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Suites

Point de cours 1

Suites arithmétiques

Définition

• Une suite numérique $u$ est une fonction définie pour tout entier naturel $n$ et à valeurs dans $\R$.
• Les termes d’une suite $u$, notés $u(n)$, sont en progression arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, que l'on note habituellement $\text{r}$, et qui est appelé la raison de la suite.
  Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier $n : u(n+1) = u(n)+r$.

Propriétés

• Formule explicite pour tout entier $n : u(n) = u(0) + n \times r$, où $u(0)$ est le premier terme de la suite.




• La suite est croissante si $r$ est positif, et décroissante si $r$ est négatif.

Exemple
Une plante de 15 cm gagne 3 cm par mois. Sa taille en cm peut être modélisée par une suite $u$. Cette suite est arithmétique, de premier terme $u(0)= 15$ et de raison 3.
Donc, pour tout entier $n$, on a : $u(n) = 15 + 3 n$.

Dans un repère ($n$ en abscisse et $u(n)$ en ordonnée), les points représentant une suite arithmétique sont alignés. On parle de croissance linéaire.

Point de cours 2

Suites géométriques

Définition

Les termes d’une suite $u$ sont en progression géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement $q$, et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier $n : u(n + 1) = u(n) \times q$.

Propriétés

• Formule explicite pour tout entier $n : u(n) = u(0) \times qn$, où $u(0)$ est le premier terme de la suite.




• Si $u(0) > 0$, la suite est croissante si $q$ est supérieur à $1$, décroissante si $q$ est compris entre $0$ et $1$ et constante si $q = 1$.

Exemples
Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique $u$, de premier terme $u(0) = 50$ et de raison 2. Pour tout entier $n$, on a : $u(n) = 50 \times 2n$.

• Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle.
• Une évolution de $p$ % correspond à une multiplication par $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.