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Suites
P.261-262

LIVRET MATHS



3
Suites





Point de cours 1
Suites arithmétiques

Définition

  • Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier naturel et à valeurs dans .
  • Les termes d’une suite , notés , sont en progression arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, que l'on note habituellement , et qui est appelé la raison de la suite.
    Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier .

Propriétés

  • Formule explicite pour tout entier , où est le premier terme de la suite.

  • suite
  • La suite est croissante si est positif, et décroissante si est négatif.

Exemple
Une plante de 15 cm gagne 3 cm par mois. Sa taille en cm peut être modélisée par une suite . Cette suite est arithmétique, de premier terme et de raison 3.
Donc, pour tout entier , on a : .

Graph

Remarque

Dans un repère ( en abscisse et en ordonnée), les points représentant une suite arithmétique sont alignés. On parle de croissance linéaire.

1
Calculer les termes d’une suite arithmétique.

Dans chaque cas, la suite est arithmétique de premier terme et de raison . Calculer et .
a. et


b. et
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2
Expression de en fonction de .

Dans chaque cas, la suite est arithmétique de premier terme et de raison .
Exprimer en fonction de , puis calculer .
a. et


b. et
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3
Représentations graphiques.

a. Parmi les trois graphiques ci-contre, identifier celui qui ne représente pas une suite arithmétique.


b. Déterminer le premier terme et la raison des suites arithmétiques.
Graph1
1
Graph2
2
Graph3
3
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4
Calculer la raison.

Dans chaque cas, est une suite arithmétique. Déterminer sa raison.
a. et


b. et
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5
Croissance d'une population.

La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, cette population augmente de 350 habitants.
Au bout de combien de temps la ville comptera-t-elle plus de 40000 habitants ? Justifier précisément la démarche.
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Point de cours 2
Suites géométriques

Définition

Les termes d’une suite sont en progression géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement , et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier .

Propriétés

  • Formule explicite pour tout entier , où est le premier terme de la suite.

  • Suite
  • Si , la suite est croissante si est supérieur à , décroissante si est compris entre et et constante si .

Exemples
Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique , de premier terme et de raison 2. Pour tout entier , on a : .

courbe

Remarque

  • Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle.
  • Une évolution de % correspond à une multiplication par .

6
Calculer les termes d’une suite géométrique.

Dans chaque cas, la suite est géométrique de premier terme et de raison . Calculer et .
a. et


b. et
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7
Expression en fonction de .

Dans chaque cas, la suite est géométrique de premier terme et de raison .
Exprimer en fonction de , puis calculer .
a. et


b. et
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8
Pourcentages et suites géométriques.

La population d’une ville augmente de 5 % par an. On note le nombre d’habitants de cette ville au bout de années. Expliquer pourquoi la suite est géométrique.
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9
Déterminer la raison.

Dans chaque cas, est une suite géométrique. Déterminer sa raison, puis calculer .
a. et


b. et
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10
Seuil.

La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, la population diminue de 3 %.
On note la population de la ville au bout de années.
a. Expliquer pourquoi la suite est géométrique et donner sa raison.


b. Exprimer en fonction de .


c. À l’aide de la calculatrice, déterminer en quelle année la population passera sous la barre des 30 000 habitants.
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