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Loi des grands nombres
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LIVRET MATHS



5
Loi des grands nombres





Point de cours 1
Loi des grands nombres

Propriété

Dans une expérience, on note la probabilité d’un événement. Plus on répète cette expérience, plus la fréquence de réalisation de l’événement se rapproche de .

Exemple
Une urne contient boules, dont rouges. Plus on tirera (avec remise) des boules dans l’urne, plus la fréquence de boules rouges tirées se rapprochera de : la probabilité de tirer une rouge vaut .
Courbe

1
Calcul de probabilités.

Voici la répartition des élèves d’une classe.

LV1 anglais LV1 allemand
Option arts plastiques 4 3
Sans option arts plastiques 11 15

a. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques ?

b. Quelle est la probabilité de choisir au hasard un(e) élève de la classe ayant choisi arts plastiques et allemand en LV1 ?

c. On choisit au hasard un(e) élève du groupe anglais LV1. Quelle est la probabilité qu’il ou elle ne fasse pas arts plastiques ?
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Exclusivité numérique
A
Tellement de spécialistes !

En prévision des années suivantes, un lycée établit des statistiques concernant le choix de spécialités en terminale parmi les élèves ayant pris la combinaison Maths/SVT/PC en première. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

Couple de spécialités Terminale 1 Terminale 2 Terminale 3 Total
PC/SVT 11 14 5
SVT/Maths 9 6 19
PC/Maths 6 16
Total 36 34 106

a. Compléter le tableau.

b. Un élève est en terminale 2. Déterminer la probabilité qu’il ait pris la combinaison PC/Maths.


c. Une élève est en terminale 3. Déterminer la probabilité qu’elle ait pris la combinaison PC/SVT.


d. Déterminer la probabilité qu’un élève ayant pris la combinaison SVT/Maths soit en terminale 1.
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Exclusivité numérique
B
Crash du disque-dur.

Une entreprise a développé un test permettant de détecter le crash d’un disque-dur quelques heures avant qu’il se produise. Le système prévient alors l’utilisateur, qui a alors le temps de sauvegarder ses données avant l’incident.
L’entreprise a fourni les résultats de ses test dans le tableau suivant. On considère que le crash existe si il a lieu dans les 5 h suivant le test.

Crash ayant eu lieu Crash n'ayant pas eu lieu
Test positif 8 600 3 400
Test négatif 50 14 400

a. Déterminer la probabilité de faux-positif (test positif, mais crash n’ayant pas lieu).


b. Déterminer la probabilité de faux-négatif (test négatif, mais crash se produisant).


c. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur qui peut rapidement reproduire ses données, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?


d. Recommanderiez-vous le test à un utilisateur dont les données sont extrêmement importantes, sachant que la procédure de sauvegarde depuis le disque dur est très longue ?
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Point de cours 2
Intervalles de confiance

Propriété

  • Lorsque l’on réalise une expérience un grand nombre de fois et qu’un événement se réalise avec une fréquence , alors la probabilité réelle que cet événement se réalise est en général (dans du temps) comprise dans l’intervalle :
  • Cet intervalle est appelé intervalle de confiance au seuil de .


Remarque

En seconde, une expression plus simple de l'intervalle de confiance a été étudiée :
Exemples
Lors d’un sondage sur 1 066 personnes, se disaient optimistes pour l’avenir de l’écologie en France (sondage Harris du 29 août 2019). On peut alors affirmer que la véritable proportion de personnes optimistes est située dans l’intervalle : ;

2
Calcul d’intervalles de confiance.

Pour et , calculer l’intervalle de confiance au seuil de .
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3
Comparaison d’intervalles.

L’estimation de la proportion d’un caractère dans une population est-elle plus précise dans un échantillon de individus ou de individus ?
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4
Des maths en musique.

des élèves d’un lycée qui en compte affirment pratiquer régulièrement un instrument de musique.
Déterminer l'intervalle dans lequel se situe la proportion de pratiquants dans l’ensemble des lycées au seuil des .
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5
Des vacances écourtées.

Un sondage affirme que des personnes interrogées prévoient de partir en vacances au moins deux semaines l’été prochain. Peut-on affirmer, au seuil des , que plus de la moitié des personnes en France est dans ce cas-là si :
a. le sondage porte sur personnes ?


b. le sondage porte sur personnes ?
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