Chapitre Rappels
Rappels de collège

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Calcul

Rappels de collège



Fractions



Exemple

612=6×12×6=12\dfrac{6}{12}=\dfrac{6 \times 1}{2 \times 6}=\dfrac{1}{2} donc l’écriture simplifiée de 612\dfrac{6}{12} est 12.\dfrac{1}{2}.

924=3×33×8=38\dfrac{9}{24}=\dfrac{3 \times 3}{3 \times 8}=\dfrac{3}{8} donc l’écriture simplifiée de 924\dfrac{9}{24} est 38.\dfrac{3}{8}.

Pour s'exercer


8
Calculer.
A=8374\text{A}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{7}{4} ; B=729×38\text{B}=\dfrac{72}{9} \times \dfrac{3}{8} ; C=65÷43\text{C}=\dfrac{6}{5} \div \dfrac{4}{3} ; D=7292÷32\text{D}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{9}{2} \div \dfrac{3}{2}

Exemple

Pour comparer 119\dfrac{11}{9} et 43,\dfrac{4}{3}, on écrit :

43=129\dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{9} donc 119<43.\dfrac{11}{9}\lt\dfrac{4}{3}.

Exemple

A=4÷13=4×3=12\text{A}=4 \div \dfrac{1}{3}=4 \times 3=12

B=1835÷815=1835×158=9×2×5×37×5×2×4=2728\text{B}=\dfrac{18}{35} \div \dfrac{8}{15}=\dfrac{18}{35} \times \dfrac{15}{8}=\dfrac{9 \times 2 \times 5 \times 3}{7 \times 5 \times 2 \times 4}=\dfrac{27}{28}


Pour additionner ou soustraire des fractions :
  • on réduit dʼabord les deux fractions au même dénominateur ;
  • on additionne ou on soustrait les numérateurs ;
  • on conserve le dénominateur commun.

Pour s'exercer


7
Simplifier la fraction 15100.\dfrac{15}{100}.


Deux nombres sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1.\text{1.}
Si a\text{a} et b\text{b} sont deux nombres non nuls :
ab\dfrac{a}{b} est l’inverse de ba.\dfrac{b}{a}.
Cas particulier : a=a1a=\dfrac{a}{1} donc l’inverse de aa est 1a.\dfrac{1}{a}.

Exemple

A=29×43=2×49×3=827\text{A}=\dfrac{2}{9} \times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2 \times 4}{9 \times 3}=\dfrac{8}{27}

B=4948×3235=7×7×8×2×23×2×8×7×5=7×23×5=1415\text{B}=\dfrac{49}{48} \times \dfrac{32}{35}=\dfrac{7 \times 7 \times 8 \times 2 \times 2}{3 \times 2 \times 8 \times 7 \times 5}=\dfrac{7 \times 2}{3 \times 5}=\dfrac{14}{15}

Soient deux nombres aa et b,b,bb est différent de 0.0.
Le quotient de aa par bb est le nombre qui, multiplié par b,b, est égal à a.a.
On peut écrire ce nombre sous la forme d’une écriture fractionnaire : ba.\dfrac{b}{a}.
aa est appelé le numérateur et bb le dénominateur.
Lorsque aa et bb sont deux entiers, on dit que ab\dfrac{a}{b} est une fraction.

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
ab÷cd=ab×dc\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}

Exemple

32\dfrac{3}{2} est l'inverse de 23.\dfrac{2}{3}.

15\dfrac{1}{5} est l'inverse de 5.5.

66 est l'inverse de 16.\dfrac{1}{6}.

Exemple

29+48=1672+3672\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{8}=\dfrac{16}{72}+\dfrac{36}{72}

=5272=\dfrac{52}{72}

=1318=\dfrac{13}{18}

a,ba, b et kk sont trois nombres tels que bb et kk soient différents de 00 :
ab=k×ak×b\dfrac{a}{b}=\dfrac{k \times a}{k \times b} et ab=a÷kb÷k \dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div k}{b \div k}

Pour comparer deux fractions :
  • on les réduit au même dénominateur ;
  • on compare les numérateurs : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple

Le quotient de 11 par 22 est 12.\dfrac{1}{2}.
12\dfrac{1}{2} est une fraction car le numérateur et le dénominateur sont des entiers.

1,52\dfrac{1{,}5}{2} est une écriture fractionnaire mais pas une fraction car le numérateur est un nombre décimal.

Calcul littéral



Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n’importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l’expression.

Il suffit de trouver un contre-exemple pour prouver que deux expressions ne sont pas égales.

Exemple

3x+83 x+8 et 4x(2x)4 x(2-x) sont des expressions littérales.

Propriété de double distributivité.
Quels que soient les nombres a,b,ca, b, c et d,d, on a :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.(a+ b)(c+d)=a c+a d+b c+b d.

Exemple

Quels que soient les nombres aa et b,b, on a :
(ab)2=a22ab+b2.(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}.

Exemple

(2x5)(3+4x)=6x+8x21520x(2 x-5)(3+4 x)=6 x+8 x^{2}-15-20 x

A=(4+3z)(2z+1)(5+7z)(z+3)=8z+4+6z2+3z(5z+15+7z2+21z)=z215z11\begin{aligned} \text{A} &= (4+3 z)(2 z+1)-(5+7 z)(z+3) \\ &=8 z+4+6 z^{2}+3 z-\left(5 z+15+7 z^{2}+21 z\right) \\ &= -z^{2}-15 z-11 \end{aligned}

Exemple

Pour prouver que (a+b)2a2+b2(a+b)^{2} \neq a^{2}+b^{2} on choisit a=2a = 2 et b=5:b = 5\::
(2+5)2=49(2+5)^{2}=49 alors que 22+52=29.2^{2}+5^{2}=29.

Propriété de simple distributivité.
Quels que soient les nombres k,k, aa et b,b, on a toujours :
k(a+b)=ka+kb.k(a+b)=k a+k b.

Pour s'exercer


2
Écrire, en fonction de x,x, le volume d’un pavé droit de longueur L=x+2,\mathrm{L}=x+2, de largeur =x2\ell=x-2 et de hauteur h=3.h = 3 .


Exemple

4a(2a)=4a×24a×a=8a4a24 a(2-a)=4 a \times 2-4 a \times a=8 a-4 a^{2}

32z(5z4)=32z×5z2z×(4)=310z2+8z\begin{aligned} 3-2 z(5 z-4) &= 3-2 z \times 5 z-2 z \times(-4) \\ &=3-10 z^{2}+8 z \end{aligned}

Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres. Selon les cas, ces lettres sont nommées variables, paramètres, inconnues.

Pour s'exercer


1
Montrer que la somme de trois entiers positifs consécutifs est un multiple de 3.3.

Équations



Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre.

Pour s'exercer


5
Si j’additionne un nombre, son double et son triple, j’obtiens 78.78. Quel est ce nombre ?


Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à xx pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.

Exemple

5x+6=82x7x+6=87x=2x=27\begin{aligned} 5x + 6 &= 8 - 2x \\ 7x + 6 &= 8\\ 7x &= 2\\ x &= \dfrac{2}{7} \end{aligned}

Exemple

3×2+2=83 \times 2+2=8 et 2+6=82 + 6 = 8 donc 22 est une solution de l’équation 3x+2=x+6.3x + 2 = x + 6 .

Pour s'exercer


6
On considère un rectangle tel que sa longueur est deux fois plus grande que sa largeur. Quelle est la valeur possible de la largeur pour que l’aire de ce rectangle soit égale à 12?12\:?


Méthode de résolution.
On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but dʼavoir lʼinconnue dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue.

Un produit est nul si, et seulement si, au moins lʼun de ses facteurs est nul.

Exemple

(3x8)(x+7)=0(3 x-8)(x+7)=0 est une équation produit nul d’inconnue x.x.
(3x8)=0(3 x-8)=0 ou (x+7)=0(x+7)=0
x=83x=\dfrac{8}{3} ou x=7x=-7
Cette équation admet donc deux solutions : 83\dfrac{8}{3} et 7.-7.

Exemple

3x+2=x+63x + 2 = x + 6 est une équation d’inconnue x.x .

Puissances



Exemple

23×24=23+4=272^{3} \times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}

(23)4=23×4=212\left(2^{3}\right)^{4}=2^{3 \times 4}=2^{12}

23×53=(2×5)3=1032^{3} \times 5^{3}=(2 \times 5)^{3}=10^{3}

5953=593=56\dfrac{5^{9}}{5^{3}}=5^{9-3}=5^{6}

Pour s'exercer


9
Calculer sans la calculatrice.
A=72B=577×575C=(5+3)444\text{A}=7^{-2} \quad \text{B}=5^{77} \times 5^{-75} \quad \text{C}=\dfrac{(5+3)^{4}}{4^{4}}

Pour tout nombre aa non nul et tout entier positif n,n, on a :
an=1an.a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.

Pour s'exercer


10
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants.
A=87B=0,052×106\text{A}=87 \quad \text{B}=0{,}052 \times 10^{-6}

Exemple

54=5×5×5×5=6255^{4}=5 \times 5 \times 5 \times 5=625

Pour tout entier relatif aa et tout entier naturel nn non nul, on a :
an=a×a×a×aa^{n}=a \times a \times a \cdots \times a avec nn facteurs égaux à aa.
On lit « aa exposant nn ».

Exemple

54=154;53=153 5^{-4}=\dfrac{1}{5^{4}}\:; 5^{3}=\dfrac{1}{5^{-3}}

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme a×10na \times 10^{n}aa est un nombre décimal supérieur ou égal à 11 et strictement inférieur à 1010, et nn est un nombre relatif.

Pour tous entiers relatifs mm et nn et pour tout nombre aa non nul :
  • am×an=am+na^{m} \times a^{n}=a^{m+n} et (am)n=am×n;\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \times n} \:;
  • (a×b)m=am×bm(a \times b)^{m}=a^{m} \times b^{m} et aman=amn.\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.

Pour tout nombre réel aa, on a :
a0=1a^{0}=1 et a1=a.a^{1}=a.
a2a^2 se lit « aa au carré ». a3a^3 se lit « aa au cube ».

Exemple

30=13^{0}=1
41=44^{1}=4

Pour s'exercer


11
Calculer et exprimer le résultat sous forme scientifique.
E=3×101524×101432×1015\text{E}=\dfrac{3 \times 10^{15}-24 \times 10^{14}}{32 \times 10^{-15}}

Exemple

4,218×1034{,}218 \times 10^{3} est l’écriture scientifique de 4218.4\:218.
5,21×1085{,}21 \times 10^{-8} est l’écriture scientifique de 0,0000000521.0{,}000\:000\:052\:1 .

Valeurs approchées



Exemple

Un encadrement au centième de 237\dfrac{23}{7} est :
3,28<237<3,29.3{,}28\lt\dfrac{23}{7}\lt3{,}29.

Encadrer un nombre à un rang donné, c’est donner une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre et à ce rang.

Exemple

5,4\text{5,4} est une valeur approchée par défaut au dixième de 5,413.\text{5,413.}

Exemple

5,5\text{5,5} est une valeur approchée par excès au dixième de 5,413.\text{5,413.}

Pour s'exercer


3
Donner une valeur approchée de π\pi à 0,01\text{0,01} près puis à 0,001\text{0,001} près.


Donner une valeur approchée par défaut à un rang donné, c’est en donner une valeur inférieure et à ce rang.

Donner une valeur approchée par excès à un rang donné, c’est en donner une valeur supérieure et à ce rang.

Pour s'exercer


4
Donner un encadrement de 723\dfrac{7}{23} à l’unité, au dixième et au millième.

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