Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 4
Exercices d'entraînement

2. Fonctions exponentielles

9 professeurs ont participé à cette page
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40

Parmi les fonctions suivantes, définies pour tout nombre réel x \geqslant 0, lesquelles sont croissantes et lesquelles sont décroissantes ? Justifier.

1. f(x)=3^{x}
2. g(x)=0,8^{x}
3. h(x)=0,7^{x}
4. m(x)=1,3^{x}
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41

1. Dans chacun des cas, classer A, B, C et D dans l'ordre croissant sans utiliser la calculatrice.

a. \mathrm{A}=2^{3,1}, \mathrm{B}=2^{2,5}, \mathrm{C}=2^{7,3} et \mathrm{D}=2^{\pi}.
b. \mathrm{A}=0,5^{3,1}, \mathrm{B}=0,5^{2,5}, \mathrm{C}=0,5^{7,3} et \mathrm{D}=0,5^{\pi}.
2. Utiliser maintenant la calculatrice pour vérifier l'ordre obtenu.
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42

On a représenté sur le graphique ci-dessous les fonctions f, g, h et k définies, pour tout réel x positif, par f(x)=1,2^{x}, g(x)=0,7^{x}, h(x)=0,3^{x} et k(x)=2^{x}.

Associer en justifiant chacune de ces fonctions à sa représentation graphique.

Graphique
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43
Fil rouge

Pour modéliser l'âge d'un organisme biologique, on peut mesurer son taux de carbone 14. Tant que l'organisme est en vie, le taux est de 100 %. Puis, ce taux commence à décroître à la mort de l'organisme en suivant le rythme donné par la courbe ci-dessous.

Graphique
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1. On prélève un échantillon d'un organisme biologique mort. Le taux de carbone 14 est de 70 %. Depuis combien de temps cet organisme est-il mort ?
2. Un organisme biologique est mort depuis 10 000 ans. Quel est le taux de carbone 14 mesuré ?
3. La courbe représente la fonction f définie pour tout x \geqslant 0 par f(x)=100 \times 0,887^{x}.

a. Justifier que la fonction f est décroissante.
b. À l'aide d'un outil numérique, combien de millier d'années faut-il attendre pour que le taux soit inférieur à 5 %.
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44

Sans calculatrice, montrer que les opérations suivantes ont toutes pour résultat 8.

1. \frac{8^{3,2}}{8^{0,4} \times 8^{1,8}}
2. \frac{2^{4,1} \times 5^{1,1}}{10^{1,1}}
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45

Simplifier les calculs suivants.

1. \left(\frac{1}{10}\right)^{3,2} \times 5^{3,2}

2. 3,5^{1,2} \times 3,5^{4,1}

3. 0,8^{6,2} \div 0,8^{5,1}
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46
Copie d'élève

Le professeur a demandé à Camille d'effectuer le calcul suivant \frac{1,5^{1,3} \times 8^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0,7}}

Voici la copie de Camille, qui ne contient aucune erreur.

\begin{aligned} \frac{1,5^{1,3} \times 8^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0,7}} &=\frac{12^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0.7}} \\ &=\frac{12^{1,3}}{2^{1,3}} \\ &=6^{1,3} \end{aligned}


Proposer une justification pour chaque étape du raisonnement de Camille.
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47

Un prix augmente de 15 % puis diminue de 1 %.

1. De quel pourcentage global ce prix a-t-il évolué ?
2. Déterminer le taux d'évolution moyen.
3. Obtient-on le même taux d'évolution moyen si le prix diminue de 1 % puis augmente de 15 % ? Justifier.
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48

En France, le SMIC est le salaire minimum mensuel pour un contrat de 35 h par semaine.

Les données ci-dessous sont les valeurs du SMIC mensuel brut en euro.

DateValeur du SMICAugmentation en %
1er janvier 20151 457,52
1er janvier 20161 466,620,62
1er janvier 20171 480,270,93
1er janvier 20181 498,471,23
1er janvier 20191 521,221,52
1er janvier 20201 539,421,20
1er janvier 20211 554,580,98

1. Quel est le coefficient multiplicateur associé à l'évolution du SMIC du 1er janvier 2015 au 1er janvier 2021 ?
2. Déterminer le taux d'augmentation annuel moyen du SMIC, arrondi à 0,001 %, sur la période courant du 1er janvier 2015 au 1er janvier 2021.
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Défis !

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49

1. Justifier que 216^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}} et 625^{\normalsize{\tfrac{1}{4}}} sont des entiers naturels.
2. Pour quelles valeurs entières de n>0 le nombre 256^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}} est-il un entier naturel ?
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50

Trouver un nombre b tel que, pour n=1, n=2, n=3 et n=4, b^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}} est un nombre entier.
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51

On considère deux suites géométriques décroissantes u et v, définies pour tout entier naturel n, et de raisons respectives q_{1} et q_{2}.

On note w la suite définie, pour tout entier naturel n, par w(n)=u(n) \times v(n).

1. Montrer que w est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de q_{1} et q_{2}.
2. Montrer que w est décroissante.
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