Une suite numérique u est une fonction définie pour tout entier naturel n et à valeurs dans R.
Les termes d’une suite u, notés u(n), sont en progression arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, que l'on note habituellement r, et qui est appelé la raison de la suite.
Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier n:u(n+1)=u(n)+r.
Propriétés
Formule explicite pour tout entier n:u(n)=u(0)+n×r, où u(0) est le premier terme de la suite.
La suite est croissante si r est positif, et décroissante si r est négatif.
Exemple
Une plante de 15 cm gagne 3 cm par mois. Sa taille en cm peut être modélisée par une suite u. Cette suite est arithmétique, de premier terme u(0)=15 et de raison 3.
Donc, pour tout entier n, on a : u(n)=15+3n.
Remarque
Dans un repère (n en abscisse et u(n) en ordonnée), les points représentant une suite arithmétique sont alignés. On parle de croissance linéaire.
1
Calculer les termes d’une suite arithmétique.
Dans chaque cas, la suite u est arithmétique de premier terme u(0) et de raison r. Calculer u(1), u(2) et u(3).
a.u(0)=10 et r=5
b.u(0)=9 et r=−7
2
Expression de u(n) en fonction de n.
Dans chaque cas, la suite u est arithmétique de premier terme u(0) et de raison r.
Exprimer u(n) en fonction de n, puis calculer u(15).
a.u(0)=17000 et r=650
b.u(0)=900000 et r=−70000
3
Représentations graphiques.
a.Parmi les trois graphiques ci-contre, identifier celui qui ne représente pas une suite arithmétique.
b. Déterminer le premier terme et la raison des suites arithmétiques.
1
2
3
4
Calculer la raison.
Dans chaque cas, u est une suite arithmétique. Déterminer sa raison. a.u(0)=180 et u(10)=250
b.u(0)=900 et u(12)=−120
5
Croissance d'une population.
La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, cette population augmente de 350 habitants.
Au bout de combien de temps la ville comptera-t-elle plus de 40000 habitants ? Justifier précisément la démarche.
Point de cours 2
Suites géométriques
Définition
Les termes d’une suite u sont en progression géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement q, et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier n:u(n+1)=u(n)×q.
Propriétés
Formule explicite pour tout entier n:u(n)=u(0)×qn, où u(0) est le premier terme de la suite.
Si u(0)>0, la suite est croissante si q est supérieur à 1, décroissante si q est compris entre 0 et 1 et constante si q=1.
Exemples
Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique u, de premier terme u(0)=50 et de raison 2. Pour tout entier n, on a : u(n)=50×2n.
Remarque
Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle.
Une évolution de p % correspond à une multiplication par (1+100p).
6
Calculer les termes d’une suite géométrique.
Dans chaque cas, la suite u est géométrique de premier terme u(0) et de raison q. Calculer u(1),u(2) et u(3). a.u(0)=800 et q=1,1
b.u(0)=900 et q=0,8
7
Expression en fonction de n.
Dans chaque cas, la suite u est géométrique de premier terme u(0) et de raison q.
Exprimer u(n) en fonction de n, puis calculer u(5). a.u(0)=350 et q=1,05
b.u(0)=1900 et q=0,78
8
Pourcentages et suites géométriques.
La population d’une ville augmente de 5 % par an. On note u(n) le nombre d’habitants de cette ville au bout de n années. Expliquer pourquoi la suite u est géométrique.
9
Déterminer la raison.
Dans chaque cas, u est une suite géométrique. Déterminer sa raison, puis calculer u(10). a.u(0)=100 et u(1)=103
b.u(0)=1000 et u(12)=4000
10
Seuil.
La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, la population diminue de 3 %.
On note u(n) la population de la ville au bout de n années. a. Expliquer pourquoi la suite u est géométrique et donner sa raison.
b. Exprimer u(n) en fonction de n.
c. À l’aide de la calculatrice, déterminer en quelle
année la population passera sous la barre des 30 000 habitants.
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