Suites

• Une suite numérique u est une fonction définie pour tout entier naturel n et à valeurs dans \R.
• Les termes d'une suite u, notés u(n), sont en progression arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, que l'on note habituellement \text{r}, et qui est appelé la raison de la suite.
  Ce qui s'écrit, pour tout nombre entier n : u(n+1) = u(n)+r.

• Formule explicite pour tout entier n : u(n) = u(0) + n \times r, où u(0) est le premier terme de la suite.

• La suite est croissante si r est positif, et décroissante si r est négatif.

Une plante de 15 cm gagne 3 cm par mois. Sa taille en cm peut être modélisée par une suite u. Cette suite est arithmétique, de premier terme u(0)= 15 et de raison 3.
Donc, pour tout entier n, on a :
u(n) = 15 + 3 n.

Dans un repère (n en abscisse et u(n) en ordonnée), les points représentant une suite arithmétique sont alignés. On parle de croissance linéaire.

Dans chaque cas, la suite \text{u} est arithmétique de premier terme \text{u(0)} et de raison \text{r}. Calculer \text{u(1), u(2)} et \text{u(3)}.

a. u(0) = 10 et r = 5

b. u(0) = 9 et r = -7

Dans chaque cas, la suite \text{u} est arithmétique de premier terme u(0) et de raison r.
Exprimer u(n) en fonction de n, puis calculer u(15).

a. u(0) = 17\,000 et r = 650

b. u(0) = 900\,000 et r = -70\,000

a. Parmi les trois graphiques ci-contre, identifier celui qui ne représente pas une suite arithmétique.

b. Déterminer le premier terme et la raison des suites arithmétiques.

Dans chaque cas, u est une suite arithmétique. Déterminer sa raison.

a. u(0) = 180 et u(10) = 250

b. u(0) = 900 et u(12) = -120

La population d'une ville s'élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, cette population augmente de 350 habitants.
Au bout de combien de temps la ville comptera-t-elle plus de 40000 habitants ? Justifier précisément la démarche.

Les termes d'une suite u sont en progression géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement q, et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s'écrit, pour tout nombre entier n : u(n + 1) = u(n) \times q.

• Formule explicite pour tout entier n : u(n) = u(0) \times qn, où u(0) est le premier terme de la suite.



• Si u(0) > 0, la suite est croissante si q est supérieur à 1, décroissante si q est compris entre 0 et 1 et constante si q = 1.

Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique u, de premier terme u(0) = 50 et de raison 2. Pour tout entier n, on a : u(n) = 50 \times 2n.

• Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle.
• Une évolution de p % correspond à une multiplication par \left(1 + \dfrac{p}{100}\right).

Dans chaque cas, la suite u est géométrique de premier terme u(0) et de raison q. Calculer u(1), u(2) et u(3).

a.u(0) = 800 et q = 1,1

b.u(0) = 900 et q = 0,8

Dans chaque cas, la suite u est géométrique de premier terme u(0) et de raison q.
Exprimer u(n) en fonction de n, puis calculer u(5) .

a. u(0) = 350 et q = 1,05

b. u(0) = 1 900 et q = 0,78

La population d'une ville augmente de 5 % par an. On note u(n) le nombre d'habitants de cette ville au bout de n années. Expliquer pourquoi la suite u est géométrique.

Dans chaque cas, u est une suite géométrique. Déterminer sa raison, puis calculer u(10).

a. u(0) = 100 et u(1) = 103

b. u(0) = 1 000 et u(12) = 4000