Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres. Selon les cas, ces lettres sont nommées variables, paramètres, inconnues.

$3x+8$ et $4x(2-x)$ sont des expressions littérales.

Deux expressions littérales sont égales si elles donnent le même résultat pour n'importe quelles valeurs attribuées aux lettres de l'expression.

Quels que soient les nombres $a$ et $b,$ on a :
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$

Il suffit de trouver un contre-exemple pour prouver que deux expressions ne sont pas égales.

Pour prouver que $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$ on choisit $a=2$ et $b=5:$
$(2+5{)}^2=49$ alors que $2^2+5^2=29.$

Propriété de simple distributivité. Quels que soient les nombres $k,$ $a$ et $b,$ on a toujours :
$k(a+b)=ka+kb.$

$4a(2-a)=4a\times 2-4a\times a=8a-4a^2$

$\begin{array}{rl}3-2z(5z-4)& =3-2z\times 5z-2z\times (-4)\\ & =3-10z^2+8z\end{array}$

Propriété de double distributivité. Quels que soient les nombres $a,b,c$ et $d,$ on a :
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

$(2x-5)(3+4x)=6x+8x^2-15-20x$

$\begin{array}{rl}\text{A}& =(4+3z)(2z+1)-(5+7z)(z+3)\\ & =8z+4+6z^2+3z-\left(5z+15+7z^2+21z\right)\\ & =-z^2-15z-11\end{array}$

Pour s'exercer

1

Montrer que la somme de trois entiers positifs consécutifs est un multiple de $3.$

Pour s'exercer

2

Écrire, en fonction de $x,$ le volume d'un pavé droit de longueur $\mathrm{L}=x+2,$ de largeur $\ell =x-2$ et de hauteur $h=3.$

Donner une valeur approchée par excès à un rang donné, c'est en donner une valeur supérieure et à ce rang.

$\text{5,5}$ est une valeur approchée par excès au dixième de $\text{5,413.}$

Donner une valeur approchée par défaut à un rang donné, c'est en donner une valeur inférieure et à ce rang.

$\text{5,4}$ est une valeur approchée par défaut au dixième de $\text{5,413.}$

Encadrer un nombre à un rang donné, c'est donner une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre et à ce rang.

Un encadrement au centième de $\frac{23}{7}$ est :
$3,28<\frac{23}{7}<3,29.$

Pour s'exercer

3

Donner une valeur approchée de $\pi$ à $\text{0,01}$ près puis à $\text{0,001}$ près.

Pour s'exercer

4

Donner un encadrement de $\frac{7}{23}$ à l'unité, au dixième et au millième.

Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre.

$3x+2=x+6$ est une équation d'inconnue $x.$

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à $x$ pour que l'égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l'équation.

$3\times 2+2=8$ et $2+6=8$ donc $2$ est une solution de l'équation $3x+2=x+6.$

Méthode de résolution. On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but dʼavoir lʼinconnue dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue.

$\begin{array}{rl}5x+6& =8-2x\\ 7x+6& =8\\ 7x& =2\\ x& =\frac{2}{7}\end{array}$

Un produit est nul si, et seulement si, au moins lʼun de ses facteurs est nul.

$(3x-8)(x+7)=0$ est une équation produit nul d'inconnue $x.$
$(3x-8)=0$ ou $(x+7)=0$
$x=\frac{8}{3}$ ou $x=-7$
Cette équation admet donc deux solutions : $\frac{8}{3}$ et $-7.$

Pour s'exercer

5

Si j'additionne un nombre, son double et son triple, j'obtiens $78.$ Quel est ce nombre ?

Pour s'exercer

6

On considère un rectangle tel que sa longueur est deux fois plus grande que sa largeur. Quelle est la valeur possible de la largeur pour que l'aire de ce rectangle soit égale à $12?$

Soient deux nombres $a$ et $b,$ où $b$ est différent de $0.$ Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b,$ est égal à $a.$
On peut écrire ce nombre sous la forme d'une écriture fractionnaire : $\frac{a}{b}.$
$a$ est appelé le numérateur et $b$ le dénominateur.
Lorsque $a$ et $b$ sont deux entiers, on dit que $\frac{a}{b}$ est une fraction.

Le quotient de $1$ par $2$ est $\frac{1}{2}.$
$\frac{1}{2}$ est une fraction car le numérateur et le dénominateur sont des entiers.

$\frac{1,5}{2}$ est une écriture fractionnaire mais pas une fraction car le numérateur est un nombre décimal.

$a,b$ et $k$ sont trois nombres tels que $b$ et $k$ soient différents de $0$ : $\frac{a}{b}=\frac{k\times a}{k\times b}$ et $\frac{a}{b}=\frac{a÷k}{b÷k}$

$\frac{6}{12}=\frac{6\times 1}{2\times 6}=\frac{1}{2}$ donc l'écriture simplifiée de $\frac{6}{12}$ est $\frac{1}{2}.$

$\frac{9}{24}=\frac{3\times 3}{3\times 8}=\frac{3}{8}$ donc l'écriture simplifiée de $\frac{9}{24}$ est $\frac{3}{8}.$

Pour comparer deux fractions :

• on les réduit au même dénominateur ;
• on compare les numérateurs : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

Pour comparer $\frac{11}{9}$ et $\frac{4}{3},$ on écrit :

$\frac{4}{3}=\frac{12}{9}$ donc $\frac{11}{9}<\frac{4}{3}.$

Pour additionner ou soustraire des fractions :

• on réduit dʼabord les deux fractions au même dénominateur ;
• on additionne ou on soustrait les numérateurs ;
• on conserve le dénominateur commun.

$\frac{2}{9}+\frac{4}{8}=\frac{16}{72}+\frac{36}{72}$

$=\frac{52}{72}$

$=\frac{13}{18}$

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$\text{A}=\frac{2}{9}\times \frac{4}{3}=\frac{2\times 4}{9\times 3}=\frac{8}{27}$

$\text{B}=\frac{49}{48}\times \frac{32}{35}=\frac{7\times 7\times 8\times 2\times 2}{3\times 2\times 8\times 7\times 5}=\frac{7\times 2}{3\times 5}=\frac{14}{15}$

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à $\text{1.}$ Si $\text{a}$ et $\text{b}$ sont deux nombres non nuls :
$\frac{a}{b}$ est l'inverse de $\frac{b}{a}.$
Cas particulier : $a=\frac{a}{1}$ donc l'inverse de $a$ est $\frac{1}{a}.$

$\frac{3}{2}$ est l'inverse de $\frac{2}{3}.$

$\frac{1}{5}$ est l'inverse de $5.$

$6$ est l'inverse de $\frac{1}{6}.$

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$

$\text{A}=4÷\frac{1}{3}=4\times 3=12$

$\text{B}=\frac{18}{35}÷\frac{8}{15}=\frac{18}{35}\times \frac{15}{8}=\frac{9\times 2\times 5\times 3}{7\times 5\times 2\times 4}=\frac{27}{28}$

Pour s'exercer

7

Simplifier la fraction $\frac{15}{100}.$

Pour s'exercer

8

Calculer.
$\text{A}=\frac{8}{3}-\frac{7}{4}$ ; $\text{B}=\frac{72}{9}\times \frac{3}{8}$ ; $\text{C}=\frac{6}{5}÷\frac{4}{3}$ ; $\text{D}=\frac{7}{2}-\frac{9}{2}÷\frac{3}{2}$

Pour tout entier relatif $a$ et tout entier naturel $n$ non nul, on a : $a^n=a\times a\times a\cdots \times a$ avec $n$ facteurs égaux à $a$.
On lit « $a$ exposant $n$ ».

$5^4=5\times 5\times 5\times 5=625$

Pour tout nombre réel $a$, on a : $a^0=1$ et $a^1=a.$
$a^2$ se lit « $a$ au carré ». $a^3$ se lit « $a$ au cube ».

$3^0=1$
$4^1=4$

Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n,$ on a : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$

$5^{-4}=\frac{1}{5^4};5^3=\frac{1}{5^{-3}}$

Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ et pour tout nombre $a$ non nul :

• $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\times n};$
• $(a\times b{)}^m=a^m\times b^m$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$

$2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$

${\left(2^3\right)}^4=2^{3\times 4}=2^{12}$

$2^3\times 5^3=(2\times 5{)}^3=10^3$

$\frac{5^9}{5^3}=5^{9-3}=5^6$

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme $a\times 10^n$ où $a$ est un nombre décimal supérieur ou égal à $1$ et strictement inférieur à $10$, et $n$ est un nombre relatif.

$4,218\times 10^3$ est l'écriture scientifique de $4218.$
$5,21\times 10^{-8}$ est l'écriture scientifique de $0,0000000521.$

Pour s'exercer

9

Calculer sans la calculatrice.
$\text{A}=7^{-2}\text{B}=5^{77}\times 5^{-75}\text{C}=\frac{(5+3{)}^4}{4^4}$

Pour s'exercer

10

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.
$\text{A}=87\text{B}=0,052\times 10^{-6}$

Pour s'exercer

11

Calculer et exprimer le résultat sous forme scientifique.
$\text{E}=\frac{3\times 10^{15}-24\times 10^{14}}{32\times 10^{-15}}$