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Thème 1 : Science, climat et société
Introduction
Ch. 1
L'atmosphère terrestre et la vie
Ch. 2
La complexité du système climatique
Ch. 3
Le climat du futur
Ch. 4
Énergie, développement et futur climatique
Objectif Bac : Thème 1
Thème 2 : Le futur des énergies
Introduction
Ch. 5
Deux siècles d’énergie électrique
Ch. 6
Les atouts de l’électricité
Ch. 7
Optimisation du transport de l’électricité
Ch. 8
Choix énergétiques et impacts
Objectif Bac : Thème 2
Thème 3 : Une histoire du vivant
Introduction
Ch. 9
La biodiversité et son évolution
Ch. 10
L’évolution, une grille de lecture du monde
Ch. 11
L’évolution humaine
Ch. 12
Les modèles démographiques
Ch. 13
De l’informatique à l’intelligence artificielle
Objectif Bac : Thème 3
Livret maths
Fiches méthode
Annexes
Livret maths 5
Loi des grands nombres
14 professeurs ont participé à cette page
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Point de cours 1Loi des grands nombres
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Propriété
Dans une expérience, on note p la probabilité d'un événement. Plus on répète cette expérience, plus la fréquence de réalisation de l'événement se rapproche de p.
Exemple
Une urne contient 20 boules, dont 8 rouges. Plus on tirera (avec remise) des boules dans l'urne, plus la fréquence de boules rouges tirées se rapprochera de \dfrac{8}{20} = 0{,}4 : la probabilité de tirer une rouge vaut \text{0,4}.
Exemple
Une urne contient 20 boules, dont 8 rouges. Plus on tirera (avec remise) des boules dans l'urne, plus la fréquence de boules rouges tirées se rapprochera de \dfrac{8}{20} = 0{,}4 : la probabilité de tirer une rouge vaut \text{0,4}.
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Exercices
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1Calcul de probabilités.
Voici la répartition des élèves d'une classe.
a. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques ?
b. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques et allemand en LV1 ?
c. On choisit au hasard un(e) élève du groupe anglais LV1. Quelle est la probabilité qu'il ou elle ne fasse pas arts plastiques ?
| LV1 anglais | LV1 allemand | |
|---|---|---|
| Option arts plastiques | 4 | 3 |
| Sans option arts plastiques | 11 | 15 |
a. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques ?
b. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques et allemand en LV1 ?
c. On choisit au hasard un(e) élève du groupe anglais LV1. Quelle est la probabilité qu'il ou elle ne fasse pas arts plastiques ?
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ATellement de spécialistes !
En prévision des années suivantes, un lycée établit des statistiques concernant le choix de spécialités en terminale parmi les élèves ayant pris la combinaison Maths/SVT/PC en première. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :
a. Compléter le tableau.
b. Un élève est en terminale 2. Déterminer la probabilité qu'il ait pris la combinaison PC/Maths.
c. Une élève est en terminale 3. Déterminer la probabilité qu'elle ait pris la combinaison PC/SVT.
d. Déterminer la probabilité qu'un élève ayant pris la combinaison SVT/Maths soit en terminale 1.
| Couple de spécialités | Terminale 1 | Terminale 2 | Terminale 3 | Total |
| PC/SVT | 11 | 14 | 5 | |
| SVT/Maths | 9 | 6 | 19 | |
| PC/Maths | 6 | 16 | ||
| Total | 36 | 34 | 106 |
a. Compléter le tableau.
b. Un élève est en terminale 2. Déterminer la probabilité qu'il ait pris la combinaison PC/Maths.
c. Une élève est en terminale 3. Déterminer la probabilité qu'elle ait pris la combinaison PC/SVT.
d. Déterminer la probabilité qu'un élève ayant pris la combinaison SVT/Maths soit en terminale 1.
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BCrash du disque-dur.
Une entreprise a développé un test permettant de détecter le crash d'un disque-dur quelques heures avant qu'il se produise. Le système prévient alors l'utilisateur, qui a alors le temps de sauvegarder ses données avant l'incident.
L'entreprise a fourni les résultats de ses test dans le tableau suivant. On considère que le crash existe si il a lieu dans les 5 h suivant le test.
L'entreprise a fourni les résultats de ses test dans le tableau suivant. On considère que le crash existe si il a lieu dans les 5 h suivant le test.
| Crash ayant eu lieu | Crash n'ayant pas eu lieu | |
|---|---|---|
| Test positif | 8 600 | 3 400 |
| Test négatif | 50 | 14 400 |
a. Déterminer la probabilité de faux-positif (test positif, mais crash n'ayant pas lieu).
b. Déterminer la probabilité de faux-négatif (test négatif, mais crash se produisant).
b. Déterminer la probabilité de faux-négatif (test négatif, mais crash se produisant).
c. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur qui peut rapidement reproduire ses données, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?
d. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur dont les données sont extrêmement importantes, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?
d. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur dont les données sont extrêmement importantes, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?
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Point de cours 2Intervalles de confiance
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Propriété
- Lorsque l'on réalise une expérience un grand nombre de fois et qu'un événement se réalise avec une fréquence f, alors la probabilité réelle que cet événement se réalise est en général (dans \text{95 }\% du temps) comprise dans l'intervalle : \left[f-1,96 \times \frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} ; f+1,96 \times \frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}\right]
- Cet intervalle est appelé intervalle de confiance au seuil de \text{95 }\%.
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En seconde, une expression plus simple de l'intervalle de confiance a été étudiée : \left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]
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Exemples
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Exercices
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2Calcul d'intervalles de confiance.
Pour f = 0{,}4 et n = 250, calculer l'intervalle de confiance au seuil de \text{95 }\%.
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3Comparaison d'intervalles.
L'estimation de la proportion d'un caractère dans une population est-elle plus précise dans un échantillon de \text{100} individus ou de \text{1 000} individus ?
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4Des maths en musique.
11 \% des élèves d'un lycée qui en compte \text{1 600} affirment pratiquer régulièrement un instrument de musique.
Déterminer l'intervalle dans lequel se situe la proportion de pratiquants dans l'ensemble des lycées au seuil des 95 \%.
Déterminer l'intervalle dans lequel se situe la proportion de pratiquants dans l'ensemble des lycées au seuil des 95 \%.
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5Des vacances écourtées.
Un sondage affirme que 55 \% des personnes interrogées prévoient de partir en vacances au moins deux semaines l'été prochain. Peut-on affirmer, au seuil des 95 \%, que plus de la moitié des personnes en France est dans ce cas-là si :
a. le sondage porte sur \text{1 030} personnes ?
b. le sondage porte sur \text{590} personnes ?
a. le sondage porte sur \text{1 030} personnes ?
b. le sondage porte sur \text{590} personnes ?
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