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Graphiques

Point de cours 1

Lecture et construction

Définition

Définir une fonction $f$ sur un ensemble de réels $\text{D}$ consiste à associer à chaque réel $x\in \text{D}$ un unique réel $y.$
Pour signifier que $y$ est le réel associé à $x$ par la fonction $f$, on note : $y=f(x).$
On note cette correspondance :
$\begin{array}{rl}f:\text{D}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto f(x)\end{array}$

• L’image d’un nombre $x$ est le nombre obtenu en lui appliquant $f$.
• Les antécédents d’un nombre $y$ sont les nombres qui renvoient y lorsqu’on leur applique $f$.

Exemple
Soit la fonction $f:x⟶3x^2+1$
L’image de $2$ par $f$ est $3\times 2^2+1=13.$
$28$ possède deux antécédents par $f:3$ et $-3$.
$-1$ ne possède pas d’antécédent.

Définition

Il y a plusieurs modes de définition d’une fonction $f$ permettant d’associer à un réel $x$ de l’ensemble de définition $\text{D}$, son image $y.$
Par exemple, avec une courbe : la courbe représentative d’une fonction $f$ est l’ensemble des points $\mathrm{A}(x;y)$, tels que $y=f(x).$

Point de cours 2

Calcul de coefficient directeur

Définition

• Une fonction $f$ est dite affine s'il existe deux nombres $m$ et $p$ tel que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=mx+p.$
• Les nombres $m$ et $p$ sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de $f.$
• Soit $f$, une fonction affine définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p.$ Pour représenter $f$, il suffit de placer deux points $\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}};y_{\mathrm{A}}\right)$ et $\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right)$ et de tracer la droite reliant ces points avec $y_{\mathrm{A}}=m{x}_{\mathrm{A}}+p$ et $y_{\mathrm{B}}=m{x}_{\mathrm{B}}+p.$

Exemples
$f(x)=-\frac{3}{4}x+5$



Le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la droite est le point de coordonnées $\text{(0 ; 5)}$ ce qui correspond bien à $p=$ $5$. Depuis ce point, on se décale de $4$ unités vers la droite, puis on descend de $3$ unités pour retrouver la droite, ce qui correspond bien à $m=\frac{-3}{4}.$

Point de cours 3

Vocabulaire descriptif d’une courbe

Définitions

Une fonction $f$ est représentée par une courbe $C_f$.
Les coordonnées de chaque point $M(x;y)$ de la courbe vérifient $y=f(x)$.
• Fonction croissante : les valeurs de $f(x)$ augmentent quand $x$ augmente.
• Fonction décroissante : les valeurs de $f(x)$ diminuent quand $x$ augmente.
• Extremum (minimum ou maximum) : lorsque la fonction change de variation (sommet de la courbe).
• Fonction paire : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

► La fonction est croissante sur [-2 ; -1] et sur [1 ; 2], elle est décroissante sur [-1 ; 1]. Elle atteint un maximum en $\text{x}=-1$ et en $\text{x}=2$, et un minimum en $\text{x}=1$ et en $\text{x}=-2$. Elle est impaire.