Physique-Chimie 2de

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Mathématiques : Pratiquer le calcul numérique
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OUTILS MATHÉMATIQUES



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Mathématiques : Pratiquer le calcul numérique




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A. Chiffres significatifs

Définition

Ce sont les chiffres de la valeur expérimentale qui indiquent la précision de la mesure.

Exemple : une longueur de 22 m est une longueur comprise entre 1,51\text{,}5 et 2,52\text{,}5 m. Une longueur de 2,02\text{,}0 m est comprise entre 1,951\text{,}95 et 2,052\text{,}05 m. En sciences physiques, un 00 de plus à droite change beaucoup de choses alors qu’en mathématiques, écrire 22 et 2,02\text{,}0 reviendrait au même. En sciences, dans 2,02\text{,}0 m, on dit que le 22 et le 00 sont significatifs.

Compter les chiffres significatifs d’une valeur
  • Un 00 est compté s’il y a au moins un chiffre différent de 00 sur l’une des positions à gauche dans l’écriture du nombre.
  • Une puissance de 1010 ne compte pas.

Notation

CS : chiffres significatifs.

Compter les chiffres significatifs d'une valeur

B. Expression du résultat d’un calcul

Addition et soustraction

Le résultat a le même niveau de précision que le nombre qui a la décimale la moins précise.

Exemple : d1=2,0d_{1}=2\text{,}0 m, d2=16d_{2}=16 cm et D=d1+d2D=d_{1}+d_{2}. Avec d1=2,0d_{1}=2\text{,}0 m et d2=0,16d_{2}=0\text{,}16 m. Alors : D=d1+d2=(2,0+0,16)D=d_{1}+d_{2}=(2\text{,}0 + 0\text{,}16) m =2,2=2\text{,}2 m.
d1d_{1} est précis au 1010e de mètre alors que d2d_{2} l'est au 100100e de mètre. Le résultat est donc au 1010e de mètre.

Multiplication et division

Le résultat a le même nombre de chiffres significatifs que le terme le moins précis.

Exemple : v=2πRt=2π×5,421,5×102=2,3×101v=\dfrac{2 \pi R}{t}=\dfrac{2 \pi \times 5\text{,}42}{1\text{,}5 \times 10^{2}}=2\text{,}3 \times 10^{-1} m·s‑1
2π2 \pi et 10102 ne sont pas issues de mesures : ces valeurs sont exactes. Il n’y a donc pas de CS à compter.
5,425\text{,}42 a 33 CS et 1,51\text{,}5 a 22 CS \rightarrow 22 CS au résultat.

C. Estimer la réussite d’une mesure

Remarque : XtheˊoX_{\text {théo}} peut aussi être accompagné d’une incertitude. Elle est donnée si besoin.
  • Regarder si l’intervalle de confiance de XtheˊoX_{\text {théo}} a des points communs avec celui de XexpX_{\text {exp}}.
  • Intervalle de confiance

  • Estimer si l’écart relatif (noté E(X)\text{E}(X)) est inférieur à 5 % (critère arbitraire classique au lycée).
    E(X)=XtheˊoXexpXtheˊoE(X)=\left|\dfrac{X_{\text {théo}}-X_{\text {exp}}}{X_{\text {théo}}}\right| Il indique si l’écart entre XexpX_{\text {exp}} et XtheˊoX_{\text {théo}} est important ou non. Il permet donc d’estimer la qualité du résultat : plus il est petit, et meilleure est la mesure.
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