Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Suites
P.261-262

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

LIVRET MATHS



3
Suites





Point de cours 1
Suites arithmétiques

Définition

  • Une suite numérique uu est une fonction définie pour tout entier naturel nn et à valeurs dans R\R.
  • Les termes d’une suite uu, notés u(n)u(n), sont en progression arithmétique lorsque l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, que l'on note habituellement r\text{r}, et qui est appelé la raison de la suite.
    Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier n:u(n+1)=u(n)+rn : u(n+1) = u(n)+r.

Propriétés

  • Formule explicite pour tout entier n:u(n)=u(0)+n×rn : u(n) = u(0) + n \times r, où u(0)u(0) est le premier terme de la suite.

  • suite
  • La suite est croissante si rr est positif, et décroissante si rr est négatif.

Exemple
Une plante de 15 cm gagne 3 cm par mois. Sa taille en cm peut être modélisée par une suite uu. Cette suite est arithmétique, de premier terme u(0)=15u(0)= 15 et de raison 3.
Donc, pour tout entier nn, on a : u(n)=15+3nu(n) = 15 + 3 n.

Graph

Remarque

Dans un repère (nn en abscisse et u(n)u(n) en ordonnée), les points représentant une suite arithmétique sont alignés. On parle de croissance linéaire.

1
Calculer les termes d’une suite arithmétique.

Dans chaque cas, la suite u\text{u} est arithmétique de premier terme u(0)\text{u(0)} et de raison r\text{r}. Calculer u(1), u(2)\text{u(1), u(2)} et u(3)\text{u(3)}.
a. u(0)=10u(0) = 10 et r=5r = 5


b. u(0)=9u(0) = 9 et r=7r = -7
Voir les réponses

2
Expression de u(n)u(n) en fonction de nn.

Dans chaque cas, la suite u\text{u} est arithmétique de premier terme u(0)u(0) et de raison rr.
Exprimer u(n)u(n) en fonction de nn, puis calculer u(15)u(15).
a. u(0)=17000u(0) = 17\,000 et r=650r = 650


b. u(0)=900000u(0) = 900\,000 et r=70000r = -70\,000
Voir les réponses

3
Représentations graphiques.

a. Parmi les trois graphiques ci-contre, identifier celui qui ne représente pas une suite arithmétique.


b. Déterminer le premier terme et la raison des suites arithmétiques.
Graph1
1
Graph2
2
Graph3
3
Voir les réponses

4
Calculer la raison.

Dans chaque cas, uu est une suite arithmétique. Déterminer sa raison.
a. u(0)=180u(0) = 180 et u(10)=250u(10) = 250


b. u(0)=900u(0) = 900 et u(12)=120u(12) = -120
Voir les réponses

5
Croissance d'une population.

La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, cette population augmente de 350 habitants.
Au bout de combien de temps la ville comptera-t-elle plus de 40000 habitants ? Justifier précisément la démarche.
Voir les réponses


Point de cours 2
Suites géométriques

Définition

Les termes d’une suite uu sont en progression géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, que l'on note habituellement qq, et qui est appelée la raison de la suite. Ce qui s’écrit, pour tout nombre entier n:u(n+1)=u(n)×qn : u(n + 1) = u(n) \times q.

Propriétés

  • Formule explicite pour tout entier n:u(n)=u(0)×qnn : u(n) = u(0) \times qn, où u(0)u(0) est le premier terme de la suite.

  • Suite
  • Si u(0)>0u(0) > 0, la suite est croissante si qq est supérieur à 11, décroissante si qq est compris entre 00 et 11 et constante si q=1q = 1.

Exemples
Dans un étang, une population de 50 nénuphars double chaque année. Cette population peut être modélisée par une suite géométrique uu, de premier terme u(0)=50u(0) = 50 et de raison 2. Pour tout entier nn, on a : u(n)=50×2nu(n) = 50 \times 2n.

courbe

Remarque

  • Une suite géométrique traduit une croissance exponentielle.
  • Une évolution de pp % correspond à une multiplication par (1+p100)\left(1 + \dfrac{p}{100}\right).

6
Calculer les termes d’une suite géométrique.

Dans chaque cas, la suite uu est géométrique de premier terme u(0)u(0) et de raison qq. Calculer u(1),u(2)u(1), u(2) et u(3)u(3).
a.u(0)=800u(0) = 800 et q=1,1q = 1,1


b. u(0)=900u(0) = 900 et q=0,8q = 0,8
Voir les réponses

7
Expression en fonction de nn.

Dans chaque cas, la suite uu est géométrique de premier terme u(0)u(0) et de raison qq.
Exprimer u(n)u(n) en fonction de nn, puis calculer u(5)u(5).
a. u(0)=350u(0) = 350 et q=1,05q = 1,05


b. u(0)=1900u(0) = 1 900 et q=0,78q = 0,78
Voir les réponses

8
Pourcentages et suites géométriques.

La population d’une ville augmente de 5 % par an. On note u(n)u(n) le nombre d’habitants de cette ville au bout de nn années. Expliquer pourquoi la suite uu est géométrique.
Voir les réponses

9
Déterminer la raison.

Dans chaque cas, uu est une suite géométrique. Déterminer sa raison, puis calculer u(10)u(10).
a. u(0)=100u(0) = 100 et u(1)=103u(1) = 103


b. u(0)=1000u(0) = 1 000 et u(12)=4000u(12) = 4000
Voir les réponses

10
Seuil.

La population d’une ville s’élevait en 2015 à 35 000 habitants. Chaque année, la population diminue de 3 %.
On note u(n)u(n) la population de la ville au bout de nn années.
a. Expliquer pourquoi la suite uu est géométrique et donner sa raison.


b. Exprimer u(n)u(n) en fonction de nn.


c. À l’aide de la calculatrice, déterminer en quelle année la population passera sous la barre des 30 000 habitants.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.