x}
2.g(x)=2^{x}
3.h(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}
4.k(x)=\left(\frac{16}{5}\right)^{x}
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20
On considère les fonctions f et g définies sur [0 ;+\infty[ par f(x)=1,5^{x} et g(x)=2 \times 0,5^{x}. En justifiant, associer chacune de ces fonctions à sa représentation graphique.
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Méthode 4
Calculer un taux d'évolution moyen
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