Chapitre 11


Cours




3
Variation du vecteur vitesse


Doc. 6
Trajectoire elliptique d’un astre

Trajectoire elliptique d’un astre
Au cours de son mouvement, son vecteur vitesse varie en direction et en valeur.

Doc. 5
Vecteur vitesse d’une fusée

Vecteur vitesse d’une fusée

B
Variation de la direction du vecteur vitesse

Si la direction du vecteur vitesse est constante lors du mouvement, alors le mouvement est rectiligne (doc. 5).

Lors d’un mouvement circulaire ou curviligne, la direction du vecteur vitesse varie (doc. 6).

Application

On a représenté le vecteur vitesse de la Lune pour quatre positions successives (doc. 7). Décrire la variation du vecteur vitesse de la Lune dans le référentiel géocentrique.

Corrigé :
Sur le schéma, on remarque que les quatre segments fléchés ont la même longueur. Donc la valeur de la vitesse de la Lune est constante. v1\vec{v}_{1} et v3\vec{v}_{3} tandis que v2\vec{v}_{2} et v4\vec{v}_{4} sont verticaux. Ainsi, la direction du vecteur vitesse varie au cours du mouvement.
Donc, lors du mouvement de la Lune dans le référentiel géocentrique, la valeur du vecteur vitesse de la Lune est constante, tandis que sa direction varie.


Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse est constant tout au long du mouvement.

Un mouvement est rectiligne non uniforme si la direction et le sens sont identiques tout au long du mouvement mais que la valeur de la vitesse varie.

Joueurs de baseball
Au cours de sa course, la vitesse du joueur de baseball augmente : son mouvement n’est pas uniforme.

Doc. 7
Vitesse de la Lune

Vitesse de la Lune

Décrire l’évolution du vecteur vitesse d’un système au cours du mouvement consiste à décrire la variation de ses trois caractéristiques : direction, sens et valeur.

A
Variation de la valeur du vecteur vitesse

Si la valeur du vecteur vitesse augmente, le mouvement est accéléré (doc. 5).

Si la valeur du vecteur vitesse diminue, le mouvement est décéléré (ou ralenti).

Si la valeur du vecteur vitesse est constante, le mouvement est uniforme.

2
Trajectoire et vecteur vitesse

Vocabulaire

  • Vecteur : objet mathématique représenté par un segment fléché dont les caractéristiques sont : le point d’application, la direction, le sens et la norme (dite aussi valeur ou intensité).

  • Vecteur constant : un vecteur est constant si toutes ses caractéristiques (direction, sens et norme) sont les mêmes tout au long du mouvement.

A
Trajectoire

La trajectoire d’un point matériel, dans un référentiel d’étude donné, correspond à la courbe formée par l’ensemble des positions successivement occupées par le point matériel lors de son mouvement (doc. 2).
  • Si la trajectoire est une droite, on dit que le mouvement est rectiligne (doc. 3).
  • Si la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle, on dit que le mouvement est circulaire.
  • Si la trajectoire est une courbe quelconque, on dit que le mouvement est curviligne.

Doc. 3
Trajectoire rectiligne d’un skieur

Trajectoire rectiligne d’un skieur

B
Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d’un point matériel M\text{M} permet de décrire la direction, le sens et la valeur de la vitesse en un point, à un instant tt donné. Il est, en tout point, tangent à la trajectoire, et orienté dans le sens du mouvement.

Soient M\text{M} la position d’un point matériel à la date tt et M\text{M}^{\prime} la position de ce même point à la date tt^{\prime}. Le déplacement du point matériel entre les dates tt et tt^{\prime} par le vecteur de déplacement MM\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}.

Pour obtenir la vitesse instantanée du point matériel M\text{M} à la date tt, il faut connaître sa position à une date t\text{t}^{\prime} très proche de tt. On calcule alors le vecteur vitesse instantanée :
v=MMΔt\vec{v}=\dfrac{\overrightarrow{\text{M}\text{M}^{\prime}}}{\Delta t} avec Δt=tt{\Delta t}=t^{\prime}-t


En pratique, on ne peut pas mesurer la position d’un point à deux instants infiniment proches, séparés d’une durée Δt\Delta t infiniment petite.
On mesure alors la vitesse moyenne entre deux points.

Le vecteur vitesse moyenne v2\vec{v}_{2} d'un système au point M2\text{M}_{2}, entre deux dates t1t_{1} et t3t_{3}, a pour expression :

v2=M1M3t3t1\vec{v}_{2}=\dfrac{\overrightarrow{\text{M}_{1} \text{M}_{3}}}{t_{3}-t_{1}}

Ce vecteur a les caractéristiques suivantes :
  • direction : parallèle au segment M1M3\text{M}_{1} \text{M}_{3};
  • sens : celui du mouvement ;
  • norme : v2=M1M3t3t1v_{2}=\dfrac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{3}}{t_{3}-t_{1}} avec :
  • M1M3\text{M}_{1} \text{M}_{3} la distance entre les points M1\text{M}_{1} et M3\text{M}_{3} en mètre (m),
  • t3t1t_{3}-t_{1} la durée séparant les instants t1t_{1} et t3t_{3} en seconde (s),
  • v2v_{2} la valeur de la vitesse en mètre par seconde m\cdots-1.

En classe de seconde, on appellera vecteur vitesse le vecteur vitesse moyenne calculé entre deux points.

Doc. 4
Vecteur vitesse v2\vec{v}_{2} au point M\text{M}

Vecteur vitesse <math>\overrightarrow{\mathbf{v}}_{2}</math> au point <math>\text{M}</math>

Pas de malentendu

t2t_{2} et t1t_{1} sont des dates tandis que Δt\Delta t est une durée. La durée est définie comme le temps séparant deux dates, par exemple : Δt=t2t1\Delta t=t_{2}-t_{1}.
La durée séparant deux positions sur une chronophotographie est souvent notée τ\tau.

Doc.2
Trajectoires dans la neige

Trajectoires dans la neige

Application

Tracer le vecteur vitesse au point M2\mathrm{\text{M}}_{2} (doc. 4), la durée entre deux marquages étant de 5050 ms.

Corrigé :
1. Mesurer la distance réelle entre les points M1\text{M}_{1} et M3\text{M}_{3}. En tenant compte de l’échelle indiquée : M1M3=72,5\text{M}_{1} \text{M}_{3}= 72\text{,}5 cm. On en déduit la valeur de la vitesse

v2=M1M3t3t1=M1M32τ=72,5×1022×50×103=7,3v_{2}=\dfrac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{3}}{t_{3}-t_{1}}=\dfrac{\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{3}}{2 \tau}=\dfrac{72\text{,}5 \times 10^{-2}}{2 \times 50 \times 10^{-3}}= 7\text{,}3 m\cdots-1


2. Choisir une échelle de représentation des vitesses (voir doc. 4). En fonction de l’échelle choisie, tracer le vecteur vitesse v2\vec{v}_{2} parallèle au segment M1M3\mathrm{M}_{1} \mathrm{M}_{3}, partant de M2\text{M}_{2} et d’une longueur adaptée à l’échelle qui a été choisie.

Éviter les erreurs

v\vec{v} est un vecteur tandis que vv représente sa norme, qui a pour valeur un nombre réel positif.
Dans le système international d’unités, la vitesse s’exprime en m\cdots-1.
Pour représenter un vecteur vitesse, il faut définir une échelle. Exemple : 1 cm sur le schéma correspond à 1 m\cdots-1 en réalité.

1
Système et référentiel


A
Système

La cinématique est l’étude purement descriptive du mouvement d’un système. On ne s’intéresse alors pas aux causes du mouvement.

Le système est l’objet ou un ensemble d’objets reliés entre eux, dont on étudie le mouvement. Pour simplifier l’étude, on modélise le système par un point, de même masse, et situé au centre de gravité de l’objet. C’est le modèle du point matériel.

Le modèle du point matériel ne prend en compte ni la géométrie de l’objet, ni ses éventuelles déformations ou rotations. Il permet toutefois de décrire le déplacement global de cet objet.

B
Référentiel

Le référentiel d’étude est l’objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement du système (doc. 1).

On associe au référentiel un repère d’espace et un repère de temps.


Le repère d’espace doit être constitué de trois axes pour un mouvement à trois dimensions ou deux axes pour un mouvement à deux dimensions. Dans un repère cartésien à deux dimensions, le système assimilé à un point matériel M\text{M} a pour coordonnées M\text{M} (xx ; yy).

Un repère de temps est une horloge que tous les observateurs déclenchent en même temps.

Vocabulaire

  • Référentiel géocentrique : référentiel lié au centre de la Terre.

  • Référentiel héliocentrique : référentiel lié au centre du Soleil.

  • Référentiel terrestre : référentiel lié à la surface de la Terre.

Doc. 1
Deux référentiels différents

Référentiel
Voici deux référentiels distincts pour l’étude d’un mouvement : le référentiel terrestre et celui du train en marche.

Pas de malentendu

Si deux référentiels se déplacent l’un par rapport à l’autre, la trajectoire d’un système sera différente selon qu’elle est décrite par rapport à l’un ou à l’autre de ces référentiels.
Un objet fixe dans le référentiel terrestre est, en première approximation, en mouvement circulaire uniforme dans le référentiel géocentrique.

C
Relativité du mouvement

La description du mouvement dépend du référentiel d’étude choisi.

Exemple : un voyageur lit, assis à bord d’un TGV en marche, et un passager se situe sur le quai (doc. 1). Dans le référentiel lié au passager situé sur le quai, le lecteur s’éloigne.
Dans le référentiel lié au voyageur assis face au lecteur, le lecteur est immobile. La notion de mouvement est donc relative au choix du référentiel d’étude.

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