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Graphiques
P.263-265

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LIVRET MATHS



4
Graphiques





Point de cours 1
Lecture et construction

Définition

Définir une fonction ff sur un ensemble de réels D\text{D} consiste à associer à chaque réel xDx \in \text{D} un unique réel y.y.
Pour signifier que yy est le réel associé à xx par la fonction ff, on note : y=f(x).y=f(x).
On note cette correspondance :
f:DRxf(x)\begin{aligned} f : \text{D} & \rightarrow \quad \mathbb{R} \\ x & \mapsto f(x) \end{aligned}

L’image d’un nombre xx est le nombre obtenu en lui appliquant ff.
Les antécédents d’un nombre yy sont les nombres qui renvoient y lorsqu’on leur applique ff.

Exemple
Soit la fonction f:x3x2+1f : x \longrightarrow 3x^2 + 1
L’image de 22 par ff est 3×22+1=13.3 × 2^2 + 1 = 13.
2828 possède deux antécédents par f:3f : 3 et 3-3.
1-1 ne possède pas d’antécédent.

Définition

Il y a plusieurs modes de définition d’une fonction ff permettant d’associer à un réel xx de l’ensemble de définition D\text{D}, son image y.y.
Par exemple, avec une courbe : la courbe représentative d’une fonction ff est l’ensemble des points A(x  ;  y)\mathrm{A}(x\;;\; y), tels que y=f(x).y=f(x).

Lecture et construction

1
Lecture d’un graphique.

ff est la fonction dont la représentation graphique Cf\mathcal{C}_{f} est la suivante.

Lecture d’un graphique

a. Complétez le tableau de valeurs suivant par lecture graphique.

xx

- 4

- 1,5

0

f(x)f(x)

3

0

- 1


b. Complétez les phrases suivantes.
  • 0 est l' de - 1 par f.f.
  • 3 est lʼ de par f.f.
  • 2 semble avoir antécédents par f.f.
  • 2 est un de 3 par f.f.
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2
Exploitez une courbe représentative.

On a représenté une fonction ff en fonction de t.t.

Exploitez une courbe représentative

Déterminer graphiquement :
a. ff(2) ;

b. l’image de 3 par ff ;
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3
Lecture d’antécédents.

On a représenté ci-contre une fonction ff en fonction de t.t.

Lecture d’antécédents


Déterminer graphiquement :
a. le nombre qui a pour image 30 ;

b. l’antécédent de 10 ;
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4
Demi-vie.

On a représenté une masse de matière (en g) en fonction du temps (en milliers d’années).

Demi-vie

Déterminer graphiquement :
a. la quantité initiale de matière ;

b. au bout de combien d’années reste-t-il 50 g de matière ?

c. en combien de temps la quantité de matière passe de 40 g à 20 g.
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5
Tracer la courbe représentative d'une fonction.

À l'aide de la calculatrice, tracer la fonction f:t5  sin(2t+100)f : t \rightarrow 5\; sin(2t + 100) dans un repère à l’échelle adaptée, la calculatrice étant configurée en degré.
Représenter l'allure de la courbe.
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6
Tracer la courbe représentative d'une fonction.

On s'intéresse aux fonctions suivantes.
  • f:x0,25xf : x \mapsto 0\text{,}25 x
  • g:x45x15g : x \mapsto \dfrac{4}{5} x-\dfrac{1}{5}
  • h:x2x21h : x \mapsto 2 x^{2}-1
  • p:xx23x+4p : x \mapsto x^{2}-3 x+4

a. Compléter le tableau suivant.

xx

3- 3

2- 2

1- 1

00

11

22 33 44
f(x)f(x)
g(x)g(x)
h(x)h(x)
p(x)p(x)


b. Tracer la représentation graphique de chacune de ces fonctions dans un repère.
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c. Dans lesquels de ces cas aurait-on eu besoin de moins de points pour tracer cette courbe ? Justifier.
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Point de cours 2
Calcul de coefficient directeur

Définition

  • Une fonction ff est dite affine s'il existe deux nombres mm et pp tel que pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=mx+p.f(x)=m x+p.
  • Les nombres mm et pp sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de f.f.
  • Soit ff, une fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=mx+p.f(x)=m x+p. Pour représenter ff, il suffit de placer deux points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,;\, y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,;\, y_{\mathrm{B}}\right) et de tracer la droite reliant ces points avec yA=mxA+py_{\mathrm{A}}=m x_{\mathrm{A}}+p et yB=mxB+p.y_{\mathrm{B}}=m x_{\mathrm{B}}+p.

Exemples
f(x)=34x+5f(x)=-\dfrac{3}{4} x+5

xx

0

4

f(x)f(x)

5

2



Le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la droite est le point de coordonnées (0 ; 5)\text{(0 ; 5)} ce qui correspond bien à p=p = 55. Depuis ce point, on se décale de 44 unités vers la droite, puis on descend de 33 unités pour retrouver la droite, ce qui correspond bien à m=34.m=\dfrac{-3}{4}.

Calcul de coefficient directeur

7
Droites

Déterminez le coefficient directeur et lʼordonnée à lʼorigine de ces droites.


Fonctions affines
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8
Identifier une droite.

Soient f:x3x+52f : x \rightarrow -3x + \dfrac{5}{2} et g:x14x+4g : x \rightarrow \dfrac{1}{4} x + 4.
Identifier les droites représentatives de ff et de gg parmi les droites ci-contre.

Fonctions affines
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9
Coefficients directeurs.

Dans chaque cas, déterminez le coefficient directeur de la droite (AB).(\mathrm{AB}).

a. A(1;1)\mathrm{A}(1\,;\,1) et B(5;0).\mathrm{B}(-5\,;\, 0).


b. A(0,5;3)\mathrm{A}(-0\text{,}5\,;\,3) et B(0,5;2).\mathrm{B}(0\text{,}5\,;\, -2).


c. A(23;14)\text{A}\left(-\dfrac{2}{3}\,;\, \dfrac{1}{4}\right) et B(13;1,25)\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{3}\, ;\, 1\text{,}25\right)
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10
Équations de droites.

Associer à chaque équation la droite correspondante.

a. y=x2y=x-2

b. y=2xy=2-x

c. y=x+2y=x+2


Équations de droites
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11
Paramètres d’une fonction affine.

Les points repérés par des croix bleues appartiennent à une droite d’équation y=mx+p.y = mx + p.

Paramètres d’une fonction affine

a. Avec les indications de la figure, proposez des calculs pour déterminer m.m. puis un calcul permettant de déterminer pp.

b. Calculer l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 5 ?
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Point de cours 3
Vocabulaire descriptif d’une courbe

Définitions

    Une fonction ff est représentée par une courbe CfC_f .
    Les coordonnées de chaque point M(x;y)M(x ; y) de la courbe vérifient y=f(x)y = f(x).
  • Fonction croissante : les valeurs de f(x)f(x) augmentent quand xx augmente.
  • Fonction décroissante : les valeurs de f(x)f(x) diminuent quand xx augmente.
  • Extremum (minimum ou maximum) : lorsque la fonction change de variation (sommet de la courbe).
  • Fonction paire : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Fonction impaire : la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

courbe

La fonction est croissante sur [-2 ; -1] et sur [1 ; 2], elle est décroissante sur [-1 ; 1]. Elle atteint un maximum en x=1\text{x} = -1 et en x=2\text{x} = 2, et un minimum en x=1\text{x} = 1 et en x=2\text{x} = -2. Elle est impaire.
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