Enseignement mathématique 1re

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 4
Méthodes

Méthodes et automatismes

12 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 1
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
1. Déterminer les trois premiers termes de la suite géométrique u définie par son premier terme u(0)=7 et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,5 \times u(n).

2. Calculer les trois premiers termes de la suite géométrique v définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par sa forme explicite v(n)=3 \times 2^{n}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. Si la suite est définie par récurrence :

  • on applique la relation de récurrence à u(0) pour déterminer u(1) ;
  • on applique la relation de récurrence à u(1) pour déterminer u(2), et ainsi de suite.

2. Si la suite est définie explicitement, on remplace directement n par le rang du terme que l'on souhaite calculer.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. u est une suite géométrique de raison 0,5 dont les premiers termes sont :
u(0) = 7,
u(1)=0,5 \times u(0)=3,5 et
u(2)=0,5 \times u(1)=0,5 \times 3,5=1,75.

2.v(0)=3 \times 2^{0}=3,
v(1)=3 \times 2^{1}=6 et
v(2)=3 \times 2^{2}=12.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Automatismes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

6
À l'oral

Soit u la suite géométrique de premier terme u(0) = 3 et de raison q = 2. Donner les quatre premiers termes de cette suite.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

7
À l'oral

Dans la feuille de calcul ci-dessous, on cherche à calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,7.

Placeholder pour TableurTableur
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Quel est le premier terme de cette suite ?
2. Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 puis étirer vers le bas pour que le tableur calcule automatiquement les termes de cette suite ?
3. Quelle valeur sera affichée dans la cellule B6 ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

8

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique u de premier terme u(0) = 0,5 et de raison q = 2.
2. Déterminer les quatre premiers termes de la suite géométrique v de premier terme v(0) = 6 et de raison q = 2,5.
3. Calculer les six premiers termes de la suite w définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par w(n)=2 \times 0,5^{n}.
4. Calculer les quatre premiers termes de la suite z définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par z(n)=1,5 \times 3^{n}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

9

On considère la suite géométrique définie par u(1)=10 et la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel n, u(n+1)=0,5 \times u(n).

1. Calculer u(2), puis déterminer u(3).
2. Pour calculer u(7), quels sont les calculs nécessaires ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

10

On considère la suite géométrique v dont la raison est q=3.

1. Sachant que v(6)=243, calculer la valeur de v(7) et celle de v(5).
2. Calculer ensuite v(8) et v(4).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 2
Représenter le nuage de points associé à une suite géométrique

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Après avoir déterminé les quatre premiers termes de la suite géométrique de premier terme u(0)=0,5 et de raison 2, représenter graphiquement le nuage de points (n ; u(n)) pour 0 \leqslant n \leqslant 3.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On détermine les premiers termes de la suite.

  • On associe au terme de rang n de la suite le point du plan de coordonnées (n ; u(n)).

  • Onplacechacundespointsdéfinisàl'étape précédente dans le repère pour obtenir le nuage de points associé à la suite.

  • En abscisse, on lit les valeurs de n (qui sont des nombres entiers).

  • En ordonnée, on lit les valeurs de u(n) (qui sont des nombres réels pas nécessairement entiers).

  • Attention, il ne faut pas relier les points entre eux.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
Comme dans la méthode précédente, on calcule les premiers termes u(0)=0,5, u(1)=2 \times 0,5=1, u(2)=2 \times 1=2 et u(3)=2 \times 2=4.

On place alors dans un repère les points de coordonnées (0 ; 0,5), (1 ; 1), (2 ; 2) et (3 ; 4).

Graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Automatismes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

11
À l'oral

Associer à chacun des nuages de points suivants la suite géométrique u, v ou w qu'il représente.

Graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. u(0)=10 et u(n+1)=0,5 u(n)
2. v(n)=2 \times 1,5^{n}
3. w(n)=10 \times 0,2^{n}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

12
À l'oral

Justifier pourquoi les affirmations suivantes sont vraies.

1. Si un nuage de points représente une suite géométrique de raison q = 1, alors les points sont alignés.
2. Pour toute suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison q > 1, il existe un terme supérieur à 10\:000.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

13

1. Déterminer les six premiers termes de la suite géométrique u telle que u(0)=8 et q=0,5.
2. Représenter graphiquement le nuage de points (n ; u(n)) pour 0 \leqslant n \leqslant 5.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

14

Dans un repère orthonormé, représenter les trois premiers points de la représentation graphique de la suite géométrique u de premier terme u(0)=3 et de raison q=0,8.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

15

Pour chacun des trois nuages de points suivants, donner l'expression de la suite géométrique qu'il représente.

Graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 3
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
1. Donner le sens de variation de la suite u définie par u(0)=3 et la relation de récurrence u(n+1)=2 \times u(n) valable pour tout entier naturel n.

2. Donner le sens de variation des fonctions exponentielles suivantes.
a. f définie sur [0 ;+\infty[ par f(x)=1,17^{x}.
b. g définie sur [0 ;+\infty[ par g(x)=0,997^{x}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. On vérifie que u(0)>0, puis on regarde la raison de la suite :
  • si q > 1, la suite géométrique est croissante ;
  • si q = 1, la suite géométrique est constante ;
  • si 0, la suite géométrique est décroissante.

2. On regarde la valeur de a :
  • si a > 1, la fonction exponentielle est croissante sur [0 ;+\infty[ ;
  • si a = 1, la fonction exponentielle est constante sur [0 ;+\infty[ ;
  • si 0,la fonction exponentielle est décroissante sur [0 ;+\infty[.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. La suite u est géométrique et u(0)=3>0, on peut donc utiliser le critère du cours.
De plus, q=2>1 donc la suite u est strictement croissante.

2. a. f(x) est de la forme a^{x} avec a=1,17. Or, 1,17>1 donc f est croissante sur [0 ;+\infty[.
b. g(x) est de la forme a^{x} avec a = 0,997. Or, 0,997\lt1 donc g est décroissante sur [0 ;+\infty[.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Automatismes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

16
À l'oral

Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation des suites géométriques de premier terme strictement positif dont la raison q est donnée.

1. q = 2
2. q = 0,1
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

17
À l'oral

Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. La fonction f définie par f(x)=1,5^{x} est croissante sur [0 ;+\infty[.
2. La suite géométrique de premier terme 0,1 et de raison 2 est décroissante.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

18

Quel est le sens de variation des suites géométriques suivantes définies pour tout entier naturel n ? Justifier.

1. u définie par u(n+1)=2 \times u(n) et u(0)=3.
2. v définie par v(n+1)=0,3 \times v(n) et v(0)=7.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

19

On considère les fonctions f, g, h et k définies sur [0 ;+\infty[. Déterminer le sens de variation de chacune d'entre elles.

1. f(x)=0,3^{x}
2. g(x)=2^{x}
3. h(x)=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}
4. k(x)=\left(\frac{16}{5}\right)^{x}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

20

On considère les fonctions f et g définies sur [0 ;+\infty[ par f(x)=1,5^{x} et g(x)=2 \times 0,5^{x}. En justifiant, associer chacune de ces fonctions à sa représentation graphique.

Graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 4
Calculer un taux d'évolution moyen

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
D'après le ministère de la Transition énergétique, le prix moyen TTC du gazole a bondi de 1,5367 € en décembre 2021 à 2,029 € en mars 2022, ce qui représente une augmentation d'environ 32 %.

À quel taux mensuel moyen cette évolution correspond-elle ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On commence par compter le nombre n de périodes sur lesquelles le taux moyen doit être calculé.

  • On utilise l'égalité des coefficients multiplicateurs liés aux évolutions successives.

  • On détermine ensuite t_{\text {moyen }} en utilisant la puissance \frac{1}{n}.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On travaille sur les données de décembre 2021 à mars 2022, soit une durée de trois mois.

On compte donc trois évolutions mensuelles.

On doit donc avoir \left(1+t_{\text {moyen }}\right)^{3}=1+\frac{32}{100}=1,32.

Ainsi, 1+t_{\text {moyen }}=1,32^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}.

Par conséquent, t_{\text {moyen }}=1,32^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}-1.

Avec la calculatrice, on trouve t_{\text {moyen }} \approx 9,696 %.

En moyenne, le prix TTC du gazole a augmenté d'environ 9,696 % chaque mois entre décembre 2021 et mars 2022.

On peut aussi utiliser directement la formule : t_{\text {moyen }}=\left(1+\frac{32}{100}\right)^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}-1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Automatismes

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

21
À l'oral

Un prix subit, en un an, une augmentation de 12 %. Anatole affirme qu'en moyenne, le prix a augmenté de 1 % chaque mois. A-t-il raison ? Justifier.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

22
À l'oral

Les ventes d'un album ont augmenté de 40 % lors d'une semaine par rapport à la précédente, puis de 10 % la semaine suivante. Antoine affirme qu'en moyenne, sur ces deux semaines, les ventes de l'album ont augmenté de 25 % par semaine. A-t-il raison ? Justifier.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

23

Un saule pleureur mesure 2 mètres. On s'attend à ce que, en un an, sa hauteur augmente de 50 %. Quel sera le taux moyen de croissance par mois durant cette année-là ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

24

D'après l'Insee, le nombre de naissances en France métropolitaine est passé de 802\:224 en 2010 à 696\:800 en 2020, ce qui correspond à une baisse d'environ 13 % en dix ans.

Calculer l'évolution annuelle moyenne arrondie à 0,01 % du nombre de naissances en France métropolitaine entre 2010 et 2020.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

25

D'après l'Insee, le nombre de mariages en France est passé de 252\:000 en 2010 à 155\:000 en 2020, ce qui correspond à une baisse d'environ 38,5 %. Déterminer l'évolution annuelle moyenne arrondie à 0,1 % du nombre de mariages en France entre 2010 et 2020.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

26

Pendant une semaine, Joceline a noté chaque jour le nombre de pas qu'elle a effectués dans la feuille de calcul suivante.

Placeholder pour TableurTableur
Le zoom est accessible dans la version Premium.


1. Quelle a été l'évolution globale arrondie à 0,01 % du nombre de pas entre lundi et dimanche ?
2. Calculer, à 0,1 % près, le taux d'évolution moyen du nombre de pas par jour entre lundi et dimanche.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.