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Jeu sérieux
Thème 1 : Science, climat et société
Thème 2 : Le futur des énergies
Thème 3 : Une histoire du vivant
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Livret maths 5

Loi des grands nombres

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Point de cours 1
Loi des grands nombres

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Propriété

Dans une expérience, on note p la probabilité d'un événement. Plus on répète cette expérience, plus la fréquence de réalisation de l'événement se rapproche de p.

Exemple
Une urne contient 20 boules, dont 8 rouges. Plus on tirera (avec remise) des boules dans l'urne, plus la fréquence de boules rouges tirées se rapprochera de \dfrac{8}{20} = 0{,}4 : la probabilité de tirer une rouge vaut \text{0,4}.
Courbe
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Exercices

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1
Calcul de probabilités.

Voici la répartition des élèves d'une classe.

LV1 anglaisLV1 allemand
Option arts plastiques43
Sans option arts plastiques1115

a. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques ?

b. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques et allemand en LV1 ?

c. On choisit au hasard un(e) élève du groupe anglais LV1. Quelle est la probabilité qu'il ou elle ne fasse pas arts plastiques ?
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A
Tellement de spécialistes !

En prévision des années suivantes, un lycée établit des statistiques concernant le choix de spécialités en terminale parmi les élèves ayant pris la combinaison Maths/SVT/PC en première. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

Couple de spécialitésTerminale 1Terminale 2Terminale 3Total
PC/SVT11145
SVT/Maths9619
PC/Maths616
Total36
34106

a. Compléter le tableau.

b. Un élève est en terminale 2. Déterminer la probabilité qu'il ait pris la combinaison PC/Maths.

c. Une élève est en terminale 3. Déterminer la probabilité qu'elle ait pris la combinaison PC/SVT.

d. Déterminer la probabilité qu'un élève ayant pris la combinaison SVT/Maths soit en terminale 1.
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B
Crash du disque-dur.

Une entreprise a développé un test permettant de détecter le crash d'un disque-dur quelques heures avant qu'il se produise. Le système prévient alors l'utilisateur, qui a alors le temps de sauvegarder ses données avant l'incident.
L'entreprise a fourni les résultats de ses test dans le tableau suivant. On considère que le crash existe si il a lieu dans les 5 h suivant le test.

Crash ayant eu lieuCrash n'ayant pas eu lieu
Test positif8 6003 400
Test négatif5014 400

a. Déterminer la probabilité de faux-positif (test positif, mais crash n'ayant pas lieu).

b. Déterminer la probabilité de faux-négatif (test négatif, mais crash se produisant).

c. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur qui peut rapidement reproduire ses données, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?

d. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur dont les données sont extrêmement importantes, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?
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Point de cours 2
Intervalles de confiance

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Propriété

  • Lorsque l'on réalise une expérience un grand nombre de fois et qu'un événement se réalise avec une fréquence f, alors la probabilité réelle que cet événement se réalise est en général (dans \text{95 }\% du temps) comprise dans l'intervalle : \left[f-1,96 \times \frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} ; f+1,96 \times \frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}\right]
  • Cet intervalle est appelé intervalle de confiance au seuil de \text{95 }\%.
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Remarque

En seconde, une expression plus simple de l'intervalle de confiance a été étudiée : \left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]
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Exemples

 Lors d'un sondage sur 1 066 personnes, 31 % se disaient optimistes pour l'avenir de l'écologie en France (sondage Harris du 29 août 2019). On peut alors affirmer que la véritable proportion de personnes optimistes est située dans l'intervalle : \left[0{,}31-1{,}96 \times \frac{\sqrt{0{,}31(1-0{,}31)}}{\sqrt{1066}}\right.; \left.0{,}31+1{,}96 \times \frac{\sqrt{0{,}31(1-0{,}31)}}{\sqrt{1066}}\right] \subset[0{,}28 ; 0{,}34]
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Exercices

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2
Calcul d'intervalles de confiance.

Pour f = 0{,}4 et n = 250, calculer l'intervalle de confiance au seuil de \text{95 }\%.
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4
Des maths en musique.

11 \% des élèves d'un lycée qui en compte \text{1 600} affirment pratiquer régulièrement un instrument de musique.
Déterminer l'intervalle dans lequel se situe la proportion de pratiquants dans l'ensemble des lycées au seuil des 95 \%.
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3
Comparaison d'intervalles.

L'estimation de la proportion d'un caractère dans une population est-elle plus précise dans un échantillon de \text{100} individus ou de \text{1 000} individus ?
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5
Des vacances écourtées.

Un sondage affirme que 55 \% des personnes interrogées prévoient de partir en vacances au moins deux semaines l'été prochain. Peut-on affirmer, au seuil des 95 \%, que plus de la moitié des personnes en France est dans ce cas-là si :
a. le sondage porte sur \text{1 030} personnes ?

b. le sondage porte sur \text{590} personnes ?
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