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Jeu sérieux
Thème 1 : Science, climat et société
Thème 2 : Le futur des énergies
Thème 3 : Une histoire du vivant
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Livret maths 4

Graphiques

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Point de cours 1
Lecture et construction

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Définition

Définir une fonction f sur un ensemble de réels \text{D} consiste à associer à chaque réel x \in \text{D} un unique réel y.
Pour signifier que y est le réel associé à x par la fonction f, on note : y=f(x).
On note cette correspondance :
\begin{aligned} f : \text{D} & \rightarrow \quad \mathbb{R} \\ x & \mapsto f(x) \end{aligned}
  • L'image d'un nombre x est le nombre obtenu en lui appliquant f.
  • Les antécédents d'un nombre y sont les nombres qui renvoient y lorsqu'on leur applique f.
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Définition

Il y a plusieurs modes de définition d'une fonction f permettant d'associer à un réel x de l'ensemble de définition \text{D}, son image y.
Par exemple, avec une courbe : la courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points \mathrm{A}(x\;;\; y), tels que y=f(x).

Lecture et construction
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Exemple

Soit la fonction f : x \longrightarrow 3x^2 + 1
L'image de 2 par f est 3 × 2^2 + 1 = 13.
28 possède deux antécédents par f : 3 et -3.
-1 ne possède pas d'antécédent.

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Exercices

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1
Lecture d'un graphique.

f est la fonction dont la représentation graphique \mathcal{C}_{f} est la suivante.

Lecture d'un graphique

a. Complétez le tableau de valeurs suivant par lecture graphique.

x

- 4

- 1,5

0

f(x)

3

0

- 1


b. Complétez les phrases suivantes.
  • 0 est l'
     de - 1 par f.
  • 3 est lʼ
     de
    par f.
  • 2 semble avoir
    antécédents par f.
  • 2 est un
    de 3 par f.
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2
Exploitez une courbe représentative.

On a représenté une fonction f en fonction de t.
Exploitez une courbe représentative

Déterminer graphiquement :
a. f(2) ;

b. l'image de 3 par f ;
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3
Lecture d'antécédents.

On a représenté ci-contre une fonction f en fonction de t.
Lecture d'antécédents

Déterminer graphiquement :
a. le nombre qui a pour image 30 ;

b. l'antécédent de 10 ;
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4
Demi-vie.

On a représenté une masse de matière (en g) en fonction du temps (en milliers d'années).
Demi-vie

Déterminer graphiquement :
a. la quantité initiale de matière ;

b. au bout de combien d'années reste-t-il 50 g de matière ?

c. en combien de temps la quantité de matière passe de 40 g à 20 g.
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5
Tracer la courbe représentative d'une fonction.

À l'aide de la calculatrice, tracer la fonction f : t \rightarrow 5\; sin(2t + 100) dans un repère à l'échelle adaptée, la calculatrice étant configurée en degré.
Représenter l'allure de la courbe.

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6
Tracer la courbe représentative d'une fonction.

On s'intéresse aux fonctions suivantes.
  • f : x \mapsto 0\text{,}25 x
  • g : x \mapsto \dfrac{4}{5} x-\dfrac{1}{5}
  • h : x \mapsto 2 x^{2}-1
  • p : x \mapsto x^{2}-3 x+4

a. Compléter le tableau suivant.

x

- 3

- 2

- 1

0

1

234
f(x)
g(x)
h(x)
p(x)

b. Tracer la représentation graphique de chacune de ces fonctions dans un repère.

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c. Dans lesquels de ces cas aurait-on eu besoin de moins de points pour tracer cette courbe ? Justifier.
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Point de cours 2
Calcul de coefficient directeur

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Définition

  • Une fonction f est dite affine s'il existe deux nombres m et p tel que pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=m x+p.
  • Les nombres m et p sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de f.
  • Soit f, une fonction affine définie pour tout x \in \mathbb{R} par f(x)=m x+p. Pour représenter f, il suffit de placer deux points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,;\, y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,;\, y_{\mathrm{B}}\right) et de tracer la droite reliant ces points avec y_{\mathrm{A}}=m x_{\mathrm{A}}+p et y_{\mathrm{B}}=m x_{\mathrm{B}}+p.
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Exemple

f(x)=-\dfrac{3}{4} x+5

x

0

4

f(x)

5

2


Le point d'intersection de l'axe des ordonnées et de la droite est le point de coordonnées \text{(0 ; 5)} ce qui correspond bien à p = 5. Depuis ce point, on se décale de 4 unités vers la droite, puis on descend de 3 unités pour retrouver la droite, ce qui correspond bien à m=\dfrac{-3}{4}.
Calcul de coefficient directeur
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Exercices

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7
Droites.

Déterminez le coefficient directeur et lʼordonnée à lʼorigine de ces droites.
Fonctions affines
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8
Identifier une droite.

Soient f : x \rightarrow -3x + \dfrac{5}{2} et g : x \rightarrow \dfrac{1}{4} x + 4.
Identifier les droites représentatives de f et de g parmi les droites ci-contre.
Fonctions affines
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9
Coefficients directeurs.

Dans chaque cas, déterminez le coefficient directeur de la droite (\mathrm{AB}).

a. \mathrm{A}(1\,;\,1) et \mathrm{B}(-5\,;\, 0).

b. \mathrm{A}(-0\text{,}5\,;\,3) et \mathrm{B}(0\text{,}5\,;\, -2).

c. \text{A}\left(-\dfrac{2}{3}\,;\, \dfrac{1}{4}\right) et \mathrm{B}\left(\dfrac{1}{3}\, ;\, 1\text{,}25\right)
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10
Équations de droites.

Associer à chaque équation la droite correspondante.

a. y=x-2

b. y=2-x

c. y=x+2


Équations de droites
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11
Paramètres d'une fonction affine.

Les points repérés par des croix bleues appartiennent à une droite d'équation y = mx + p.

Paramètres d'une fonction affine
a. Avec les indications de la figure, proposez des calculs pour déterminer m. puis un calcul permettant de déterminer p.

b. Calculer l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 5 ?
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Point de cours 3
Vocabulaire descriptif d'une courbe

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Définition
    Une fonction f est représentée par une courbe C_f .
    Les coordonnées de chaque point M(x ; y) de la courbe vérifient y = f(x).
  • Fonction croissante : les valeurs de f(x) augmentent quand x augmente.
  • Fonction décroissante : les valeurs de f(x) diminuent quand x augmente.
  • Extremum (minimum ou maximum) : lorsque la fonction change de variation (sommet de la courbe).
  • Fonction paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
courbe
La fonction est croissante sur [-2 ; -1] et sur [1 ; 2], elle est décroissante sur [-1 ; 1]. Elle atteint un maximum en \text{x} = -1 et en \text{x} = 2, et un minimum en \text{x} = 1 et en \text{x} = -2. Elle est impaire.
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