40

Parmi les fonctions suivantes, définies pour tout nombre réel x \geqslant 0, lesquelles sont croissantes et lesquelles sont décroissantes ? Justifier.

1. f(x)=3^{x}

2. g(x)=0,8^{x}

3. h(x)=0,7^{x}

4. m(x)=1,3^{x}

41

1. Dans chacun des cas, classer A, B, C et D dans l'ordre croissant sans utiliser la calculatrice.

a. \mathrm{A}=2^{3,1}, \mathrm{B}=2^{2,5}, \mathrm{C}=2^{7,3} et \mathrm{D}=2^{\pi}.

b. \mathrm{A}=0,5^{3,1}, \mathrm{B}=0,5^{2,5}, \mathrm{C}=0,5^{7,3} et \mathrm{D}=0,5^{\pi}.

2. Utiliser maintenant la calculatrice pour vérifier l'ordre obtenu.

42

On a représenté sur le graphique ci-dessous les fonctions f, g, h et k définies, pour tout réel x positif, par f(x)=1,2^{x}, g(x)=0,7^{x}, h(x)=0,3^{x} et k(x)=2^{x}.

Associer en justifiant chacune de ces fonctions à sa représentation graphique.

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Fil rouge

Pour modéliser l'âge d'un organisme biologique, on peut mesurer son taux de carbone 14. Tant que l'organisme est en vie, le taux est de 100 %. Puis, ce taux commence à décroître à la mort de l'organisme en suivant le rythme donné par la courbe ci-dessous.



1. On prélève un échantillon d'un organisme biologique mort. Le taux de carbone 14 est de 70 %. Depuis combien de temps cet organisme est-il mort ?

2. Un organisme biologique est mort depuis 10 000 ans. Quel est le taux de carbone 14 mesuré ?

3. La courbe représente la fonction f définie pour tout x \geqslant 0 par f(x)=100 \times 0,887^{x}.

a. Justifier que la fonction f est décroissante.

b. À l'aide d'un outil numérique, combien de millier d'années faut-il attendre pour que le taux soit inférieur à 5 %.

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Sans calculatrice, montrer que les opérations suivantes ont toutes pour résultat 8.

1. \frac{8^{3,2}}{8^{0,4} \times 8^{1,8}}

2. \frac{2^{4,1} \times 5^{1,1}}{10^{1,1}}

45

Simplifier les calculs suivants.

1. \left(\frac{1}{10}\right)^{3,2} \times 5^{3,2}

2. 3,5^{1,2} \times 3,5^{4,1}

3. 0,8^{6,2} \div 0,8^{5,1}

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Copie d'élève

Le professeur a demandé à Camille d'effectuer le calcul suivant \frac{1,5^{1,3} \times 8^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0,7}}

Voici la copie de Camille, qui ne contient aucune erreur.

\begin{aligned} \frac{1,5^{1,3} \times 8^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0,7}} &=\frac{12^{1,3}}{2^{0,6} \times 2^{0.7}} \\ &=\frac{12^{1,3}}{2^{1,3}} \\ &=6^{1,3} \end{aligned}

Proposer une justification pour chaque étape du raisonnement de Camille.

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Un prix augmente de 15 % puis diminue de 1 %.

1. De quel pourcentage global ce prix a-t-il évolué ?

2. Déterminer le taux d'évolution moyen.

3. Obtient-on le même taux d'évolution moyen si le prix diminue de 1 % puis augmente de 15 % ? Justifier.

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En France, le SMIC est le salaire minimum mensuel pour un contrat de 35 h par semaine.

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1. Justifier que 216^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}} et 625^{\normalsize{\tfrac{1}{4}}} sont des entiers naturels.

2. Pour quelles valeurs entières de n>0 le nombre 256^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}} est-il un entier naturel ?

50

Trouver un nombre b tel que, pour n=1, n=2, n=3 et n=4, b^{\normalsize{\tfrac{1}{n}}} est un nombre entier.